线代第二章矩阵测试题

线性代数

第二章《矩阵》测 验

一 选择题 1.

?1已知A????1??2??2?1??2?2?21?211?2???2?1???2?1??,且2A?B?0,则B?（ 1? ）.

(A) (C)

(B) (D)

?0??2???1?2???2?2122?2??1?2??2?2. 设A为n阶方阵，k (A)

(kA)?1为实数，则（ ）一定成立.

kA?kA(kA)?kA**?kAT?1 (B)

(C)(kA)T3. 若A2?kA (D)

).

?I?0，则A?(

(A) 0 (B) I (C) (D) A?0

4. 设A,B为同阶方阵，且AB?0, 则（ ）. (A) (C)

A?0 (B)

(D)

B?0

A,B中至少有一个为0 A,B中至少有一个为0

5. 下列矩阵中，（ ）是最简阶梯形矩阵. (A)

?1?0??0?010000?1???2 ?0?? (B)

?1?0??0??1?0??0?2101000001??1 ?0??0010??0??3??(C)

?1?0??0?0?100000??0?0?? (D)

6. 设A,B为n阶矩阵，则( ). (A)

A?B?A?B (B)

AB?BA

(C) 7.

AB?BA (D)

(A?B)?1?A?1?B?1

A,B,C为同阶方阵，且ABC?I，则( ).

CBA?IACB?I(A) (C)

BAC?IBCA?I (B) (D)

8. 设A为n阶可逆阵，A*为A的伴随阵，则（ ）. (A) (C) 9.

(A)T*?1?(A)?1* (B)

(A)T?1?(A)?1T

(A)?(A)*?1T (D) 以上都正确

a22a12a32?a12??0??a13,P1?1????0a33?a13??a23?a11a设A???21?a?31a12a22a32a13??a21??a23,B?a11???a?aa33?11??311000??0, ?1???1?P2?0??1?0100??0, ?1??则（ ）.

(A) (C) 10.

AP1P2?B (B) AP2P1?BP1P2A?B

(D)

）.

P2P1A?B

A是n阶可逆阵，则（

(A) A?0

(B)A的标准形矩阵为In

(C)A可以表示为若干个初等矩阵的乘积 (D)以上都成立 二 填空题

1. 设A为n阶反对称矩阵，则A?AT? . 2. 已知A为六阶方阵且A??2,

?12则A*= . ,3. 已知A为三阶方阵，且A4. 已知A2?0,(A?I)?1则(3A)?1?A*= . ? . 5.

?10若A????1?0201??0?1??，则An?2An?1(n?2)? . 6. 设A,B,A?B为同阶可逆阵，则(A?1?B?1)?1? . 7.

?12设A????3?0242500??0，A*是A?5??的伴随矩阵，则(A*)?1= . ?108.矩阵A????0?3??6的等价标准形矩阵为 ?7?? . 三 计算题

?1?2把矩阵A???4??1?1?2?4?1?3?53?21??3?化为最简阶梯形矩阵，并写出其等价标19??2?1.

准形矩阵.

2. 设A为n阶方阵且满足条件A2?A?6I(1)求A,(A?I)(2)求(A?4I)?1?1?1?0,

3. 用两种方法判断下列矩阵是否可逆，若可逆时，并求逆

?12（1）????3?0121??0??5??

?13（2）???2?010?322?10010?3???4 ?0??0??0?1?1?，且ABA?BA?3E， 0??8?4. 设矩阵A的伴随矩阵

?1?0*A???1??0其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B.

5.

?0?1已知X?AX?B,其中A?????1??01求矩阵方程???0?1000??1??0X0???1???00011100??1??1，B?2????5?1???40?2?1??0,求矩阵X??3??.

6.

0??1??1?2???0???13???10 ?0??四．证明题

1. 设A,B,A?B均为n阶可逆矩阵，试证：

(1)A?1?B可逆，且(A?1?1?1?B)?1?1?1?A(A?B)B；?1

(2)A(A?B)B?B(A?B)A.2.设n阶矩阵A?2 E???,其中E是n阶单位矩阵，?是n维非零列向量.试证明：T(1)A?A的充分必要条件是???1；(2)若???1时,A是不可逆矩阵.TT

五．应用题

1 设3个产地和4个销地之间的距离（单位：千米）为矩阵A:

?115?A?70??68?1601087072397385??47, ?91??已知货物每吨千米的运费为1.5元，求各产地与各销地间每吨货物的运费矩阵.

2. 设在一个经济系统中有3个部门，在一个生产周期中，各部门之间的消耗系数及最终产品如下图所示. 求各部门的总产品及部门间的流量，并求各部门的新创价值.

消 耗 系 生 产 部 门 1 2 3 4 消 耗 部 数 门 1 2 3

0.25 0.2 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.1 0.2 245 90 175

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