阶段性测试题十二(算法初步、复数、推理与证明)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150
分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文) (2014·济南模拟)复数z＝( )
A．第一象限 C．第三象限 [答案] A
i?1－i?1＋i1ii[解析] z＝＝＝2＝2＋2，
1＋i?1＋i??1－i?11
所以复数z对应的点为(2，2)，在第一象限．
z
(理) (2014·郑州六校质量检测)设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，若
1＋i＝2－i成立，则点P(a，b)在( )
A．第一象限 C．第三象限 [答案] A
z
[解析] 因为＝2－i，所以z＝(2－i)(1＋i)＝3＋i，所以点P(a，
1＋ib)在第一象限．
1－2i
2．(文)(2014·广州一测)已知i是虚数单位，则等于( )
2＋i
B．第二象限 D．第四象限 B．第二象限 D．第四象限
i
在复平面上对应的点位于1＋i
A．i 43C.5－5i [答案] D [解析] 选D.
4B.5－i D．－i
1－2i?1－2i??2－i?2－2－i－4i－5i
＝＝＝5＝－i，故答案222＋i?2＋i??2－i?2＋1
2
(理)(2014·石家庄质检)设z＝1＋i(i是虚数单位)，则z＋z2＝( ) A．－1－i C．1－i [答案] D
222[解析] z＋z＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i.
1＋i
3. (2014·北京西城区期末)执行如图所示的程序框图，则输出的S值为( )
B．－1＋i D．1＋i
A．3 C．7 [答案] D
B．6 D．10
[解析] 通过循环，可知该循环的作用是求数列的和，循环到n＝4结束循环，所以S＝0＋1＋2＋3＋4＝10.故选D.
2
4．(文) 设z＝1－i(i是虚数单位)，则复数z＋i2的虚部是( ) A．1 C．i [答案] A
222
[解析] 因为z＝1－i(i是虚数单位)，所以复数z＋i＝＋i2＝
1－i1＋i－1＝i，
2
所以复数z＋i2的虚部是1.
(理)设复数z＝1＋bi(b∈R)且|z|＝2，则复数z的虚部为( ) A.3 C．±1 [答案] B
[解析] z＝1＋bi，且|z|＝2，即1＋b2＝4，解得b＝±3.
B．±3 D．±3i B．－1 D．－i
5．(2014·商丘模拟)工人师傅想对如右图的直角铁皮，用一条直线m将其分成面积相等的两部分．下面是甲、乙、丙、丁四位同学给出的做法，其中做法正确的学生数是( )
A．4个 C．2个 [答案] A
[解析] 可将此图形分割成两个矩形即甲、乙、丁同学的做法，也可将此图形补上一小矩形即丙同学的做法．由矩形的对称性可知当直线过矩形的中心即对角线交点时，直线平分矩形的面积．故甲、乙、丙同学的做法正确．在丁同学的做法中，因为AB过两矩形的中心，所以AB平分此铁皮的面积．当直线m过线段AB的中点时，直线m和AB围城的两个三角形全等，故直线m还平分此铁皮的面积．
综上可得4个同学的做法都对．
6．(2011·泉州质检)根据下列算法语句， 当输入x为60时， 输出y的值为( )
A．61 C．30
B．31 D．25 B．3个 D．1个
[答案] B
[解析] 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出分段函数，y＝
??0.5x x≤50?的函数值，当x＝60时，则y＝25＋0.6(60?25＋0.6?x－50? x>50?
－50)＝31，故选B.
7．(文)(2014·安阳月考)已知M是ex＋e－x的最小值，N＝2tan22.5°
，则下图所示程序框图输出的S为( )
1－tan22.5°
A．2
B．1
1C.2 [答案] A
D．0
2tan22.5°
[解析] ∵e＋e≥2e·e＝2，∴M＝2，N＝＝
1－tan222.5°
x
－x
x－xtan45°＝1，所以M>N，又框图的功能是求M，N中的较大值，故输出的值为2.
1
(理) (2014·安阳月考)已知函数y＝x与x＝1，x轴和x＝e所围成tan22.5°的图形的面积为M，N＝，则程序框图输出的S为( )
1－tan22.5°
A．1 1C.2 [答案] C
2tan22.5°1
[解析] 因为2N＝＝tan45°＝1，所以N＝2，M＝?e21－tan22.5°?
B．2 D．0
1
1e
dx＝lnx|1＝1，所以M>N，又框图的功能是求M，N中的较小值，故x
1
输出的值为2.
8．(文) (2014·舟山期末)读下面程序框图，该程序运行后输出的A值为( )
3A.4 5C.6 [答案] C
12
[解析] 第一次循环：A＝＝，i＝i＋1＝2，此时满足条件，
2－A3继续循环；
13
第二次循环：A＝＝，i＝i＋1＝3，此时满足条件，继续循
2－A4环；
14
第三次循环：A＝＝，i＝i＋1＝4，此时满足条件，继续循
2－A5环；
4B.5 6D.7
15
第四次循环：A＝＝，i＝i＋1＝5，此时不满足条件，结束
2－A65
循环，输出A的值为6. (理) (2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )
A．6＋6·7k C．2(2＋7k＋1) [答案] D
[解析] (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除． (2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.
这就是说，k＝n＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．
9．(2014·沧州模拟)设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2，a2＋b21
＝4，则x＋y的最大值为( )
A．1 C．3 [答案] B
21
[解析] 因为a＝b＝2，所以x＝loga2，y＝logb2，所以x＋y＝
x
y
2a＋b22
2log2a＋log2b＝log2(ab)≤log2(2)＝2，当且仅当a2＝b＝2时取等
B．2＋7k－1 D．3(2＋7k)
B．2 D．4
号．
3
10. 定义在R上的函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，(x－2)f′(x)<0，若x1
A．f(x1) B．f(x1)>f(x2) D．不确定 [解析] 因为函数y＝f(x)，满足f(3－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)3333 的对称轴为x＝2.又因为(x－2)f′(x)<0，所以x<2时，f′(x)>0，x>2时，33 f′(x)<0，所以函数y＝f(x)在(－∞，2]上单调递增；在[2，＋∞)上单3 调递减．又因为x1 第Ⅱ卷(非选择题 共100分) 二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上) 3 11．在复平面上，复数对应的点到原点的距离为________． ?2－i?23 [答案] 5 [解析] 复平面上复数z对应的点到原点的距离就是它的模，而 333||＝＝，本题不需要把复数化简为a＋bi(a，b∈R)形式． ?2－i?2|2－i|25 12．(2014·厦门质检)程序框图如下： 如果上述程序运行的结果为S＝132，那么判断框中横线上应填入的数字是________． [答案] 10 [解析] 由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是12，以后所乘的数依次减少1，由于132＝11×12，故循环两次，故判断框中应填k≤10. 3113．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：×2＝ 1×21314113141511－22，×＋×2＝1－，×＋×2＋×31×222×323×221×222×323×421＝1－??，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，3，4×2n＋231411 ×＋×2＋?＋×n＝________. 1×222×32n?n＋1?2 1 [答案] 1－n ?n＋1?·2 311[解析] 由已知中的等式：×2＝1－22 1×231411×＋×2＝1－， 1×222×323×22 3141511×＋×2＋×3＝1－，?， 1×222×323×424×23 n＋231411所以对于n∈N，×2＋×22＋?＋×2n＝1－ 1×22×3n?n＋1? * 1 . ?n＋1?2n 14. (文) (2014·阜阳一中模拟)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.由类比推理可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则P2n－1＝________. n－1[答案] b2 n [解析] 因为等差数列{an}的前n项和为Sn，则S2n－1＝(2n－1)an.所以类比推理可得：在等比数列{bn}中，若其前n项的积为Pn，则 n－1 P2n－1＝b2. n →→→→ (理)对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB|·OA＋|OA|·OB＝0. →将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA→→＋S△OCA·OB＋S△OAB·OC＝0. 将 它类比到空间的情形应该是： 若O是四面体ABCD内一点，则有________． →→→→ [答案] VO－BCD·OA＋VO－ACD·OB＋VO－ABD·OC＋VO－ABC·OD＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积． 15．(文)如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来的(n＝1,2,3，?)，则第n－2(n≥3，n∈N*)个图形共有________个顶点． [答案] n(n＋1) [解析] 当n＝1时，顶点共有3×4＝12(个)， 当n＝2时，顶点共有4×5＝20(个)， 当n＝3时，顶点共有5×6＝30(个)， 当n＝4时，顶点共有6×7＝42(个)， 故第n－2图形共有顶点(n－2＋2)(n－2＋3)＝n(n＋1)个． (理)(2014·东北四校联考)根据下面一组等式 S1＝1， S2＝2＋3＝5， S3＝4＋5＋6＝15， S4＝7＋8＋9＋10＝34， S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65， S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111， S7＝22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＝175， ? 可得S1＋S3＋S5＋?＋S2n－1＝________. [答案] n4 [解析] 根据所给等式组，不难看出：S1＝1＝14； S1＋S3＝1＋15＝16＝24； S1＋S3＋S5＝1＋15＋65＝81＝34， S1＋S3＋S5＋S7＝1＋15＋65＋175＝256＝44， 由此可得S1＋S3＋S5＋?＋S2n－1＝n4. 三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) a2b2c2 16．(本小题满分12分)设a，b，c>0，证明b＋c＋a≥a＋b＋c. [证明] ∵a、b、c>0，根据均值不等式， a2b2c2 有b＋b≥2a，c＋c≥2b，a＋a≥2c. a2b2c2 三式相加：b＋c＋a＋a＋b＋c≥2(a＋b＋c)， a2b2c2 即b＋c＋a≥a＋b＋c. 17．(本小题满分12分)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图． [分析] 题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体． [解析] 程序框图如图所示： 18．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当实数m取何值时． (1)z是纯虚数． (2)z是实数． (3)z对应的点位于复平面的第二象限． 2 ??lg?m－2m－2?＝0， [解析] (1)由题意知?2 ?m＋3m＋2≠0.? 解得m＝3. 所以当m＝3时，z是纯虚数． (2)由m2＋3m＋2＝0， 得m＝－1或m＝－2， 又m＝－1或m＝－2时，m2－2m－2>0， 所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数． 2 ??lg?m－2m－2?<0，(3)由?2 ?m＋3m＋2>0.? ?2 即?m－2m－3<0??m2＋3m＋2>0 2m?－2m－2>0 解得：－1 所以当－1 19．(本小题满分12分)已知数列{an}的各项排成如图所示的三角形数阵，数阵中每一行的第一个数a1，a2，a4，a7?构成等差数列{bn}，Sn是{bn}的前n项和，且b1＝a1＝1，S5＝15. (1)若数阵中从第三行开始每行中的数按从左到右的顺序均构成公比为正数的等比数列，且公比相等，已知a9＝16，求a50的值； 111(2)设Tn＝＋＋?＋S，求Tn. Sn＋1Sn＋22n [解析] (1)∵{bn}为等差数列，设公差为d，b1＝1，S5＝15，∴S5＝5＋10d＝15，d＝1， ∴bn＝1＋(n－1)×1＝n. 设从第3行起，每行的公比都是q，且q>0，a9＝b4q2,4q2＝16，q＝2， 1＋2＋3＋?＋9＝45，故a50是数阵中第10行第5个数， 而a50＝b10q4＝10×24＝160. n?n＋1? (2)∵Sn＝1＋2＋?＋n＝2， 122 ∴Tn＝＋＋?＋S＝＋＋?＋ Sn＋1Sn＋2?n＋1??n＋2??n＋2??n＋3?2n 2 2n?2n＋1? 1111111＝2(－＋－＋?＋2n－)＝2(－ n＋1n＋2n＋2n＋32n＋1n＋112n)＝. 2n＋1?n＋1??2n＋1? 20．(本小题满分13分)在△ABC中，三个内角A、B、C的对边113 分别为a、b、c，若＋＝，试问A，B，C是否成等 a＋bb＋ca＋b＋c差数列，若不成等差数列，请说明理由．若成等差数列，请给出证明． [解析] A、B、C成等差数列． 证明如下： 113 ∵＋＝， a＋bb＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴＋＝3. a＋bb＋cca∴＋＝1， a＋bb＋c ∴c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， ∴b2＝a2＋c2－ac. 在△ABC中，由余弦定理，得 a2＋c2－b2ac1cosB＝2ac＝2ac＝2， ∵0° 1 1 ∴ A＋C＝2B＝120°. ∴A、B、C成等差数列． 21．(本小题满分14分)已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，?)，a1＝1. (1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，?)，求证：数列{bn}是等比数列； an(2)设cn＝2n(n＝1,2，?)，求证：数列{cn}是等差数列； (3)(理)求数列{an}的通项公式及前n项和公式． [解析] (1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2， 两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，?)， 即an＋2＝4an＋1－4an， 变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)． ∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，?)，∴bn＋1＝2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列． (2)证明：由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1， ∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3， 由(1)知bn＝3·2 n－1 an，又cn＝2n. an＋1anan＋1－2anbn∴cn＋1－cn＝n＋1－2n＝＝n＋1. 22n＋12将bn＝3·2 n－1 3 代入得cn＋1－cn＝4(n＝1,2，?)． 3 由此可知，数列{cn}是公差d＝4的等差数列． a1131 (3)由(2)得：c1＝2＝2，故cn＝4n－4. 311 ∵cn＝4n－4＝4(3n－1)， ∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n－2(n＝1,2，?)． 当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2. 由于S1＝a1＝1也适合于此公式， 所以{an}的前n项和公式为Sn＝(3n－4)·2n－1＋2. 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库版走向高考数学第一轮复习阶段性测试题十二(算法初步、复数、推在线全文阅读。
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