习题4

习题4解答

1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：

（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率.

（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）.

,0.03)， 解 （1）设X表示1000个产品中废品的个数，则X~B(1000所以 E(X)?np?1000?0.03?30, D(X)?np(1?p)?29.1 所求概率 P(20?X?40)?P(?10?X?30?10)?P(|X?30|?10) 在切比雪夫不等式P(|X?E(X)|??)?1? P(20?X?40)?1?D(X)?2中取??10，就有

29.1?0.709 21012（2）设X表示200个新生婴儿中男孩的个数，则X~B(200,) 所以 E(X)?np?200?0.5?100, D(X)?np(1?p)?50 所求概率 P(80?X?120)?P(|X?100|?20) 在切比雪夫不等式P(|X?E(X)|??)?1?D(X)?2中取??20，就有

P(80?X?120)?P(|X?100|?20)?1?2. 用棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理计算上题的概率.

50?0.875 202,0.03) 解 （1）设X表示1000个产品中废品的个数，则X~B(1000所以 E(X)?np?1000?0.03?30, D(X)?np(1?p)?29.1 因n?1000很大，由棣莫佛—拉普拉斯定理得 P(20?X?40)?P(20?3029.1?X?npnp(1?p)?40?30) 29.1??(40?3020?30)??()?2?(1.854)?1 29.129.1?2?0.96784?1?0.93568

（2）设X表示200个新生婴儿中男孩的个数，则X~B(200,) 所以 E(X)?np?200?0.5?100, D(X)?np(1?p)?50 由棣莫佛—拉普拉斯定理得 P(80?X?120)?P(1280?10050?X?npnp(1?p)?120?100) 50 ?2?(2050)?1?2?(2.828)?1?2?0.9976?1?0.9952

3. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞数在5200~9400之间的概率. 解 以X表示每毫升含白细胞数，由题设E(X)?7300,D(X)?7002 而概率

P(520?0X?940?0P)?(?21X0?0?7300

?P(|X?730?0|2100)D(X)在切比雪夫不等式中，取??2100，此时 1??2?1?7002/21002?8/9，知

P(|X?7300|?2100)?8/9?0.8889

4. 如果X1,..X.n,是n个相互独立同分布的随机变量，E(Xi)??，

1nD(Xi)?8 (i?1,2,?,n)。对于X??Xi，写出X所满足的切比雪夫不等式，并估

ni?1计P(X???4).

1n1n解 E(X)?E(?Xi)??E(Xi)??

ni?1ni?11n1D(X)?D(?Xi)?2ni?1n?D(X)?n

ii?1n8所以对X所满足的切比雪夫不等式为P(|X??|??)?1?于是 P(|X??|?4)?1?8 2n?81?1?

2nn?425. 设{Xn}为独立的随机变量序列，且P(Xn?1)?pn,P(Xn?0)?1?pn,n?1,2,? 证明{Xn}服从大数定律.

解 因为E(Xn)?pn, D(Xn)?pn(1?pn)?1,所以由X1,X2,?的独立性可得 41n1 D(X)?D(?Xi)?2ni?1n1D(X)??in2i?1n11 ??4ni?14n于是对任意正数?，由切比雪夫不等式得 P(|Xn?E(Xn)|??)?1?D(Xn)?2n???1?1 4n?2就有 limP(|Xn?E(Xn)|??)?lim(1?n??n??1)?1 24n?但概率不能大于1，故必有 limP(|Xn?E(Xn)|??)?1，即{Xn}服从大数定律. 6. 袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100克，标准差为10克，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5公斤的概率.

解 以Xi表示第i袋茶叶的净重，i?1,2,?,200，则一盒茶叶的总重量为由已知 E(Xi)???100, D(Xi)??2?102, i?1,2,?,200 由中心极限定理

?Xi?1ni.

P(?Xi?20500)?1?P(i?1i?1200?X52200i?200??200?20500?200?100)

200?10 ?1??()?1??(3.536)?1?0.9998?0.002

7. 生产灯泡的合格率为0.6，求10000个灯泡中合格灯泡数在5800~6200之间的概率.

,0.6).由棣莫佛—拉普拉斯定解 设X表示10000个灯泡中合格的灯泡数，则X~B(10000理得P(5800?X?6200)?P(5800?10000?0.610000?0.6?0.4?X?npnp(1?p)?6200?10000?0.610000?0.6?0.4)

??(4.08)??(?4.08)?2?(4.08)?1?2?0.999977?1?0.99995

如果用切比雪夫不等式估计，则有

P(5800?X?6200)?P(|X?6000|?200)?1?切比雪夫不等式理论上具有重要意义但估计不精确.

8. 从大批发芽率为0.9的种子中随机抽取1000粒，试估计这1000粒种子发芽率不低于0.88

2400?1?0.12?0.88 2002的概率.

解 设X表示1000粒种子中发芽的粒数，则

X表示这1000粒种子的发芽率，且1000X~B(10000,0.9)，从而

P(X?0.88?)?1PX?(10002090X?np880?10?000.9 8?80?)P1(?np(1?p)1000?0.9?0.1)?1??(?)??(2.11)?0.98257

9. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.

解 设X表示同时开动机床的台数，则X~B(200, 0.7)

E(X)?np?200?0.7?140, D(X)?np(1?p)?200?0.7?0.3?42 又设同时开动台数不超过N的概率为95%.由中心极限定理 P(X?N)?P(X?npN?140N?140?)??()

np(1?p)4242N?140)?0.95 42由题意要求 ?(查表得

N?140?1.645 42得N?150.66，取N?151，应供电能151?15?2265个单位才能满足要求.

10. 一个复杂的系统，由100个相互独立起作用的部件构成.在整个运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，为了使整个系统起作用，至少需要有85个部件工作.求整个系统起作用的概率.

解 设X表示正常工作着的部件数，则X~B(100,0.9)由棣莫佛—拉普拉斯定理，整个系统能起作用的概率为 P(X?85)?P(X?npnp(1?p)?85?100?0.9100?0.9?0.1)

?1??(?1.67)??(1.67)?0.9525

11. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险.在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元.求

(1)保险公司一年中获利不少于40000元的概率； (2)保险公司亏本的概率.

,0.006)，解 设X表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则X~B(10000由题意，

保险公司的收益为10000?12?120000元，支出为1000X.由中心极限定理

（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为

)?P(X?80) P(120000?1000X?40000?P(X?npnp(1?p)?80?6059.64)??(2.59)?0.9952

（2）保险公司亏本的概率为

P(1000X?120000)?P(X?120)

?1?P(X?npnp(1?p)?120?60)?1??(7.77)?0 59.64可见保险公司一般不会亏本.

14812. 设随机变量X1,X2,?,X48相互独立且都在[0，1]上服从均匀分布.令X??Xi，

48i?1试用中心极限定理计算P(X?1?0.04)的值. 2解 因为Xi~U(0,1),i?1,2,?48,所以

11, D(Xi)? 2121111??2 从而 E(X)?, D(X)?2481224 E(Xi)?????1?X?E(X)|?0.04?

于是 P(|X?|?0.04)?P|?21?D(X)??224???2?(0.96)?1?2?0.8315?1?0.6630

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