函数的单调性、极值、最值学案

第40讲 函数的单调性、极值、最值学案

复习目标：

一、基础知识及应用 1．函数的单调性与导数

（1）在某个区间(a,b)内，f'(x)?0，则函数y?f(x)在这个区间内单调递增；

f'(x)?0，则函数y?f(x)在这个区间内单调递减． f'(x)?0?函数y?f(x)在这个区间内是常函数．

（2）求解函数y?f(x)单调区间的步骤：

①确定函数y?f(x)的定义域；

②求导数y'?f'(x)；求方程f ′ (x)=0的根；

③方程的根，顺次将函数的定义域区间分成若干小开区间，并列成表格；

x f'(x) f(x) ④ ∴函数在 是递增函数…..

（3）如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，

这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些． 2、函数的极值与导数

（1）f?(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；

f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值。

（2）求可导函数f(x)的极值的步骤

①确定函数的定义区间，求导数f ′ (x) ②求方程f ′ (x)=0的根

1

③方程的根，顺次将函数的定义域区间分成若干小开区间，并列成表格； ④∴函数的极大值是………

如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值。 3、函数的最值与导数

（1）在闭区间?a,b?上函数y?f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么函数y?f(x)在

?a,b?上必有最大值与最小值．

（2）利用导数求函数的最值步骤

①求f(x)在(a,b)内的极值；

②将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在?a,b?上的最值。

4、利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题 建立数学模型 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 二．例题解析

作答 用导数解决数学问题

2例1． 已知函数f(x)?x(2?x),求y?f(x)的单调递增区间。

2

例2.已知y?f(x)是二次函数，方程f(x)?0有两个相等实根，且f?(x)?2x?2．

求f(x)的解析式；

例3.已知函数f?x??x?312x?bx?c,在x?1处取得极值， 2（1）求b的值；（2）判断f?x?的单调性；

(3) 若当x???1,2?时，f?x??c恒成立，求c的取值范围；

2

3

函数的单调性、极值、最值作业

1．函数y=x3-3x2-9x(-2

A．极大值5，极小值?27 B．极大值5，极小值?11 C．极大值5，无极小值 D．极小值?27，无极大值 2．函数f (x)=xlnx，x?(0,e]的极值，最值．

A．e B．e C．e D．3．函数y?x?2cosx在区间[0,?1210 3?2]上的最大值是 。

/f(x)f4.若函数在区间[a，b]内恒有(x)?0，则此函数在[a，b]上的最小值是＿＿＿＿

5.曲线f(x)?x?4的极大值点和极小值点是＿＿＿＿＿＿＿＿ x6.设函数f(x)?x(x?a)2在x＝2处取得极大值，则a＝＿＿＿＿.

8．求下列函数的极值和最值：

32（1）y?x?4x?6， （2）y=x?3x?2，[－1,1]

2

3229．函数f(x)?x?ax?bx?a,在x?1时有极值10，求f(x)的解析式；

10：已知函数f(x)?ax?3x?x?1在R上是单调减函数，求 a的取值范围

4

3211．如图，一矩形铁皮的长为8cm，宽为5cm，在四个角上截去 四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，问小正方形的边长 为多少时，盒子容积最大？

12．设f(x)?x?范围。

312x?2x?5,当x?[?1,2]时f(x)?m?0恒成立，求实数m的取值2 5

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