二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。 例5：
解：（1）如图建立坐标系，则A(0,0,a),C(a,a,0),D(0,a,0),E(a,'a,0) 2a'?AC?(a,a,?a),DE?(a,?,0)，
2?cos?AC,DE??''AC?DE'AC?DE?15 15故AC与DE所成的角为arccos'15 15'（2）?ADE??ADF,所以AD在平面BEDF内的射影在?EDF的平分线上，又
B'EDF为菱形，
?DB'为?EDF的平分线，故直线AD与平面B'EDF所成的角为?ADB'，
建立如图所示坐标系，
则A(0,0,0),B'(a,0,a),D(0,a,0)，?DA?(0,?a,0),DB'?(a,?a,a)，
?cos?DA,DB??'DA?DB'DA?DB'?3 33 3a,0)， 2故AD与平面BEDF所成角为arccos'''由A(0,0,0),A(0,0,a),B(a,0,a),D(0,a,0),E(a,所以平面ABCD的法向量为m?AA'?(0,0,a) 下面求平面BEDF的法向量， 设n?(1,y,z)，由ED?(?a,'aa,0),EB'?(0,?,a)， 22??n?ED?0?y?2，?n?(1,2,1) ????'z?1??n?EB?0??cos?n,m??m?nm?n?6， 6所以平面BEDF与平面ABCD所成的角arccos'6 6点评：（1）设l1,l2是两条异面直线，A,B是l1上的任意两点，C,D是直线l2上的任意两点，则l1,l2所成的角为arccosAB?CDAB?CD
（2）设AB是平面?的斜线，且B??,BC是斜线AB在平面?内的射影，则斜线AB与平面?所成的角为arccosAB?BCAB?BC。
（3）设n1,n2是二面角??l??的面?,?的法向量，则?n1,n2??arccos是二面角的平面角或补角的大小。 例6：
（1）证明：建立空间直角坐标系（如图）， 设AD=PD=1，AB=2a（a?0），
则E(a,0,0), C(2a,0,0), A(0,1,0), B(2a,1,0), P(0,0,1), F(a,n1?n2n1?n2就
1111,).得EF?(0,,)，2222PB?(2a,1,?1)，AB?(2a,0,0).
由EF?AB?(0,,)?(2a,0,0)?0， 得EF?AB，即EF?AB，
1122BPBB? 同理EF?PB，又A（2）解：由AB?， 所以，EF?平面PAB.
z P x C F E A y 2BC，得2a?2，
2即a?.
2得E(D B 2112,,)，C(2,0,0). ,0,0)，F(2222112,?1,0)，EF?(0,,).
222 有AC?(2,?1,0)，AE?( 设平面AEF的法向量为n?(x,y,1)，
111??1(x,y,1)?(0,,)?0y??0???n?EF?0222???2由?， ??????(x,y,1)?(2,?1,0)?0?2x?y?0?n?AE?0???2?2??y??1解得?. 于是n?(?2,?1,1).
x??2?? 设AC与面AEF所成的角为?，AC与n的夹角为?AC,n?.
则sin??cos?AC,n??AC?nAC?n?(2,?1,0)?(?2,?1,1)2?1?02?1?1?3. 6得??arcsin3. 63. 6所以，AC与平面AEF所成角的大小为arcsin点评：设n是平面?的法向量，AB是平面?的一条斜线，则AB与平面?所成的角为
?2?arccosAB?nAB?n，或者arcsinAB?nAB?n。
例7：
解：建立如图所示空间直角坐标系C?xyz，取PB的中点D， 连DC,可证DC?PB，
作AE?PB于E，则向量DC与EA的夹角的大小为二面角A?PB?C的大小。
x E D A C P z
A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,0),P(1,0,1)，D为PB的中点，
PEAP21121??， ?(,,)，在RtPAB中，
EBAB232221323123?E分PB的比为，?E(,,)?EA?(,?,?)
3444444B y 12113，DC?(?,?,?)，EA?DC?,EA?22222
133，?二面角A?PC?C的大小为arccos DC?1,cos?EA,DC??2?333?12例8：
解：如图建立直角坐标系，
z 1则B(0,1,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1)
211AD?(,0,0),SC?(1,1,?1),SD?(,0,?1)22，
S B y C SA?平面ABCD,?AD?平面SAB
所以AD是平面SAB的一个法向量。设平面SCD的一个法向量n?(x,y,z)
A D x ?x?y?z?0???x?2z?n?SC?n?SC?0???,??由?，??1
y??zx?z?0??n?SD?n?SD?0????2令z?1,n?(2,?1,1)，?cos?AD,n??AD?nAD?n?62,?tan?AD,n?? 32平面SCD与平面SAB所成的二面角的正切值为2 2点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量n1与n2的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的大小。
（2）当法向量n1与n2的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量n1与n2的夹角的补角???n1,n2?。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。 例9：
解：∵直三棱柱ABC－A1B1C1底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5， ∴AC、BC、C1C两两垂直，
如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则C（0,0，0），A（3,0，0），C1（0,0，4），B（0,4，0），B1（0,4，4），D（
3，2,0） 2（1）∵AC＝（－3,0，0），BC1＝（0，－4,0），∴AC?BC1＝0，∴AC⊥BC1.
（2）设CB1与C1B的交战为E，则E（0,2，2）. ∵DE＝（－∴DE?3，0,2），AC1＝（－3,0，4）， 21AC1，∴DE∥AC1. 2∵ DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1； 点评：平行问题的转化：
转化
面面平行线面平行
转化
线线平行；
例10．
解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1
分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），
A（1，0，0）C（0，2，0） （1）
D1A1DAEBB1C1C因为DA1,D1E?(1,0,1),(1,x,?1)?0,所以DA1?D1E.
（2）因为E为AB的中点，则E（1，1，0），从而D1E?(1,1,?1),AC?(?1,2,0)，
??n?AC?0, AD1?(?1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n?(a,b,c)，则???n?AD1?0,
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