首先应注意:上面应用拉格朗日中值的?是个中值点,是由f和区间[0,x]的
端点而定的,具体地说,?与x有关系,是依赖于x的,当x?0时,?不 一定连续地趋于零,它可以跳跃地取某些值趋于零,从而使limcos?x?01??0成
立,而lim?cos??01??0中要求?是连续地趋于零。故由limcos?x?01??0推不出
??0lim?cos1??0
13. 证明:?0?x??2成立x?tgx?x。 cos2x 证明:作辅助函数f(x)?tgx,则f(x)在[0,x]上连续,在(0,x)内可导, 由拉格朗日定理知:
f(x)?f(0)tgx1??(0,x) ??f?(?)?x?0xcos2?即:tgx??1?x(0,)(0,),因在内单调递减,故在cosx22cosx22cos?111xx??x??即: cos20cos2?cos2xcos2?cos2x内单调递增,故
即:x?tgx?1。 cos2x 注:利用拉格朗日中值定理证明不等式,首先由不等式出发,选择合适
的函数f(x)及相应的区间[a,b],然后验证条件,利用定理得
??f?()(?b?a?(a,b) f(b)?f(a),再根据f?(x)在(a,b)内符号或单调
证明不等式。 ?14. 证明:当0?x?时,sinx?tgx?2x。
2 证明:作辅助函数?(x)?sinx?tgx?2x
则??(x)?cosx?sec2x?2
1?2 cos2x1?cos2x?2? 2cosx?cosx?x?(0,)
2?
?(cosx??0
12) cosx?? 故?(x)在(0,)上单调递减,又因?(0)?0,?(x)在(0,)上连续,
22 故 ?(x)??(0)=0,即:sinx?tgx?2x?0,即:sinx?tgx?2x。 注:利用单调性证明不等式是常用方法之一,欲证当x?I时f(x)?g(x),
常用辅助函数?(x)?f(x)?g(x),则将问题转化证?(x)?0,然后在I上
讨论?(x)的单调性,进而完成证明。
15. 证明:若f(x)二阶可导,且f??(x)?0,f(0)?0,则F(x)?,内单调递增。) (0??
f(x)在 x证明:因F?(x)?xf?(x)?f(x),要证F(x)单调递增,只需证F?(x)?0, 2x 即证xf?(x)?f(x)?0。
设G(x)?xf?(x)?f(x),则G?(x)?xf??(x)?f?(x)?f?(x)?xf??(x),因为
f??(x)?0,x?0,故G(x)是单调递增函数,而G(0)?0f?(x)?0?0,
因此G(x)?G(0),即:xf?(x)?f(x)?0, 即:F?(x)?0,即F(x)当x?0时单调递增。
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