2.3.2 平面与平面垂直的判定

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第二章点、直线、平面之间的位置关系

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.2 平面与平面垂直的判定

一、教学目标

1、知识与技能

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用； （3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。 2、过程与方法

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。 3、情态与价值

通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。 二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定； 难点：如何度量二面角的大小。 三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。 2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板） 四、教学设计

（一）创设情景，揭示课题

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知 1、二面角的有关概念

老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以

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赢在45分钟 新课标必修二·数学·人教A版 上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

角 A 图形 边 顶点 O 边 B 从平面内一点出发的两条射线（半定义 直线）所组成的图形 构成 表示 2、二面角的度量

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：

（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L” ，OB⊥L； （2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平

面的位置关系怎样？

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β B 获得两个平面互相垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A （三）应用举例，强化所学 α 例题：例1如图，已知三棱锥的三个侧面与底面全等，且AB?AC?3,BC?2，求以BCD为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小。

思维导引：①图中有现成的二面角的平面角吗？交线是BC， 怎么作出二面角的平面角来？

AC②底面ABC是什么三角形？哪条线垂直交线？

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二面角 A 梭 l β B α 从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 半平面 一 线（棱）一 半平面 二面角α-l-β或α-AB-β 射线 — 点（顶点）一 射线 ∠AOB B赢在45分钟 新课标必修二·数学·人教A版 ③侧面DBC是什么三角形？它和底面ABC全等，对应边的大小 关系是怎样的？侧面DBC中哪条线垂直交线？

④找到二面角的平面角之后需要求AD的长度，侧面DAC也和 底面ABC全等，对应边的大小关系是怎样的？AD?2吗？ 规范解答：设E为BC的中点，连结DE,AE

A因为AB?AC，所以AE?BC，同理DE?BC， 所以?DEA即为二面角A?BC?D的平面角，

因为AB?AC?3,BC?2，所以AE?DE?2，又AC?2，

DC.EB侧面DCA与底面ABC全等，所以DC?2,AD?3，所以AE?DE?AD，所以?AED为等边三角形，所以?AED?60?，即二面角A?BC?D为60? 变式训练：正三棱柱ABC—A、CC1上的1?2AB，D、E分别是侧棱BB1B1C1中，AA1点，且EC?BC?2BD，过A、D、E作一截面，求截面与底面所成的角 规范解答：延长ED交CB延长线于F， A11?DB//EC,BD?EC,?FB?BC?AB.又?ABF?120?，

2∴ ?BAF??BFA?30?，?FAC?90?. ∵AA??AF,AC?AF，

A?EAC ∴ AF?A,E为截面与底面所成二面角的平面角.

在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°.

例2已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P. （1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF. 思维导引：①这是由平面图形折叠成立体图形的问题，折叠前后哪些关系不变？哪些关系会改变？ ②点P是怎么来的？共点P的三条棱之间是什么关系？两两垂直吗？PA和面PEF垂直吗？

③如何得到面面垂直？平面APE是过直线PA的面吗？ 规范解答：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P，

∴ PA⊥平面PEF. ∵EF?平面PEF，∴PA⊥EF.

（2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF. 又PE?平面PAE，∴平面APE⊥平面APF. A变式训练：如图, 在空间四边形ABCD中，

FAB?BC,CD?DA, E,F,G分别是CD,DA,AC的中点，求

面BEF?平面BGD. G规范解答：AB?BC,G为AC中点，所以AC?BG.

B 同理可证AC?DG, ∴ AC?面BGD. EC又易知EF//AC，则EF?面BGD.

又因为EF?面BEF，所以平面BEF?平面BGD.

（四）运用反馈，深化巩固 问题：课本探究问题

做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。 （五）小结归纳，整体认识

C1B1EDCB证：平

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赢在45分钟 新课标必修二·数学·人教A版 （1）二面角以及平面角的有关概念；

（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？ （六）课后巩固，拓展思维

1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。

2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？

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