韶关市2011届高三数学摸底考试理数试题
参考答案和评分标准
一、选择题 1. B
2. D
3. C
4. D
5. C
6. A
7. A
8. B
二、填空题 9.
5 6
10. ?1760 11. i?10(答案不唯一)
12. 24
13.
5?1
14. 1 15. ??TBA??BTO 三、解答题
16. 解：（Ⅰ）f(x)?2sin2x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x ?1?2(sin2xcos??cos2xsin)?1?2sin(2x?)…..4分
444?? 所以函数f(x)的最小正周期为?，最大值为1?2…………..6分 （Ⅱ）由2k??得k???2?2x??4?2k???2(k?Z)………………………………7分
3?(k?Z)…………………………………………………9分
88??3?(k?Z)……………………………………..10分 由2k???2x??2k??2423?7??x?k??(k?Z) ……………………………………………….11分 得k??88?3?3?7?](k?Z);单调减区间[k??,k??](k?Z) 所以，单调增区间[k??,k??8888?x?k??. …………………………………………………………………………………………12分 17. 解：（Ⅰ）f?(x)?6x2?6ax?3b，………………………………………………..1分 因为函数f(x)在x?1及x?2取得极值，则有f?(1)?0，f?(2)?0…….2分
?即??6?6a?3b?0
?24?12a?3b?032解得a??3，b?4……………………………………………………………..5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x)?2x?9x?12x?8c，
f?(x)?6x2?18x?12?6(x?1)(x?2)……………………………………..6分
当x?(0,1)时，f?(x)?0；当x?(1,2)时，f?(x)?0；
当x?(2,3)时，f?(x)?0………………………………………………..8分
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所以，当x?1时，f(x)取得极大值f(1)?5?8c，又f(0)?8c，f(3)?9?8c 则当x?[0,3]时，f(x)的最大值为f(3)?9?8c…………………..10分 因为对于任意的x?[0,3]，有f(x)?c2恒成立， 所以9?8c?c，解得c??1或c?9，
因此c的取值范围为(??,?1)?(9,??)…………………………………12分 18. 解法一：（Ⅰ）?直三棱柱ABC?A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5， ?AC?BC，
又ABC?A1B1C1是直三棱柱，所以，CC1?AC ………………………2分
2AC?面BCC1B1，BC1?面BC1 ?AC?B1；…….4分 C（Ⅱ）设CB1与C1B和交点为E，连结DE，
?D是AB的中点，E是BC1的中点，?DE//AC1…….7分
?DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，?AC1//平面CDB1；…9分
（Ⅲ）?DE//AC1，??CED为AC1与B1C所成的角…11分， z C1B11515在?CED中，ED?AC1?，CD?AB?， 22221CE?CB1?22，
2A1ECE2?ED2?CD2822?cos?CED??? 52?EC?ED52?22?2ACDBy x 22………………………..14分 ?异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为5解法二： ?直三棱柱ABC?A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，
?AC?BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，?AC?BC1；….3分
?AC，BC，C1C两两垂直。………………………………………………4分
如图，以C为坐标原点，直线AC，BC，C1C分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(,2,0)…6分
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?????????（Ⅰ）?AC?(?3,0,0)，BC1?(0,?4,4)，?AC?BC1?0，?AC?BC1……8分
（Ⅱ）设CB1与C1B和交点为E，连结E(0,2,2)。
????????1??????????3?DE?(?,0,2)，AC1?(?3,0,4)?DE?AC1，?DE//AC1
22?DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，?AC1//平面CDB1………………..11分
?????????（Ⅲ）?AC1?(?3,0,4)，CB1?(0,4,4)
cos?AC1,CB1??AC1?CB1AC1?CB1?22 522………………………………14分 5?异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为19. 解：（Ⅰ）由题设可知Y1和Y2的分布列分别为 Y1 P 5 0.8 10 0.2
Y2 P 2 0.2 8 0.5 12 0.3 EY1?5?0.8?10?0.2?6………………………………………….1分
DY1?(5?6)2?0.8?(10?6)2?0.2?4…………………………...3分 EY2?2?0.2?8?0.5?12?0.3?8………………………………..4分
DY2?(2?8)2?0.2?(8?8)2?0.5?(12?8)2?0.3?12………..6分
x100?xY1)?D(Y2)………………………….8分 100100x2100?x2?()DY1?()DY2……………………………………….10分 1001004?[x2?3(100?x)2] 2100422?(4x?600x?3?100)……………………………………..12分 2100600?75时，f(x)?3为最小值。…………………………14分 当x?2?4（Ⅱ）f(x)?D(20. 解：（1）设M(x,y)，则F1M?(x?c,y),F2M?(x?c,y)
由F1M?F2M?0?x2?y2?c2?y2?c2?x2………………………………….1分 b22又M在椭圆上，∴y?b?2x ………………………………………………2分
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b22a2b222∴c?x?b?2x?x?a?2， ………………………………………..3分
ac222又0?x2?a2 ∴0?2?∵0?e?1,?12?1??e?1,……………………………….4分
2e22?e?1 ………………………………………………………….5分 22x2y2（2）①当e?时得椭圆为2?2?1
22bb设H(x,y)是椭圆上一点，
则HN2?x2?(y?3)2?(2b2?2y2)?(y?3)2??(y?3)2?2b2?18,(?b?y?b)
………6分
设0?b?3，则?3??b?0，当y??b时，HN2max?b2?6b?9,，由题意得b2?6b?9?50
∴b??3?52，与0?b?3矛盾，……………………………………………7分 设b?3得?b??3，当y??3时，HN2max?2b2?18,，由2b2?18?50得b2?16,（合题薏）
x2y2∴椭圆方程是：??1 ……………………………………………………8分
3216x2y2??1②．设l:y?kx?m由 3216?(1?2k2)x2?4kmx?2m2?32?0
y?kx?m而??0?m2?32k2?16 …………………………………………………….9分
??又A、B两点关于过点P?0,?3?、Q的直线对称
?3?12kmm∴kPQ??，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则xQ??……………10分 ,y?Qk1?2k21?2k2∴
yQ?323??1?m?1?2k ………………………………………………11分 ?xQk3?1?2k2∴??3??4722??32k?16?0?k? …………………………….12分 ?2?9494 ……………………………………13分 ?k?0或0?k?229494 ………………………14分 ?k?0或0?k?222又k?0，∴?∴需求的k的取值范围是?21解：（1）?an?1?f( ?{an}是以
2?3an12)??an?……………………………2分 an332为公差，首项a1?1的等差数列………………………3分 321?an?n? ………………………………………………………4分
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（2）Tn?a1a2?a2a3?a3a4?a4a5???a2n?1a2n?a2na2n?1 ?a2(a1?a3)?a4(a3?a5)???a2n(a2n?1a2n?1)
54n1n(??)443334 ??(a2?a4???a2n)????(2n2?3n)……8分
332911911 （3）当n?2时，bn???(?)
an?1an(2n?1)(2n?1)22n?12n?13333 当n?1时，上式同样成立
91111191?Sn?b1?b2???bn?(1???????)?(1?)23352n?12n?122n?1 ………………….11分
m?200291m?2002*)?，即(1?对一切n?N成立，
222n?1291919)随n递增，且(1?)? ……………………12分 又(1?22n?122n?129m?2002 ??，?m?2011，?m最小?2011 …………………14分
22 ?Sn?
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