三角函数基本概念和表示(2)

553535??A 5 B 5 C 5 D 5

第二节 三角函数的基本公式

复习要求：

1，理解同角三角函数的关系

2，能正确运用同角三角函数的关系进行三角函数的化简求值 3，能正确运用三角函数的诱导公式化简三角函数式 4，理解二倍角的三角函数

知识点:

一、任意角的三角函数

r?在角?的终边上任取一点P(x,y)，记：

x2?y2，

正弦：

sin??yxcos??r 余弦：r

xycot??tan??y x 余切：正切：

rsec??x 正割：

csc??余割：

ry

注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT分别叫做角?的正弦线、余弦线、正切线。

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：sin??csc??1，cos??sec??1，tan??cot??1。

tan??sin?cos?cot??cos?，sin?。

商数关系：

222222平方关系：sin??cos??1，1?tan??sec?，1?cot??csc?。

三、诱导公式

⑴??2k?(k?Z)、??、???、???、2???的三角函数值，等于?的同名

函数值，前面加上一个把?看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限）

?⑵2???、2??3?3?????、2、2的三角函数值，等于?的异名函数值，前面

加上一个把?看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限）

sin?2k?+??=sin?,con?2k?+??=con?,tan?2k?+??=tan?sin????=-sin?,con????=con?,tan????=-tan?

sin?????=-sin?,con?????=-con?,tan?????=tan???????sin????=con?,con????=-sin?,tan?????=-cot??2??2? ?3???3???3??sin????=-con?,con????=sin?,tan????=-cot??2??2??2?

四、和角公式和差角公式

sin(???)?sin??cos??cos??sin? sin(???)?sin??cos??cos??sin? cos(???)?cos??cos??sin??sin? cos(???)?cos??cos??sin??sin?

tan(???)?tan??tan?1?tan??tan? tan??tan?1?tan??tan?

tan(???)?五、二倍角公式 sin2??2sin?cos?

cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?…(?)

2tan?1?tan2?

二倍角的余弦公式(?)有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） tan2??1?cos2??2cos2? 1?cos2??2sin2?

1?sin2??(sin??cos?)2 1?sin2??(sin??cos?)2

cos2??1?cos2?1?sin2?1?cos2?sin2?sin2??tan???22sin2?1?cos2?。 ，，

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

1?tan2?2tan?2tan?cos2??sin2??tan2??1?tan2?，1?tan2?，1?tan2?。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。

七、和差化积公式

sin??sin??2sin???2cos???2 …⑴

sin??sin??2cos???2sin???2 …⑵

cos??cos??2cos???2cos???2 …⑶

cos??cos???2sin???2sin???2 …⑷

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

????????????????????sin??sin??cos?cossin??sin2?2222 ?2????????????????????sin??sin??cos?cossin??sin2?2222 ?2两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

????????????????????cos??cos???coscos?sinsin?2?2222 ?2????????????????????cos??cos??cos?sinsin??cos2?2222 ?2两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式

1sin??cos???sin(???)?sin(???)?2 1cos??sin???sin(???)?sin(???)?2 1cos??cos???cos(???)?cos(???)?2

1?cos(???)?cos(???)?2

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。 九、辅助角公式 sin??sin???asinx?bcosx?a2?b2sin(x??)（）

其中：角?的终边所在的象限与点(a,b)所在的象限相同，

sin??ba2?b2cos??a，

a2?b2，

tan??ba。

经典例题： 例1 已知tan???=34，?是第三象限的角，求sin?，解：

sin?tan?=3?3??4=-con?,con??2????=sin?,?tan?=3sin?34?con??4?9cos2??16sin?2?9?1?sin?2??16sin?2?sin?2?925??是第三象限的角?sin???35,cos??sin?tan?

例2 已知tan?=3，求下列各式的值

sin??2con?（1)2sin??3con? (2)sin?2?2sin?con??1 55答案：3 ， 2

例3 con120o?tan225o?

con120o?tan225o?con?180o?60o??tan(180o?45o解:）

=-cos60o?tan45o??12?1

con?

例4，已知tan(???)?2tan?,求证sin(2???)?3sin? 证明:

?tan(???)?2tan?sin(???)sin?=2cos(???)cos??sin(???)cos??2sin?cos(???)??sin(???)cos??sin?cos(???)?sin?cos(???)sin(???)cos??sin?cos(???)?3sin?cos(???)?sin(2???)?3?sin?????cos??sin?cos??????sin(2???)?3sin??

基础练习： 1，已知

cos??5,且?为第四象限角，那么tan?13的值是（）

551212??A 12 B12 C5 D5

1sin???????,则cos??????22，如果?是锐角，（） 3311?A 2 B2 C2 D2

?oo3，2sin75cos75?（）

1111??A 2 B4 C2 D4

若?、?都是锐角，且sin??4311，cos??+???-,则?=714

4，

????A 3 B8 C4 D6 5，已知

sin2??2sin?+2cos?tan?=2，求（）1的值；（2）sin2?；（3）的值cos2??2cos??sin?

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