福建省2013届高三毕业班质量检测数学文试题 Word版含答案

2013年福建省普通高中毕业班质量检查

文 科 数 学

本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时

间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．

3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

参考公式：

样本数据x1，x2， …，xn的标准差 锥体体积公式 s=11222??(x?x)?(x?x)?…?(x?x) V=Sh 2n?3n?1

其中S为底面面积，h为高 球的表面积、体积公式

其中x为样本平均数 柱体体积公式

V=Sh

4S?4?R2，V??R3

3其中S为底面面积，h为高 其中R为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数z?1?i，z为z的共轭复数，则下列结论正确的是

A．z??1?i D．

B．z??1+i

C．

z?2

z?2 2．已知a?b,c?0，则下列不等式一定成立的是

A．a2?b2 B．ac?bc

D．

C．a?c?b?c

ab? cc3．执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出的x值为 A．3 B．8 C．9 D．63 4．“x?1”是“x2?1?0”的

Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

5．函数y?x2cosx??

6．已知集合MC

D

π2?????x??的图象是 2??2yy Oπ2xπ2Oπ2xA B

??x|?2?x?8?，N??x|x2?3x?2?0?，在集合M中任取一个元素

1 63 101 2x ，则 “x?M?N”的概率是

A．

1 10 B． C． D．

7．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，焦距为4.若P为椭圆C上一点，且?PFF12的周长为14，则椭圆C的离心率e为 A ．

12421 B． C． D． 5555?3x?y?1?0,?8．若变量x,y满足约束条件?3x?y?11?0,则z?2x?y的最小值为

?y?2,?A．4 B．1 C．0 D．?1 9．设m,n为两条不同的直线，?,?是两个不同的平面，下列命题正确的是 A．若m//n,m//?，则n//? B．若m//?,n//?，则m//n C．若m//n,m??，则n?? D．若m??,n??,m//n，则?//? 10．已知点O?0,0?，A?1,2?,B?3,2?，以线段AB为直径作圆C，则直线l:x?y?3?0与圆C的位置关系是

A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 11．已知点O?0,0?,A0?0,1?,An?6,7?,点A1,A2,?,An?1?n?N,n?2?是线段A0An的n等

?n?1? D．10?n?1?

????????????????????分点，则OA0?OA1+??OAn?1?OAn等于

A．5n B．10n C．5x?y?g1l010x,?12．定义两个实数间的一种新运算“*”：

给出如下结论： ①

?y?x,y?R.对任意实数a,b,c，

?a*b?*c?a*?b*c?； ②a*b?b*a； ③?a*b??c??a?c?*?b?c?；

其中正确的个数是

A． 0 B．1 C．2 D．3

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取

14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人．

b?8，C=14．在?ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知a?3，

?3，则c= ．

?2x?a,x?0,15．若函数f(x)??有两个不同的零点，则实数a的取值范围

lnx,x?0?是 ． 16．观察下列等式：

12??1； 33781011????12； 3333161719202223??????39； 333333?

则当m?n且m,n?N表示最后结果.

3n?13n?23m?23m?1?????? （最后结果用m,n表示最后结果）． 3333三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)

某工厂生产A,B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：

A B 7 6 7 7．5 8．5 9 8．5 9．5 x y 由于表格被污损，数据x,y看不清，统计员只记得x?y，且A,B两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x与y的值；

（Ⅱ）若从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率． 18．(本小题满分12分) 已知函数

f?x??sinx?cosx，x?R．

（Ⅰ）求

???f??的值； ?12?（Ⅱ）试写出一个函数g19．(本小题满分12分)

?x?，使得g?x?f?x??cos2x，并求g?x?的单调区间．

某几何体ABC?A1B1C1的三视图和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：平面ABC11?平面AACC11； （Ⅱ）若E是线段AB1上的一点，且满足VE?AA1C11?VABC?A1B1C1，求AE的长． 9

C1

俯视图42正(主)视图4A1B1侧(左)视图AC正视方向B20．(本小题满分12分)

某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO2的年排放量约为9.3万吨， （Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO2约多少万吨？

（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO2的年排放量每年比上一年减少的百分率为围.

（参考数据8p，为使2020年这一年的SO2年排放量控制在6万吨以内，求p的取值范

2?0.9505，92?0.9559）． 3321．(本小题满分12分) 已知函数

f?x??ex?ax2?bx．

f?x?的单调区间；

（Ⅰ）当a?0,b??1时，求（Ⅱ）设函数

f?x?在点P?t,f?t???0?t?1?处的切线为l，直线l与y轴相交于点Q.

若点Q的纵坐标恒小于1，求实数a的取值范围． 22．(本小题满分14分)

某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线E:y2?2px，在抛物线上任意画一个点S，度量点S的坐标

?xS,yS?，如图．

（Ⅰ）拖动点S，发现当xS?4时，yS?4，试求抛物线E的方程；

（Ⅱ）设抛物线E的顶点为A，焦点为F，构造直线SF交抛物线E于不同两点S、T，构造直线AS、AT分别交准线于M、N两点，构造直线MT、NS．经观察得：沿着抛物线E，无论怎样拖动点S，恒有MT//NS.请你证明这一结论．

（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F”改变为其它“定点G，其余条件不变，发现“MT与NS不再平行”．是?g,0??g?0?”

否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT应的正确命题；否则，说明理由．

//NS”成立？如果可以，请写出相

2013年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的

内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D

二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．8； 14．7； 15．0?a?1； 16．n2?m2．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分． 解：(Ⅰ)因为xA= 由

11（7+7+7?5+9+9?5）=8，xB=（6+x?8?5?8?5?y）， 55xA=xB，得

x?y?17． ① ???????????????2分

因为sA= 由

21122??（1+1+0.25+1+2.25）=1.1，s2=4+（x?8）+0.25+0.25+（y?8）， B??552s2A=sB，得

22（x?8）+（y?8）=1． ② ????????????????4分

由①②解得?因为x?y， 所

?x?8，?x?9，或?

?y?9，?y?8.以

x?8y?． ???????????????6分

(Ⅱ) 记被检测的5件B种元件分别为B1,B2,B3,B4,B5，其中B2,B3,B4,B5为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:

?B1,B2?，?B1,B3?，?B1,B4?，?B1,B5?，?B2,B3?， ?B2,B4?，?B2,B5?，?B3,B4?，?B3,B5?，?B4,B5?， ???????????????8分

记“2件都为正品”为事件C，则事件C包含以下6个基本事件：

?B2,B3?，?B2,B4?，?B2,B5?，?B3,B4?，?B3,B5?，?B4,B5?.???????????

10分

所以P(C)?63?，即2件都为正品的概率为1053. ???????????????12分 518．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解法一：(Ⅰ)因为

f?x??2sin(x?)，???????????????3分

4?所以(Ⅱ)g?6???????f???2sin????2sin?.???????????6分

32?12??124??x??cosx?sinx. ??????????????????????7分 ?x?f?x??(cosx?sinx)(sinx?cosx)?cos2x?sin2x?cos2x,

?x??cosx?sinx符合要求．????????????????????9分

?x??cosx?sinx??4下面给出证明： 因为g所以g又因为g由2k?所以g11分 又由2k?所以g分 解

法

???2cos?x??，????????????????10分

4??3?7??x?2k??, 44???x??2k??2?,得2k??3?7??2k??2k???x?的单调递增区间为???，k?Z.????????????

?44??x??4?2k???,得2k???4?x?2k??3?, 4?3??2k??，2k???x?的单调递减区间为???，k?Z.????????????12

?44?二

2：(Ⅰ)因为

??f????x?1?2si所xn以2,????f?1??又因为

????2?1????3s?i，????????????n3分

62???f???0,所以?12?6???．????????????6分 f????12?2(Ⅱ)同解法一． 解法三：(Ⅰ)

?????????????f???sin?cos?sin????cos???

1212?12??34??34??sincos?cossin?coscos?sinsin?????34343434??????????3分

?321212326????.??????????222222222??6分 (Ⅱ)同解法一．

注：若通过g?x??cos2x得到g?x?或由g?x?f?x??(cosx?sinx)(cosx?sinx)f?x?两边同时约去

f?x?得到g?x?不扣分．

19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体ABC?A1B1C1为三棱柱，侧棱AA1?底面A1B1C1，

B1C1?A1C1,且AA1?AC?4，BC?2．???????????????2分 ?AA1?平面A1B1C1，B1C1?平面A1B1C1,?AA1?B1C1， ???????3分 ?B1C1?A1C1,AA1?A1C1?A1，?B1C1?平面A1ACC1．????????5分

又?B1C1?平面AB1C1， ?平面AB1C1?平面AA1C1C．?????????6分

（Ⅱ）过点E作EF//B1C1交AC1于F， 由（Ⅰ）知，EF?平面A1ACC1，即EF为三棱锥E?AA1C的高. ???7分

111?VE?AA1C1?VABC?A1B1C1，?S?AA1C1?EF?S?ABC?AA1, ????????8分

939?21?11?1?????4?4??EF????2?4??4，解得EF?.????????9分

33?29?2??在Rt?ABC中，AB?在Rt?ABB1中，AB1?由

AC2?BC2?42?22?25， AB2?BB12???25?42?6，????????10分

2AEEF， ????????11分 ?AB1B1C1AB1?EF?B1C126?23?2. ????????12分

得AE?解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）过点E作EF//B1C1交AC1于F， 由（Ⅰ）知，EF?平面A1ACC1，即EF为三棱锥E?AA1C的高. ???7分

?VABC?A1B1C1?3VA?A1B1C1?3VB1?AA1C1，

11?VE?AA1C1?VABC?A1B1C1?VB1?AA1C1 ???8分

931111?S?AA1C1?EF??S?AA1C1?B1C1,?EF?B1C1, ???9分 3333在Rt?ABC中，AB?在Rt?ABB1中，AB1由

AC2?BC2?42?22?25， ?AB2?BB12??25??422?6，????????10分

AEEF， ????????11分 ?AB1B1C11AB1?2. ????????12分 3得AE?20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.

解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO2约y万吨，

依题意，2011年至2015年SO2的年排放量构成首项为9.3，公差为?0.3的等差数列，?????3分 所以y?5?9.3?5??5?1??(?0.3)=43.5（万吨）． 2所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO2约43．5万吨．????????6分 （2）由已知得， 2012年的SO2年排放量9.6?0.3?2=9（万吨），????????7分

所以2012年至2020年SO2的年排放量构成首项为9，公比为1?p的等比数列，???????9分

8由题意得9?＜6，即1?p＜8（1?p）2， 3所以1?p?0.9505，解得p?4.95%.

所以SO2的年排放量每年减少的百分率12分

p的取值范围4.95%?p?1

21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分． 解：（Ⅰ）当a?0,b??1时，

所以，当

f?x??ex?x，f??x??ex?1，????????1分

f??x??0；当

时，x?(0?,?时，x?(?,?0f??x??0；????????3分

所以函数

f?x?的单调递减区间为

???,0?，单调递增区间为

(0,??)．????????4分

（Ⅱ）因为

所以Pf??x??ex?2ax?b，

?t,f?t??处切线的斜率k?f??t??e?2at?b，

tt2t所以切线l的方程为y?e?at?bt?e?2at?b?????x?t?，

令x?0，得y?分

?1?t?et?at2

?0?t?1?.??????????????????5

当0?t?1时，要使得点Q的纵坐标恒小于1， 只需令g?1?t?et?at2?1，即?t?1?et?at2?1?0?0?t?1?.?????? 6分

?t???t?1?et?at2?1，

t则g?(t)?te?2a，?????????????????????? 7分

??因为0?t?1，所以1?et①若2a??1即a??所以，当t??e，

1时，et?2a?0， 2?0,1?时，g?(t)?0，即g?t?在?0,1?上单调递增，

1满足题意.????????????8分 2e时，et?2a?0， 2所以g(t)?g(0)?0恒成立，所以a??②若2a??e即a??所以，当t??0,1?时，g?(t)?0，即g?t?在?0,1?上单调递减，

e不满足题意.???????????????9分 2e1③若?e?2a??1即??a??时，0?ln(?2a)?1.

22所以g(t)?g(0)?0，所以a??则t、g??t?、g?t?的关系如下表：

t (0,ln(?2a)) ln(?2a) ? 递减 0 极小值 (ln(?2a),1) g??t? g?t? 所

以

? 递增 g?l?n(?a?2??g)?，0所以0e1??a??22不满足题

意.????????????11分 综合①②③，可得，当a??1.????12分

22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分． 解法一：（Ⅰ）把xS所以

1时，g(t)?0?0?t?1?时，此时点Q的纵坐标恒小于2?4，yS?4代入y2?2px，得42?8p，????????2分

p?2，???????????????????????????3分

因此，抛物线E的方程y2?4x．???????????????????4分

（Ⅱ）因为抛物线E的焦点为F依题意可设直线l:my?x?1，

?1,0?，设S?x1,y1?,T?x2,y2?，

?y2?4x，?y1?y2?4m，2由?得y?4my?4?0，则? ①????????6分

y?y??4.my?x?1?12?又因为lAS:y???y?y?y1yx，lAT:y?2x，所以M??1,?1?，N??1,?2?，

x1?x2?x1x2?????????y1????y?所以MT??x2?1,y2??，NS??x1?1,y1?2?， ????????7分

x1?x2???又因为?y2????y1?y2?x?1?y?????1??x2?1???????????????8分 x1?1x?2??4??14??12?????y2???y12?1???y1???y2?1?

y1??4y2??4?????14??124???y12y2?y2?y1????y1y2?y1?y2??

y1??4y2??42?y12y2?16?y2?y11??y1?y2???y1y2?y1?y2??4?， ②

4yy4y1y2?12?2?y12y2?16?把①代入②，得?y1?y2????0，???????????????????10

?4y1y2?分

??y1?y2?y?x?1?y?即?2??1??1??x2?1??0，

x1?x2???????????所以MT//NS，

N、S四点不共线，又因为M、所以MTT、

11分

（Ⅲ）设抛物线E:y2//NS．?????????????????

?4x的顶点为A，定点G?g,0??g?0?，过点G的直线l与抛物线

E相交于S、T两点，直线AS、AT分别交直线x??g于M、N两点，则

MT//NS ．????????14分

解法二：（Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为抛物线E的焦点为F依题意,可设直线lST?1,0?，设S?t12,2t1?,T?t22,2t2?，????????5分

:my?x?1，

?y2?4x由?得y2?4my?4?0， ?my?x?1则??2t1?2t2?4m,

?2t1?2t2??4,所以?分

?t1?t2?4m,??????????????????????????????7

?t1?t2??1.又因为lAS所

:y??2t2x，lAT:y??2t1x，

以

M??1t2?,，

2N??1,2t1?，???????????????????????????10分

所

以

kMT?0，

kNS?0，??????????????????????????????10分

又

因

为

M、

T、

N、

S四点不共线，所以

MT//NS.???????????????????11分

（Ⅲ）同解法一. 解法三：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）因为抛物线E的焦点为F依题意，设直线l:my?x?1，

?1,0?，设S?x1,y1?,T?x2,y2?，

由

?y2?4x??my?x?1得

y2?4my?4?0，则

?y1?y2?4m，????????????????6分 ??y1?y2??4又因为lAS又

:y???y?y?y1yx，lAT:y?2x，所以M??1,?1?，N??1,?2?，

x1?x2?x1x2??因

为

?y?y1???2??y1?x2???9分 所以y1??y2x242y24?4y20，?????????????y1y2?y2，所以NS平行于x轴； x2同理可证MT平行于x轴；

又因为

M、

T、

N、

S四点不共线，所以

MT//NS.???????????????????11分

（Ⅲ）同解法一. ???????????????????14分

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