知识讲解-指数函数及其性质-基础

指数函数及其性质

【要点梳理】

要点一、指数函数的概念：

x

函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为R. 要点诠释：

（1）形式上的严格性：只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数．像y?2?3，y?2，

x

x1xy?3x?1等函数都不是指数函数．

（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：

x??x?0时，a恒等于0，①如果a?0，则? x??x?0时,a无意义.②如果a?0，则对于一些函数，比如y?(?4)，当x?x11,x?,???时，在实数范围内函数值不存在． 24③如果a?1，则y?1x?1是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： y=a 图象 ①定义域R，值域 （0，+∞） 01时图象 x 0 ②a=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 性质 ③ax=a，即x=1时，y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ⑤x<0时，a>1 xx>0时，0

x④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，00时，a>1 x?1?（3）指数函数y?a与y???的图象关于y轴对称。

?a?xx

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）

① y?a ②y?b ③y?cx ④y?dx

则：0＜b＜a＜1＜d＜c

又即：x∈(0,+∞)时，bx?ax?dx?cx （底大幂大） x∈(－∞,0)时，bx?ax?dx?cx （2）特殊函数

xxy?2x,y?3x,1y?()x,21y?()x的图像：

3

要点四、指数式大小比较方法

(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法

比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：

①若A?B?0?A?B；A?B?0?A?B；A?B?0?A?B； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断【典型例题】

类型一、指数函数的概念

例1．函数y?(a2?3a?3)ax是指数函数，求a的值．

举一反三：

【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？

（1）y?4；（2）y?x；（3）y??4；（4）y?(?4)； （5）y?(2a?1)(a?

xAA?1，或?1即可． BBx4xx1且a?1)；（6）y?4?x． 2类型二、函数的定义域、值域

例2．求下列函数的定义域、值域.

3x1xx2x?1(1)y?；(2)y=4-2+1；(3)；(4)y?a3?x1?39

举一反三：

【变式1】求下列函数的定义域： (1)y?2x(3)y?22x?1x?1(a为大于1的常数)

-1 (2)y?33-x 2x-1 (4)y?1-ax(a?0,a?1)

类型三、指数函数的单调性及其应用 例3．讨论函数f(x)???

举一反三：

【变式1】求函数y?3?x

2?1??3?x2?2x的单调性，并求其值域．

?3x?2的单调区间及值域.

【变式2】求函数f(x)?ax-2x(其中a?0，且a?1)的单调区间.

例5．判断下列各数的大小关系：

2?1-24(1)1.8与1.8； (2)()3,3,()

3312.52.50

(3)2，(2.5)，() (4)a2与a3(a?0,a?1)

2a

a+1

2

举一反三：

【变式1】比较大小：

2.12.3 33-0.3-0.1

(1)2与2 (2)3.5与3.2 (3)0.9与1.1 (4)0.9与0.7

0.3

0.4

24?0.2(5)1.5,()3,()3.

3311【变式2】利用函数的性质比较2，3，6

1213162【变式3】 比较1.5， 1.3， ()3的大小.

3-0.2

0.7

1

例6. (分类讨论指数函数的单调性)化简：a-2a?a

举一反三： 【变式1】如果a

2x?14323?ax?5（a?0，且a?1），求x的取值范围．

例7．判断下列函数的奇偶性：f(x)?(

举一反三：

【变式1】判断函数的奇偶性：f(x)?

类型五、指数函数的图象问题

11?)?(x) (?(x)为奇函数) 2x?12xx?. x2?12例8．如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数y?ax的图象，而a??,??1?2??2?,3,??，2??则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．

举一反三：

x【变式1】 设f(x)?|3?1|，c＜b＜a且f(c)?f(a)?f(b)，则下列关系式中一定成立的是（ ）

A．3?3 B．3?3 C．3?3?2 D．3?3?2

【变式2】为了得到函数y?9?3?5的图象，可以把函数y?3的图象( ) A．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度 B．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度 C．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度 D．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度

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