数学建模训练题1--火车上餐饮问题

列车售餐价格问题

摘要

列车要的就餐问题一直是一个棘手的问题，服务方依靠得天独厚的优势以高出市场几倍价格出售食品，简直就是暴力垄断。而乘客往往有一个价格承受上限，随着价格的继续增加，超过这个上限，乘客将会放弃购买，往往会自己自带食物如方便面、面包等。所以，服务方的销售效益会随着乘客的购买量以及销售价格而变化。对于这个问题，我们建立一个数学模型，在这个模型中，我们将售价、需求量、成本作为数学决策变量，将利润作为目标函数，在约束条件下，求出利润的最大值。

在问题中我们利用微分方程，先找出早餐、盒饭和方便面销售量与价格之间的函数关系，设?,?,?分别为价格上涨时，早餐、盒饭和方便面的销售量减少率。q0,q1,q2分别为早餐、盒饭和方便面的成本价。根据微分方程模型，得到早餐、盒饭和方便面的销售量与其相应价格之间的函数关系为：x(c)?500ea(q0?c)?(q1?c1)?(q2?c2)y(c)?200ez(c)?100e12，，。同

时，我们假设q0=5;q1=10;q2=3;均为市场价格。此时餐饮均是需求大于供给，所以此时为

最大需求量x0=500;y0=200;z0=100。

可得利润：w3?w?(q0x0?q1x1?q2x2)?w?(5*500?10*200?3*100)

?500ce?(5?c)?400c1e?(10?c1)?200c2e?(3?c2)?4800

由于我们不知道销售量减少率，因此，我们可以通过市场调查得出减少率的稳定值。最后可以算出最大利润。 关键词：微分函数 matlab

一、问题重述

长途列车由于时间漫长，列车需要为乘客提供基本一日三餐服务。由于列车上各方面的成本高，因此提供车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格为15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食物如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食物，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。且列车容量有限，只能提供有限的餐量，适当提高价格是可以的，但不能高的过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可以提供每餐100人的方便面。根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。

二、问题分析

根据我们的认知，商品价格越低，人们买的欲望越高，人们的需求量越大。因此，价格与需求量之间存在着反向变动的关系，也就是在其他条件不变的情况下，需求量随着价格的上升而减少。火车上快餐的供给量有限，火车上乘客的数量较大，他们对快餐的需求量大大超过了供给量，从而出现了供不应求的现象。如果火车快餐保持原价的话，就会出现争抢的局面，而且不利于火车运营商获得利润。因此，他们要将价格提高。随着价格的慢慢提高，从收入低的旅客慢慢减少了对火车快餐的需求。火车快餐价格提的越高，人们的需求量就越小，直到达到两者的平衡点。而选择火车快餐的群体一般是那些收入较高的群体。

三、问题假设

1、列车上早餐可以供给500份；

2、列车上除早餐外，午餐和晚餐只提供方便面与盒饭两种食物； 3、列车上食物的成本价为市场价格；

4、每位乘客早餐只需要早餐、午餐及晚餐只需要一盒盒饭或一袋方便面；

四、符号说明

C C1 C2 ? 一份早餐的销售价格 一份盒饭的销售价格 一袋方便面的销售价格 早餐上涨时，销售量减少率 盒饭上涨时，销售量销售量减少率 方便面价格上涨时，销售量减少率 早餐价格为c时，早餐销售量 盒饭价格为c1每餐盒饭销售量 方便面价格为c2时，每餐方便面销售量 早餐成本价 盒饭成本价 方便面成本价 总收入 纯利润 ? ? X(c) Y(c1) Z(c2) q0 q1 q2 W W3 五、模型建立与求解

因为在火车上，餐饮量不会受到外界多大干扰，所以每餐的销售量不会有太多偏差。因此，我们可以对一顿饭做相应研究，从而得到最大收益。

1.销售量与销售价格之间的函数关系：

当早餐价格由c上涨到c+?c时，销售量的减少量为：

x(c??c)?x(c)???x(c)?c

整理得：

x(c??c)?x(c)???x(c)

?c进一步推导得：

dx???x dc当c=q0时销售量x(c)=x0,于是可以建立如下方程：

dx???xdc x(q0)?x0则该初值问题的解为：

x(c)?x0e?(q0?c)

当c为早餐成本价时，需求量大于供给量，因此所有的早餐都卖光，此时x(c)=500,则函数方程为：

x(c)?500ea(q0?c)

X(c)大体图像如下：

假设当c1?q1时，y(c1)?y0;c2?q2时，z(c2)?z0;于是有；dy???ydc1y(c1)?y0解得：y(c1)?y0同理得：y(c1)?200e?(q1?c1)上式的图像大致为：

dz???zdc2z(c2)?z0解得：z(c2)?z0e?(q2?c2)同理可得：z(c2)?100e?(q2?c2)图像如下：

因为：收入=销售价格*销售量,所以，

对于早餐收入：w0?x0cea(q0?c)对于盒饭收入：w1?y0c1e?(q1?c1)对于方便面收入：w3?z0c2er(q2?c2)一天总收入：w?w0?2(w1?w3)利润：w3?w?(q0x0?q1x1?q2x2)

在此假设q0=5;q1=10;q2=3;均为市场价格。此时餐饮均是需求大于供给，所以此时为最大需求量x0=500;y0=200;z0=100;可得：

w0?500ce?(q0?c)w1?200ce?(q1?c1)w2?100ce?(q2?c2)w?w0?2(w1?w2)w3w3?w?(q0x0?q1x1?q2x2)?w?(5*500?10*200?3*100)

?500ce?(5?c)?400c1e?(10?c1)?200c2e?(3?c2)?4800

要求w3的最大值，即是求w0,w1,w2的最大值，则分别对上述方程一次求导，得：

'w0?500ea(5?c)(1??c)w1'?200e?(10?c1)(1??c1)'w2?100e?(3?c2)(1??c2)'w0?0时，c?1?;w1'?0时，c1?1?';w2?0时，c2?1r当c?1?时，w'0?0,单调递增，当c?11?时，w'0?0,单调递减；时w1达到最大值，c2?1所以c??时w0达到最大值。同理c1?1??时w2到达最大值。由此要知道最大收入，就要知道销售量减少率，求列车快餐的最大收入，可以运用调查问卷的方法来确定销售量减少率?、?和?的值。

例如：若早餐销售量减少率??0.20，则制定早餐价格c=5元,早餐收入为：2500元，盒饭销售量减少率为??0.05，则制定盒饭价格为20元，此时盒饭收入为4840元：，方便面销售量减少率为??0.25，则制定方便面价格为4元，此时方便面收入为：623元，最大利润为：w3?2500?4840?623?4800?3163元。

六、模型评价与推广

1、模型的优点

模型是通过建立微分方程得到价格与销售量之间的关系，再根据收入=价格*销售量，得到收入与销售量减少率及价格之间的函数关系。该模型的销售量减少率为稳定值，可以通过市场调查得出。该模型简单，容易理解，但是没有考虑到销售量减少率可能会随着价格的变动而改变。

2、模型的缺点

对于本题我们还没有考虑到餐饮如果没有卖出是否有有降价处理的可能性，同时也没有考虑列车中间停站时，乘客会下车购买食物。以及火车还可能提供其他食物。因此，该问题还需进行改进与优化。

3、模型的推广

本模型可以为长途列车上餐饮问题对的分配问题带来帮助，可以大致计算出需求及供给的关系，然后计算出大致结果。这样既方便了乘客，同时也为餐饮运营商带来最大利益。

七、参考文献

[1]戴朝寿，孙世良编著.数学建模简明教程.北京：高等教育出版社；2007 [2]李伯德编著.数学建模方法.甘肃教育出版社；2006 [3]高隆昌，杨元著.数学建模基础理论.科学出版社；2007

[4]沈继红等编著.数学建模.哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社；1998 [5]李志林编著.数学建模典型案例分析.北京:化学工业出版社；2007

[6]罗守权、卓岩.经济学原理.北京:首都经济贸易大学出版社，2004，第一版

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