第二章静电场题解

电磁场题解

第二章 静电场

(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）

2-1 在边长为a的正方形四角顶点上放置电荷量为q的点电荷，在正方形几何中

心处放置电荷量为Q的点电荷。问Q为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。

解 如图建立坐标系，可得

q?121?Q21??Exex???e???ex 22?x24??0?24??2a2aa/20??q?121?Q21??Eyey???e???ey 22?y24??0?24??2a2aa/20???2?2????Q?据题设条件，令 q?1????0， ?4?2???q解得 Q??1?22

4??

2-2 有一长为2l，电荷线密度为?的直线电荷。

1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l处的电场强度和电位。

解 1）如图（a）建立坐标系，题设线电荷位于x轴上l~3l之间，则x处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为

?dx?dx??， dE??ed??x24??0x4??0x由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电位

分别为

3l3l?dx?????ex? E?0???dE???e?xll4??x26??0l03l3l?dx???0???d????ln3

ll4??x4??00 2）如图（b）建立坐标系，题设线电荷位于y轴

上?l~l之间，则y处的电荷微元在点?0,2l?处产生的电场强度和电位分别为

?dy?dy??， dE??ed??r24??0r4??0rd?2ll1r?式中，dy?2l，，，分别代入上两式，并sin???222cos?cos?5l?4l考虑对称性，可知电场强度仅为x方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为

???ex??ex?ex?dy ??E2l,0?2?dE?2ex?cos??cos?d??sin???004??r204??0l4??0l45??0l0 8

电磁场题解

??2l,0??2?d??0??4??0??0??1d??1???0.24? ?ln?tan?tan?1????cos?2??0??224????0

2-3 半径为a的圆盘，均匀带电，电荷面密度为?。求圆盘轴线上到圆心距离为b的场点的电位和电场强度。

解 根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，z轴与面电荷轴线重合。场点P的坐标为?0,?,b?。在带电圆盘上取一个电荷元?r?dr?d??，源点坐标为?r?,??,0?。由电荷元产生的电位

?r?dr?d?? d??

4??0R 计算P点电位时，场点坐标?0,?,b?不变，源点坐标?r?,??,0?中r???是变量。 R?r?2?b2

整个圆盘形面电荷产生的电位为

aa2??r?dr?d???r?dr?????????0004??0r?2?b22?0r?2?b22?0?a2?b2?b2?

=?2?0?a2?b2?b? 根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有ez方向的分量

???ez?? E???????z2?0?bb????ez???2?22?0b2??a?b?b?1??a2?b2???ez ??

2-4 在空间，下列矢量函数中哪些可能是电场强度，哪些不是？回答并说明理由。 1）3ex?4ey?ez 2）xex?4yey?zez 3） yex?4zey?xez 4）rer （球坐标系）5）r2e?（圆柱坐标系） 解 对于给定各矢量表达式求旋度，可得

exeyex????0 1）???3ex?4ey?ez???x?y?z34?1ex?2）???xex?4yey?zez???xxeyex???0

?y?z4y?z 9

电磁场题解

ex?3）???yex?4zey?xez???xyey??y4zex??2ey ?z?x4）???rer??0

1??1?1?5）???re?????rA???ez?r?r2ez??3r2ez?3rez

r??rr?rr??? 据??E?0，可知式3）和式5）不可能是电场强度表达式，而其余各式可

能是电场强度表达式。

2-5 有两相距为d的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为?和??。求两无穷大平面分割出的三个空间区域的电场强度。

解 如图2-4所示的三个区域中，作高斯面S1，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面S2，据高斯通量定理，可得在区域（2），E?? ?0

2-6 求厚度为d，体电荷密度为?的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生的电场强度。

解 如图2-5所示的三个区域中，作高斯面S1，据高斯通量定理，电场强度在S1上的通量为

?dS1 E?ds?2ES?11?s1?0?d 2?0对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面S2，据高斯通量定理，电场强度在

?xS2?x?x?d??d?，得 E2?S2上的通量为 E1S2?E2S2??E1????x?? ?0?0?02?0?0?2?可得在区域（1）和（3）中，电场强度 E1?

2-7 有一半径为a的均匀带电无穷长圆柱体，其单位长度上带电荷量为?。求空间的电场强度。

解 如图建立圆柱坐标系，设圆柱体的体电荷密度为?，

?则有 ???a2??，即 ??2

?a作柱对称高斯面，可得

?r?r??r2当r?a，E?2?r?，解得 E? ?22?02??0a?0当r?a，E?2?r???，解得 E? ?02??0r 10

电磁场题解

2-8 如图2-7所示，一半径为a的均匀带电无穷长圆柱体电荷，电荷体密度为?，在其中挖出半径为b的无穷长平行圆柱孔洞，两圆柱轴线距离为d。求孔洞内各处的电场强度。

解 设孔洞内任意场点至大、小两圆柱体轴心的矢径分别为r1、r2，则当孔洞内充满体密度为?的电荷时，场

?r1r1?点处有 E1?

2?0孔洞内充满充满体密度为??的电荷时，由??在场点

?r2r2?处产生的场强为 E2??

2?0???r1r1??r2r2???drab则所求场点的电场强度为 E?E1?E2? ?2?02?0?式中rab为两圆柱轴线间距d的单位矢量，方向为从大圆柱体的轴心指向小圆柱

体的轴心。

2-9 求如图2-8所示电偶极子p对实验电荷qt的作用力。

解 据教材36页式（2-67），可得实验电荷qt处的电场强度为

pp??E?2cos?e?sin?e?e? r?4??0r34??0R3则实验电荷qt所受电场力为 pqtF?e?

4??0R3

2-10 如图2-9所示，平行平板电容器中，一半是介电常数为?的电介质，另一半是真空。电容器正负极之间距离为d，加电压U。求电介质中的电场强度、电位移矢量、极化强度、极化电荷体密度以及电介质与真空分界面上的极化面电荷密度。

解 设介电常数为?的电介质中的电场强度为E1，真空中的

U电场强度为E2，据边界条件可得 E1?E2?E?，

d?U?U据D??E，可得电位移矢量分别为 D1?，D2?0

dd????0?U 据P?D??0E，可得介质中的极化强度为 P??E??0E?

d以上各矢量的方向均为从正极板指向负极板。 极化电荷体密度为 ?P?????P?0

分界面上的极化面电荷密度为 ?P?P?en?0

2-11 有一带电导体球，带电荷量为q，周围空间为空气。空气的介电常数为?0，

11

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空气的击穿场强为E0。问导体球的半径大到什么程度就不会出现空气击穿？

q解 电场强度在导体球表面达到最大值，即 Emax??E0 24??0R 则 R?q4??0E0

2-12 试证明在线性、各向同性、均匀电介质中若没有自由体电荷就不会有束缚体电荷。

P?E?D，证明 由于在线性、各向同性、均匀电介质中，又??0，则??D?0，

可得??P?0，即?P?0。

2-13 已知某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表示式为

a?(r)?ebr，a和b均为常数。求体电荷密度。

r1??2???1??2??abr??1??2?abrabbr???2??2rr??2e?e???r??2?e???2??rr?r??r?r?r??r?r??r?r??r?? 解

1?aab2brbrbrbr?2ae?br?1??2be?br?1??be?err?rrab?0br?e 据?2???，可得 ????r????

2-14 有一平行平板电容器，两极板距离AB=d ，之间平行地放置两块薄金属片C和D，忽略薄金属片的厚度，

d有AC=CD=DB=。若将AB两极板充电到电压U0后，

3拆去电源，问：

1）AC, CD, DB之间的电压为多少？C和D两金属片上电荷分布如何？AC, CD, DB之间的电场强度为多少？

2）在1）的基础上，若将C和D两金属片用导线联接后再断开，重新回答1）中的三个问题。

3）若充电前先用导线联接C和D两金属片，充电完成后先断开电源，再断开C和D之间连线，重新回答1）中的三个问题。

4）在2）的基础上，若将A和B用导线联接再断开，重新回答1）中的三个问题。

解 极板间的电场强度为均匀的，各极板位于等位面上。 1）各极板间距相同，因此 UAC?UCD?UDB?U/3，

在C、D两金属片的两面均匀分布有电量相同的正、负面电荷，???0U/d 各极板间的电场强度相同，E?U/d

2）将C和D两金属片用导线联接，则UCD?0，ECD?0，由于A、B极板上的

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电磁场题解

电荷不变，则A、C间和D、B间的电场强度不变，电压也不变，即UAC?UDB?U/3，EAC?EDB?U/d；C、D相对的面上电荷中和后为零，另一面不变，量值???0U/d。

3）若充电前先用导线联接C和D两金属片，则充电后UAC?UDB?U/2，

UCD?0，各极板上的电荷同2）一样，分布在A、C或D、B相对的面上，但电荷的量值为???0U/2d，A、C及D、B之间的电场强度为EAC?EDB?U/2d，C、D之间的电场强度为零。

4）据题设条件，可知UAB?0，这时C、D极板上的电荷量不变，但分布于极板的两侧，设A、C及D、B相对面的电荷为?1，而D、C相对面的电荷为?2，则?1??2??，根据电荷分布，设EAC?EDB?E1??1/?0，EDC?E2??2/?0，可得?0?E1?E2?????0U/d，即E1?E2?U/d①，根据UAB?0可得

E1d/3?E2d/3?E1d/3?0，即2E1?E2?0②，解式①、②，可得E1?U/3d、E2?2U/3d，因此可得UAC?UDB?U/9、UCD??2U/9d，A、C及D、B相对面电荷分布?1??0U/3d，C、D相对面电荷分布?2?2?0U/3d。

2-15 有一分区均匀电介质电场，区域1（z?0）中的相对介电常数为?r1，区域2（z?0）中的相对介电常数为?r2。已知E1?20ex?10ey?50ez，求D1、E2和D2。

解 根据D??E，已知 E1?20ex?10ey?50ez， 则有 D1?20?r1?0ex?10?r1?0ey?50?r1?0ez 有根据边界条件，可得 E2?20ex?10ey?及 D2?20?r2?0ex?10?r2?0ey?50?r2?0ez

2-16 一半径为a的金属球位于两种不同电介质的无穷大分界平面处，导体球的电位为?0。求两种电介质中各点的电场强度和电位移矢量。

解 设上、下半球的电荷面密度分别为?1和?2，

则在半径为r的球面上，有

D1?2?r2?D2?2?r2???1??2??2?a2，即 D1r2?D2r2???1??2?a2

将D1??1E1、D2??2E2代入上式，同时考虑到在介质界面上，电场强度只有沿界面切线方向的分量，即E1?E2?E，则有 ?1Er2??2Er2???1??2?a2

???1??2?a2，据题意可得 ??1??2?a21，由此可得

E??0??E?dr??2a?1??2a??1??2?r?0??1??2??0??1??2?a2?0a?1??2?，E??2，

aa??1??2?r2r50?r1?r2ez

并可得 D1??1E??1?0ar2，D2??2E??2?0ar2

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电磁场题解

2-17 在直角坐标系中，给定一电荷分布为

????0cos(x) (?a?x?a)??? a ??0 (x>a ) 求空间各区域的电位分布。

解 作图2-12所示的圆柱面，两端面位于x??a处，则当x?a时，闭合面内所包围的电荷量为

a???a??????Q?x??2S??0cos?x?dx?2S?0sin?x??2S?0?sin?x?

0??a?0??a??a??a???电场强度为 E?0sin?x?ex

??0?a?xx当x?a时，闭合面内所包围的电荷量为

??Q?x??2S??0cos?0?aaa???x?dx?2S?0sin???a?a????x??2S?0?sin?a??0

??a??0a则电场强度也为零。

设??0??0，可得

?0a????0aa?0a2?????x???E?dx??sin?x?dx????cos?x??2xx??a?????a?x??000?000??????cos?ax??1?

????

2-18 在平行平面静电场中，若边界线的某一部分与一条电场强度线重合。问：

这部分边界线的边界条件如何表示？

解 由于边界线为电场强度线，则不能是等电位线，界面上也无电场强度的法线

???0 方向分量，则界面上??0，由此可得，界面上边界条件为??n

2-19 无限大导体平面上方左右对称放置两种电介质，介电

常数分别为?1和?2。在第一种电介质中距导体平面a，距电介质分界面b处，放置一点电荷q。若求解区域为

第一种媒质的空间，求镜象电荷。

解 在图2-13中，设下半区为导体，则可得镜象电荷分别

???2为?q、q'和?q'，其中q'?1q

???2 14

电磁场题解

2-20 导体表面如图2-14所示的两无限大平面，在两导体平面形成的空间区域放置一点电荷q。问：两

平面之间夹角?为下列数值中哪一个时可以用镜象法？镜象电荷如何分布？

1）??40o， 2）??60o，3）??80o

解 当??60?时可以用镜象法求解，镜象电荷如图

2-15所示。

2-21 求截面如图2-16所示长度为l的两种圆柱形电容器的电容。 解 （1） 设内、外极板上分别有电荷?q，则在两种介质中的电场强度分别为

qq，E2? E1?2??1lr2??2lr电极间电压为

U??E1dr??E2drR1R2R2R3q?lnR2/R1lnR3/R2????2?l??1?2?

???因此，极间电容为 C?2?l?1?2

?2lnR2/R1??1lnR3/R2（2） 设内、外极板上分别有电荷?q，其中在第一种介质中，内导体上的面电荷密度为?1，在第二种介质中，内导体上的面电荷密度为?2，则据高斯定理，有 D1r??D2r?2??????1R1???2R1?2????，考虑边界条件，有E1?E2?E， 代入上式，可得 ?1Er???2Er?2??????1R1???2R1?2????，即

R2?1R1???2R1?2?????R???2R1?2????R2，又有 U??Edr?11 E?lnR1?1r???2r?2?????1???2?2????R1q?R?l??2R1?2????l??1???2?2?????l因此 C??11 ?UUln?R2/R1?2-22 球形电容器内导体极板半径为R1，外导体极板半径为R2，极板间充满介电常数为?的电介质。求电容器的电容。

解 设球形电容器内导体电极上的分别带有电荷?q，则在极间介质中的电场强

R2qq?11?q?R2?R1???，极间电压为 U?Edr????R1??4??r24???R1R2?4??R1R2q4??R1R2因此 C??

UR2?R1度为 E? 15

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