江苏省泰州中学2018届高三 二轮复习 小专题 圆锥曲线三种弦长问

圆锥曲线三种弦长问题

弦长公式：|AB|?1?k|x1?x2|?1?k或|AB|?1?22(x1?x2)2?4x1?x2 112|y?y|?1?(y?y)?4y1?y2(k?0)。 121222kk一、一般弦长计算问题：

xyx2y2例1、已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?，直线l1:??1被椭圆C截得的弦长为22，abab且e?6，过椭圆C的右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截的弦长AB， 3⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.

思路分析：把直线l2的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由l1被椭圆C截得的弦长为22，得a?b?8，???①

22c22622又e?，即2?，所以a?3b??????????.②

a33x2y2??1. 联立①②得a?6,b?2，所以所求的椭圆的方程为6222⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?代入椭圆C的方程，化简得，5x?18x?6?0 由韦达定理知，x1?x2?从而x1?x2?23?x?2?，

186,x1x2? 552?x1?x2??4x1x2?26， 5由弦长公式，得AB?1?k2x1?x2?1???32?2646?， 55即弦AB的长度为46 5解题技巧：本题抓住l1的特点简便地得出方程①，再根据e得方程②，从而求得待定系数

a2,b2，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公

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式。

二、中点弦长问题：

例2、过点P?4,1?作抛物线y2?8x的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度。

思路分析：因为所求弦通过定点P，所以弦AB所在直线方程关键是求出斜率k，有P是弦

的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为A?x1,y1?,B?x2,y2?，

22则有y1?8x1,y2?8x2，两式相减，得?y1?y2??y1?y2??8?x1?x2?

又x1?x2?8,y1?y2?2 则k?y2?y1?4，所以所求直线AB的方程为y?1?4?x?4?，即4x?y?15?0.

x2?x1解法2：设AB所在的直线方程为y?k?x?4??1 由???y?k?x?4??12，整理得ky?8y?32k?8?0.

2??y?8x8， k设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由韦达定理得y1?y2?又∵P是AB的中点，∴

y1?y28?1，∴?2?k?4 2k所以所求直线AB的方程为4x?y?15?0.

?4x?y?15?02由?2整理得，y?2y?30?0，则y1?y2?2,y1y2??30 ?y?8x有弦长公式得，AB?1?k12y1?y2?1?k12??y1?y2??4y1y2?2527. 2解题技巧：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；

二是利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵）

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另解：⑵∴椭圆的右焦点F?2,0?，∴l2的方程为：y?3?x?2?，

?y?3?x?2??代入椭圆C的方程?x2y2，化简得，5x2?18x?6?0

?1??2?6由韦达定理知，x1?x2?186,x1x2? 55由l2过右焦点，有焦半径公式的弦长为AB?2a?e?x1?x2??46. 5即弦AB的长度为46 5解题技巧：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，通常应用韦达定理与弦长公式，若涉及

到焦点弦长问题，则可利用焦半径公式求解，可大大简化运算过程. 有关中点弦问题

已知弦AB的中点，研究AB的斜率与方程

x2y2（1）AB是椭圆2?2?1(a?b?0)的一条弦，AB的中点M(x0,y0)，则直线AB的

abb2x0

斜率为?2。运用点差法求直线AB的斜率：设A(x1,y1)、B(x2,y2)(x1?x2)是椭圆上

ay0

?x12y12?2?1?2x12?x22y12?y22?ab??0，整理得 不同的两点，则?2，两式相减得222ab?x2?y2?1??a2b2kABb2x0y1?y2b2(x1?x2)???2??2。 x1?x2a(y1?y2)ay0x2y2（2）类似的，若AB是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的一条弦，AB的中点M(x0,y0)，

ab则kABb2x0p?2；若曲线是抛物线y2?2px(p?0)，则kAB?。

y0ay0中点弦（对称）问题

遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

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b2x0x2y2在椭圆2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=－2；

abay0b2x0x2y2在双曲线2?2?1中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=2；

abay0在抛物线y2?2px(p?0)中，以P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k=一、求中点弦所在直线方程问题

p。 y0x2y2??1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的例1 过椭圆

164直线方程。

解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：

(4k2?1)x2?8(2k2?k)x?4(2k?1)2?16?0

又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是

8(2k2?k)x1?x2?， 24k?1x1?x24(2k2?k)??2， 又M为AB的中点，所以224k?1解得k??1， 2故所求直线方程为x?2y?4?0。

解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点， 所以x1?x2?4，y1?y2?2，

又A、B两点在椭圆上，则x1?4y1?16，x2?4y2?16， 两式相减得(x1?x2)?4(y1?y2)?0， 所以

22222222y1?y2x?x211??1??，即kAB??，

2x1?x24(y1?y2)2故所求直线方程为x?2y?4?0。

解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y)，由于中点为M（2，1）， 则另一个交点为B(4-x,2?y)，

?x2?4y2?16因为A、B两点在椭圆上，所以有?， 22(4?x)?4(2?y)?16?

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两式相减得x?2y?4?0， 由于过A、B的直线只有一条， 故所求直线方程为x?2y?4?0。 二、求弦中点的轨迹方程问题

x2y2??1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。 例2 过椭圆

6436解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），

?9x12?16y12?5762222则有?，两式相减得9(x?x)?16(y?y1212)?0， 229x?16y?5762?2又因为x1?x2?2x，y1?y2?2y，所以9?2x(x1?x2)?16?2y(y1?y2)?0，

所以

y1?y29xy9xy?0??，而kPQ?，故。

x?(?8)16yx?8x1?x216y22化简可得9x?72x?16y?0（x??8）。

解法二：设弦中点M（x,y），Q（x1,y1），由x?x1?8y，y?1可得x1?2x?8，22y1?2y，

x1y14(x?4)24y2??1， 又因为Q在椭圆上，所以??1，即

6436643622(x?4)2y2??1（x??8）。 所以PQ中点M的轨迹方程为

1692练习：1、由点(?2,0)向抛物线y?4x引弦，求弦的中点的轨迹方程。

分析：解决问题的关键是找到弦的端点A、B在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。

解法1：利用点差法。

设端点为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1?4x1，y2?4x2，

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22

两式相减得y2?y1?4(x2?x1)，① ①式两边同时除以x2?x1，得(y2?y1)?22y2?y1?4，②

x2?x1设弦的中点坐标为(x,y)，则x1?x2?2x，y1?y2?2y，③ 又点(x,y)和点(?2,0)在直线AB上，所以有

y?y1y。④ ?2x?2x2?x1将③、④代入②得2y?y?4，整理得y2?2(x?2)。 x?2故得中点的轨迹方程是y2?2(x?2)在抛物线y2?4x内部的部分。 解法2：设弦AB所在直线的方程为y?k(x?2)，

?y?k(x?2)由方程组?2?y?4x(1)(2)消去x并整理得ky2?4y?8k?0，（3）

设A(x1,y1)、B(x2,y2)、中点(x,y)，对于方程（3），由根与系数的关系，有y1?y2?∴y?4， ky1?y22?代入（1）得y2?2(x?2) 2k22故得所求弦中点的轨迹方程是y?2(x?2)在抛物线y?4x内部的部分。 评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点(x,y)与已知条件的内在联系，列关于x，y的关系式，进而求出轨迹的方程。 三、弦中点的坐标问题

例3 求直线y?x?1被抛物线y?4x截得线段的中点坐标。

2解：解法一：设直线y?x?1与抛物线y?4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中点

2?y?x?1， P(x0,y0)，由题意得?2y?4x?2消去y得(x?1)?4x，即x?6x?1?0，

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所以x0?x1?x2?3，y0?x0?1?2，即中点坐标为(3,2)。 2解法二：设直线y?x?1与抛物线y2?4x交于A(x1,y1)，B(x2,y2)，其中点P(x0,y0)，

?y12?4x122由题意得?2，两式相减得y2?y1?4(x2?x1)，

?y2?4x2所以

(y2?y1)(y2?y1)?4，

x2?x1所以y1?y2?4，即y0?2，x0?y0?1?3，即中点坐标为(3,2)。

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