微分中值定理的证明题[1](1)(2)

首先应注意：上面应用拉格朗日中值的?是个中值点，是由f和区间[0,x]的

端点而定的，具体地说，?与x有关系，是依赖于x的，当x?0时，?不 一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使limcos?x?01??0成

立，而lim?cos??01??0中要求?是连续地趋于零。故由limcos?x?01??0推不出

??0lim?cos1??0

13. 证明：?0?x??2成立x?tgx?x。 cos2x 证明：作辅助函数f(x)?tgx，则f(x)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导， 由拉格朗日定理知：

f(x)?f(0)tgx1??(0,x) ??f?(?)?x?0xcos2?即：tgx??1?x(0,)(0,)，因在内单调递减，故在cosx22cosx22cos?111xx??x??即： cos20cos2?cos2xcos2?cos2x内单调递增，故

即：x?tgx?1。 cos2x 注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先由不等式出发，选择合适

的函数f(x)及相应的区间[a,b]，然后验证条件，利用定理得

??f?()(?b?a?(a,b) f(b)?f(a)，再根据f?(x)在(a,b)内符号或单调

证明不等式。 ?14. 证明：当0?x?时，sinx?tgx?2x。

2 证明：作辅助函数?(x)?sinx?tgx?2x

则??(x)?cosx?sec2x?2

1?2 cos2x1?cos2x?2? 2cosx?cosx?x?(0,)

2?

?(cosx??0

12) cosx?? 故?(x)在(0,)上单调递减，又因?(0)?0，?(x)在(0,)上连续，

22 故 ?(x)??(0)=0，即：sinx?tgx?2x?0，即：sinx?tgx?2x。 注：利用单调性证明不等式是常用方法之一，欲证当x?I时f(x)?g(x)，

常用辅助函数?(x)?f(x)?g(x)，则将问题转化证?(x)?0，然后在I上

讨论?(x)的单调性，进而完成证明。

15. 证明：若f(x)二阶可导，且f??(x)?0，f(0)?0，则F(x)?,内单调递增。) (0??

f(x)在 x证明：因F?(x)?xf?(x)?f(x)，要证F(x)单调递增，只需证F?(x)?0， 2x 即证xf?(x)?f(x)?0。

设G(x)?xf?(x)?f(x)，则G?(x)?xf??(x)?f?(x)?f?(x)?xf??(x)，因为

f??(x)?0，x?0，故G(x)是单调递增函数，而G(0)?0f?(x)?0?0，

因此G(x)?G(0)，即：xf?(x)?f(x)?0， 即：F?(x)?0，即F(x)当x?0时单调递增。

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