﹙ⅳ﹚双曲线任一焦点弦的两个端点到焦点的距离的倒数和为一定值.
2.2.3 抛物线的定值?7? 例 3
(ⅰ)过抛物线对称轴上一定点的任一弦的端点到这对称轴的距离之积为常数.
(ⅱ) 抛物线任一焦点弦两个端点到焦点的距离倒数之和为一定值.
3 二次曲线的应用
3.1 二次曲线的光学性质
细心发现,生活中充满着二次曲线的影子.比如我们把汽车的镜前灯卸掉,会发现它是一个抛物面,而抛物面是由抛物线的旋转得到的,那么抛物线等二次曲线有什么光学性质呢？ 3.1.1 抛物线的光学性质
如图一,设抛物线的焦距为f,焦点F?f,0?.那么易得抛物线的方
?m2?程为y?4fx.设从焦点F发出的光线与抛物线交与P?,2m?.不妨设
?f?2m>0,则yp?2f?xp. 由导数公式算出P处切线斜率:
kp?yp??2f?2f?xpff ?m2mf根据光的反射性质,反射面切线平分入射光线与反射光线的夹角?8?.
当PF斜率不存在时, p?f,2f? ,P处的切线斜率为1,因此反射光线斜率为0.即反射光线平行于x轴.
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当PF斜率存在时(设为k1),则k1?2mm2?ff?2m?f,因为
m2?f22f2m?f.因此tan2?p?k1.即PF仰角为P点处切线仰角tan2?p?m2?2fm?f21?2m的两倍,因此反射光线PQ与x轴平行. 因此,二次曲线的一条重要的光学性质:
从抛物线焦点处发出的光线,经抛物线反射后,反射光线平行于抛物线主光轴.
由于光路可逆,平行于抛物线的主光轴光线经过抛物线反射后,反射光线所在的直线会聚于焦点.
根据这个性质,可以制作抛物线形状的镜子-凸面镜和凹面镜. 如图二,当物体A,B位于主轴附近时,可近似的认为PO垂直OA
而
ABuABPOOFf? ???,又因为
A?B?vA?B?A?B?FA?v?f因此
fu? v?fv因此面镜成像与透镜有相似的性质:(v<0为虚像,凹面镜f<0)
111?? (u:物距,v:像距) fuv凸面镜与凹透镜相似,总能形成正立,缩小的虚像(因为f<0);凹面镜成像与凸透镜相似,当u
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呈倒立缩小的实像.
抛物线的光学性质非常有用,前面提到的汽车前灯,就是灯泡装在抛物面的焦点处,用平行光线照亮路面;太阳能热水灶的原理就是利用巨大的抛物面聚集日光来加热;将光线通过红宝石激光器可得激光,这通常需要大量的红宝石,而如果用凹面镜把光线聚集起来,则可大大减少红宝石的用量?9?. 3.1.2 椭圆,双曲线的光学性质
抛物线有奇特的光学性质,同样椭圆双曲线也有一些光学性质:
从椭圆或双曲线的一个焦点发射的光线,经反射后,反射光线所在的直线过另一个焦点?10?.
y2x2如图三,设双曲线方程为2?2?1,取它x轴以上的部分,则它是一个
bax2函数图像.y?b?1?2,焦点F10,a2?b2,F20,?a2?b2
a????取双曲线上任意一点P(P不在y轴上),设P?m,n?,则 P点处切线斜率: kp???b?2ma?2a2?m2?bm ??22?a?a?mb?a2?m2?a?a2?b2? PF1斜率: k1?xp?xFa?m1yp?yF1PF1斜率: k2?yp?yF2xp?xF2b?a2?m2?a?a2?b2?
a?m因此可以求出PF1与PF2仰角之和(设为?)的正切
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k1?k22a?b?m?a2?m2值:tan?? ?1?k1?k2a2?m2?a4?b2?m2也可求出P点处切线仰角?p二倍角的正切值:tan2?p?2kp1?kp22a?b?m?a2?m2?22, a?m?a4?b2?m2因此tan2?p?tan?,即??2?p
因此P点处切线平分PF1与PF2的夹角.即从一个焦点处发出的光线经双曲线反射后,反射光线所在直线过另一个焦点.
同样也能证明:从椭圆一个焦点发出的光线经椭圆反射后,反射光线经过另一个焦点.
参 考 文 献
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报,2001,21(4):34-37
Simplification, properties and applications of the second curve
REN Li-juan
Abstract:This will simplify the second curve and be summarized in several ways.And to highlight the way of using the contract and the orthogonal transformation to simplify the simple quadratic curve.To achieve a combination of analytic geometry and advanced algebra.And further summarizes some properties of quadratic curves and applications.
Key words: Orthogonal change;Curvature;Optical properties.
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