(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r?pr?q?0，其中r，r的系数及常数项恰好是2、求出(?)式的两个根r1,r222(*)式中y??,y?,y的系数；3、根据r1,r2的不同情况，按下表写r1，r2的形式 出(*)式的通解：
(*)式的通解 两个不相等实根(p2?4q?0) 两个相等实根(p2?4q?0) 一对共轭复根(p2?4q?0) r1???i?，r2???i?y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)ey?e?xr1x(c1cos?x?c2sin?x) ???p2，??4q?p22 二阶常系数非齐次线性微分方程 y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?ePm(x)型，?为常数；f(x)?e[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型?x?x
概率统计
公式整理
1．随机事件及其概率
A????A???A吸收律：A???AA?(AB)?A A????A?(A?B)?A
A?B?AB?A?(AB)
反演律：A?B?AB AB?A?B
nninini
?Ai?1??Ai?1
?Ai?1??Ai?1i
2．概率的定义及其计算
P(A)?1?P(A)
若A?B ?P(B?A)?P(B)?P(A)
对任意两个事件A, B, 有 P(B?A)?P(B)?P(AB) 加法公式：对任意两个事件A, B, 有
P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B)?P(A)?P(B)
nnnP(?Ai)?i?1?i?1P(Ai)??P(AiAj)??P(AiAjAk)???(?1)n?1P(A1A2?An)3．
1?i?j?n1?i?j?k?n条件概率 P?BA?? 乘法公式
P(AB)P(A)
P(AB)?P(A)P?BA?(P(A)?0)P(A1A2?An)?P(A1)P?A2
A1??P?AnA1A2?An?1?(P(A1A2?An?1)?0)nni全概率公式
P(A)??P(ABi?1) ??P(B)?P(Aii?1Bi)
Bayes公式
P(BkA)?P(ABk)P(A) ?P(Bk)P(ABk)n
?P(B)P(Aii?1Bi)4．随机变量及其分布 分布函数计算
P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)?F(b)?F(a)
5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布
P(X?k)?p(1?p)k1?k,k?0,1
(2) 二项分布 B(n,p) 若P ( A ) = p
P(X?k)?Cnp(1?p)kkn?k,k?0,1,?,n
* Possion定理
limnpn???0
n??有
limCp(1?pn)n??knknn?k?e???kk!
k?0,1,2,?(3) Poisson 分布 P(?)
P(X?k)?e???kk!,k?0,1,2,?
6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 U(a,b) ?1,?b?af(x)???0,??0,??x?aF(x)??,
b?a??1?a?x?b其他
(2) 指数分布 E(?)
??x???e,f(x)????0,x?0其他
?0,F(x)????x?1?e,x?0x?0
(3) 正态分布 N (? , ? 2 ) f(x)?12???(x??)2?22e???x???
2F(x)?12???1x?(t??)2?2??edt
* N (0,1) — 标准正态分布
?(x)?2?12?e?x22???x???
2 ?(x)??x??e?t2dt???x???
7.多维随机变量及其分布 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 F(x,y)?xy????x??f(u,v)dvdu
边缘分布函数与边缘密度函数 FX(x)?????????f(u,v)dvdu
fX(x)?FY(y)?fY(y)??????yf(x,v)dv
????????f(u,v)dudv
?????f(u,y)du
8. 连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )
?1?,f(x,y)??A??0,(x,y)?G其他
(2) 二维正态分布
f(x,y)?12??1?21??2?e?(x??1)2(x??1)(y??2)??2???21?1?2??1??22?2(1??)?(y??2)???2?2????9. 二维随机变量的 条件分布
???x???,???y???f(x,y)?fX(x)fYX(yx)fX(x)?0 fY(y)?0
??
?fY(y)fXY(xy)fX(x)?fY(y)?????????f(x,y)dy?f(x,y)dx?f(x,y)fY(y)f(x,y)fX(x)??????fXY(xy)fY(y)dy fYX????X(yx)fX(x)dx
fXY(xy) ? ?fY(yx)fX(x)fY(y)
fYX(yx) ? ?fXY(xy)fY(y)fX(x)
10. 随机变量的数字特征 数学期望
??E(X)??xk?1kpk
E(X)??????xf(x)dx
随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩E(X) X 的 k 阶绝对原点矩E(|X|) X 的 k 阶中心矩E((X?E(X))) X 的 方差E((X?E(X)))?D(X) X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩E(XY) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
E(X?E(X))(Y?E(Y))kl2kkk?kl?
X ,Y 的 二阶混合原点矩E(XY) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
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