习 题
2-1 如果某一问题中，?z2-2 如果某一问题中，?z??zx??xy?0，只存在平面应力分量?x，?y，?xy，且它们不沿z
方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应力 问题？(是)
??zx??zy?0，只存在平面应变分量?x ，?y，?xy，且它们不沿z
方向变化，仅为x，y的函数，试考虑此问题是否就是平面应变问题？(是)
2-3 试分析说明，在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中，图2-11，其应力状态接近于平面应力的情况。(自由表面薄层中：?z题)
?0?yz??xz?0?x?y?xy?0近于平面应力问
2-4 试分析说明，在板面上处处受法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，图2-12，当板边上只受x，y向的面力或约束，且不沿厚度变化时，其应变状态近于平面应变的情况。(??z?0?yz??yz?0??xz??yz?0只有?x?y?xy?0接近平面应变问题)
2-5 在图2-3的微分体中，若将对形心的力矩平衡条件?MC?0，改为对角点的力矩平衡条件，试问将导出什么形式的方程？(?xy3-1 试考察应力函数??ay3??yx)
在图3-8所求的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计）。
3-2 取满足相容方程的应力函数为：（1）面力的主矢量和主矩。 3-3 试考察应力函数??F2h3??axy，（2）??bxy2，（3）??cxy2，试求出
应力分量（不计体力），画出图3-9所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出
xy(3h?4y)22能满足相容方程，并求出应力分量（不计体力），
画出图3-9所示矩形体边界上的面力分布（在次要边界上画出面力的主矢量和主矩），指出
该应力函数所能解决的问题。
1
3-4
?qy?yqx?yyy?试证????43?3?1???23??4?hhh??10?h2323能满足相容方程，
并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形
板的长度为l，深度为h，体力不计）。
3-5 设有矩形截面的长竖柱，密度为?，在一边侧面上受均布剪力q，图3-10，试求应力分量。
的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。 4-2 试导出极坐标和直角坐标中位移分量的坐标变换式。
4-3 在轴对称位移问题中，试导出按位移求解的基本方程。并证明u?足此基本方程。
4-4 试导出轴对称位移问题中，按应力求解时的相容方程。
4-5 试由一阶导数的坐标变换式，导出二阶导数的坐标变换式［§4-3中的式(a)，(b)，(c)］。 5-1 长l悬臂梁，B端作用集中力P分别用
1)最小势能原理 2) (拉格郎日)位移变分方程 求B端挠度(设v?b1x2?b2x3)
6-6 试求图6-25所示结构的结点位移和应力，取t?1m,??0
4-1 试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似
?A??B?,u??0可以满
P A l B
。
7-1 试证明：在与三个主应力成相同角度的面上，正应力等于三个应力的平均值。 7-2 设某一物体发生如下的位移：
u?a0?a1x?a2y?a3zv?b0?b1x?b2y?b3zw?c0?c1x?c2y?c3z
试证明：各个形变分量在物体内为常量（即所谓均匀形变）；在变形以后，物体内的平面保持为平面，直线保持为直线，平行面保持平行，平行线保持平行，正平行六面体变成斜平行六面体，圆球面变成椭球面。
8-5 半空间体在边界平面的一个圆面积上受有均布压力q。设圆面积的半径为a，试求圆心下方距边界为h处的位移。
2
3-1 考察应力函数?解①
???x44?ay3在图示矩形板和坐标系能解决什么问题。
???y424?0???x?y224?0?0满足双调和方程（相容方程）可作应力函数
?????x22②应力分量(2-24)：?x????y2?6ayy?0?xy?????x?y2?0
??l??m?yx?fxxl?0m??1:fx?0③力边界条件(2-25)：? 上下边界
??m?y?l?xy?fy左边界l??1m?0fx???x??6ayfy?0 右边界l??1m?0fx??x?6ayfy?0
④a?0解决偏心拉伸问题
a?0解决偏心压缩问题
23.2 解：①??2x????y2?0??y??x2?2ay?xy??2ax
力边界：???l?x?m?yx?fx??m?
y?l?xy?fy上边界 l?0m??1fx?2axfy???y??2ay
下边界 l?0m?1fx??2axfy??y?2ay
左边界 l??1m?0fx???x?0fy???xy?2ax
右边界 l?1m?0fx??x?0fy??xy??2ax
22②?x????y2?2bx?y????x2?0?xy?2by
力边界：?l?m???x?yx?fx??m?y?l?
xy?fy上边界 l?0m??1fx???yx??2byfy???y?0
下边界 l?0m?1fx??yx?2byfy?0
左边界 l??1m?0fx???x??2bxfy???xy??2by右边界 l?1m?0fx??x?2bxfy??xy?2by
3
f
y?0
③?x????y22?6cxy?y????x22?0?xy?????x?y2?3cy2
力边界：???l?x?m?yx?fx??m?y?l?xy?fy
fy???上边界 l?0m??1fx???yx??3cy2下边界 l?0m?1左边界 l??1m?0右边界 l?1m?0
3-3、3-4
fx??yx?3cy2y?0
fy?0
fy???xy??3cy22fx???x??6cxyfx??x?6cxy
fy??xy?3cy
解：1、将两种函数分别代入式中，得知能满足双调和方程，因此，可作为应力函数。
2、由应力函数，可求得应力分量，考虑各边界条件后，可求得面力（或合力），从而得知各自能解决的问题，见表3-12所列。
表3-12 两种应力函数所对应的应力、面力、合力 应力函数 U?2Fxyh33?3Fxy2h (1) ?qy?2yqx?4y3yy?U????1?????3?34?hh10?hh??2323 (2) 应力分量 ?x?12Fxyh26Fyh33?x??,??y6qxyh32?0?xy??3F2h ?y5h?q?4y3y???3??1?2?hh?3?4qyh33?3qy ?xyqx?12y3?????32?hh?2边界条件 上边 下边 左(?y)y??h/2?0,(?xy)y??h/2?0 (?y)y?h/2?0,(?xy)y?h/2?0h/2(?y)y??h/2??q,(?xy)y??h/2?0(?y)y?h/2?0,(?xy)y?h/2?0h/2 ?ql??h/2??h/2h/2h/2(?x)x??ldy?0,??h/2h/2(?xy)x??ldy?F边界条件 端 ??h/2??h/2h/2(?x)x??ldy?0,??h/2(?xy)x??ldy2h/2 (?x)x??lydy??Fl?0,(?x)x??lydy??ql/2右端 ??h/2(?x)x?ldyh/2??h/2(?xy)x?ldyh/2?F??h/2(?x)x?lydy ?Fl??h/2(?x)x?ldyh/2h/2?0,??h/2(?xy)x?ldy2h/2??ql ??h/2(?x)x?lydy??ql/2面力 （合力） 解决问题
4
悬臂梁上边受均布载荷，一端受集中力悬臂梁一端受集中力和力矩作和力矩作用；或简支梁两端受力矩作用，用；或简支梁两端受力矩作用 上边受均布载荷作用 3-5 解1、半逆解法确定?主要边界(?x)x?0,b即?x4?0故可设?x?0
????y22?fxx?4???y242?0???y?f(x)4??yf(x)?f1(x)???y4
???x44?ydf(x)dx4?df1(x)dx44???x?y2?20?40
???0即y?0df(x)dx44?df1(x)dx34?0对y的任意值均成立则有： (略去了与应力无关的常数项)
df(x)dx444
f(x)?Ax?Bx?Cx2df1(x)dx4?03f1(x)?Ex?Fx2332(略去了与应力无关的常数项及次项)
2故??y(Ax?Bx?Cx)?Ex?Fx???y22
22、应力?x??fxx?02?y????x2?fyy?y(6Ax?2B)?6Ex?2F??gy
?xy?????x?y2??(3Ax?2Bx?C)
3、边界条件定常数：(?xy)x?0?0?C?0
(?xy)x?b?q上端面?(?xy)0by?0dx?0q2??(3Ab?2Bb)?q?A??2?b?32q?Ab?Bb?0即Ab?B?0??B?b
?0(?y?0bb))y?0dy?0xdx?0(?yy?02?F?0??E?F?0Eb2?F?0??3E?b
则?x?0?y?
2qby(1?3xb)??gy?xy?qx3x(?2) bb4-1
解：①物理方程完全相似，因为极坐标和直角坐标都是正交坐标等。
②平衡方程多了非微分项，这是由于
ⅰ)微分体二径向边不平行，使??对?方向的平衡产生了影响。 ⅱ)二环向边不等长使??在?方向，??0在Q方向产生附加影响。 ③几何方程多了非微分项这是由于
微分体二径向边平不平行，u?引起周向应变
4-2 仿照直角坐标系的旋转变换
?u??ucos???sin???u???usin???cos?u??
u?引起剪应变
?u????u??
介上式：??u?u?cos??u?sin????u?sin??u?cos?
5
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