江苏省淮安市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试数学试卷

江苏省淮安市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试 数 学Ⅰ

一、填空题

1．已知集合A?{0,a}，B?{0,1,3}，若A?B?{0,1,2,3}，则实数a的值为 ． 2．已知复数z满足z??4，若z的虚部大于0，则z? ．

3．交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控，从速度在50?90km/h的汽车中抽取150辆进行分析，得到数据的频率分布直方图如图所示，则速度在70km/h以下的汽车有 辆． 4．运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为 ．

频率组距2S?1I?1WhileI?5S?S?2 I?I?1EndWhilePrintSAy20.040.030.020.015060708090速度（km/h）Ox-2

B

5．函数f(x)?2sin(?x??)(??0)的部分图像如图所示，若AB?5，则?的值为 ． 6．若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 ．

x2y2??1渐近线的距离为 ． 7．抛物线y?4x的焦点到双曲线

16928．已知矩形ABCD的边AB?4，BC?3若沿对角线AC折叠，使得平面DAC?平面BAC,则三棱柱

D?ABC的体积为 ．

9．若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1a2?a13)?13，等差数列{bn}满足b7?a7，则

b1?b2???b13的值为 ．

10．定义在R上的奇函数f(x)满足当x?0时，f(x)?log2(x?2)?(a?1)x?b（a，b为常数），若

f(2)??1，则f(?6)的值为 ．

11．已知|OA|?|OB|?2，且OA?OB?1，若点C满足|OA?CB|?1，则|OC|的取值范围是 ．

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?2x?cosxx?0?12．已知函数f(x)??，若关于x的不等式f(x)??的解集为(??,)，则实数a的

2?x(a?x)x?0取值范围是 ．

13．已知A(0,1)，B(1,0)，C(t,0)，点D是直线AC上的动点，若AD?2BD恒成立，则最小正整数t的值为 ．

14．设a,b,c是正实数，满足b?c?a，则

bc?的最小值为 ． ca?b31，tan(A?B)??， 52二、解答题

15．在锐角三角形ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，已知sinA?（1）求tanB； （2）若b?5，求c.

16．如图，在四棱锥P?ABCD中，已知底面ABCD为矩形，

P PA?平面PDC,点E为棱PD的中点，

求证：（1）PB//平面EAC；（2）平面PAD?平面ABCD.

A E D C O

B 17．如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线

0C．为方便游客光，拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN，且PM,PN的造价分别为5万元/百米，40万元/百米，建立如图所示的直角坐标系xoy，则曲线符合函数

y?x?42(1?x?9)模型，设PM?x，修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元，题中所涉及2x的长度单位均为百米. （1）求f(x)解析式;

（2）当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．

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yAMPNOxB18．已知各项均为正数的数列{an}的首项a1?1，Sn是数列{an}的前项和，且满足：

anSn?1?an?1Sn?an?an?1??anan?1(??0.n?N*).

（1）若a1，a2，a3成等比数列，求实数?的值; （2）若??

1

，求Sn. 2

1x2y219. 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率e?，左顶点为

2abA(?4,0)，过点A作斜率为k(k?0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E.

（1）求椭圆C的方程;

（2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的

yEDMxk(k?0)都有OP?EQ，若存在，求出点Q的坐标；若不存

在说明理由;

（3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求

PAOAD?AE的最小值.

OM

20．已知函数f(x)?e[x?2x?(a?4)x?2a?4]，其中a?R，e为自然对数的底数 （1）若函数f(x)的图像在x?0处的切线与直线x?y?0垂直，求a的值． （2）关于x的不等式f(x)??e在(??,2)上恒成立，求a的取值范围． （3）讨论f(x)极值点的个数．

x133243x

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附加题部分

21．【选做题】

A．[选修4—1：几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，?PAQ是直角，圆O与射线AP相切于点T，与射线AQ相交于两点

B,C．求证：BT平分?OBA．

B．[选修4—2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵A??

C．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在极坐标系中，圆C的极坐标方程为?2?8?sin(??)?13?0，已知A(1,?1??12?，求矩阵A的特征值和特征向量． 4???33?3?),B(3,)，P为圆C上一22点，求?PAB面积的最小值．

D．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分） 设x,y均为正数，且x?y，求证：2x?

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 ．．．．．．．出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.（本小题满分10分）

如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面?ABC是直角三角形，

1?2y?3．

x2?2xy?y2????????AB?AC?1，点P是棱BB1上一点，满足BP??BB1(0???1)．

（1）若??1，求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值； 32，求?的值． 3?B的正弦值为（2）若二面角P?AC1

23.（本小题满分10分）

已知数列{an}满足an?3n?2,f(n)?111????,g(n)?f(n2)?f(n?1)，n?N*． a1a2an（1）求证：g(2)?；（2）求证：当n?3时，g(n)?．

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1313江苏省淮安市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试 数学I参考答案及评分标准

一、填空题

1. 2； 2. 2i； 3．75； 4．9； 5．7．

?1； 6.； 33324； 8. ； 9．26； 10. 4； 11．[6-1,6+1]； 55112．?2?,+?；13．4； 14. 2?．

2??二、解答题

15．（1）在锐角三角形ABC中，由sinA?所以tanA?43，得cosA?1?sin2A?， …………2分

55sinA3?.……………………………………………………………4分 cosA4tanA?tanB1由tan(A?B)???，得tanB?2. ………………7分

1?tanA?tanB2255（2）在锐角三角形ABC中，由tanB?2，得sinB?，cosB?，……9分

55115所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?，…………………11分

25bcbsinC11由正弦定理，得c???. ………………14分

sinBsinCsinB216．(1) 连接BD与AC相交于点O，连结OE．………2分

因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点． 因为E为棱PD中点，所以PB∥OE．………4分 因为PB?平面EAC，OE?平面EAC，

所以直线PB∥平面EAC．……………………6分

(2) 因为PA⊥平面PDC，CD?平面PDC，所以 PA⊥CD． …………………8分

因为四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD．…………………………………10分 因为 PA∩AD＝A，PA，AD?平面PAD，所以 CD⊥平面PAD．…………12分 因为CD?平面ABCD，所以 平面PAD⊥平面ABCD． …………………14分

17． (1)在如图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y=x+所以点P坐标为?x,x?A P E D C

O B 421≤x≤9?，PM?x 2?x???42?， 2??x?直线OB的方程为x?y?0， ……………………………………………………2分

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?42?42x??x?2?x?x24?则点P到直线x?y?0的距离为??2，………………4分

x22又PM的造价为5万元／百米，PN的造价为40万元／百米． 则两条道路总造价为f(x)?5x?40?432???5x????1≤x≤9?． …………8分 x2x2??(2) 因为f(x)?5x?40?432???5x?， ?22?xx??64?5(x3?64)?所以 f?(x)=5?1?3??， ………………………10分 3xx??令f?(x)?0，得x?4，列表如下：

x f?(x) f(x) （1,4） 4 0 （4,9） ? 单调递减 ? 单调递增 极小值 32??所以当x?4时，函数f(x)有最小值，最小值为f?4??5?4?2??30．……13分

4??32??答：（1）两条道路PM ,PN总造价f(x)为f(x)?5?x?2??1≤x≤9?；

x??（2）当x?4时，总造价最低，最低造价为30万元． ……………………14分

32???xx32?（注：利用三次均值不等式f(x)?5?x?2??5???2?≥5?338?30，

x???22x?xx32） ??，即x?4时等号成立，照样给分．

22x2218.（1）令n?1，得a2?．

1+?当且仅当

令n?2，得a2S3?a3S2+a2?a3??a2a3，所以a3?22?+4．…………2分

??+1??2?+1?2?+4?2?由a?a1a3，得?，因为??0，所以??1．………4分 ???1+????+1??2?+1?22（2）当??

11时，anSn?1?an?1Sn+an?an?1?anan?1， 22第 6 页(共 12 页)

所以

Sn?1SnS+1Sn+11111?+??，即n?1??，………………………6分 an?1an?1an?1an2an?1an2?S+1?1所以数列?n是以为首项，公差为的等差数列， 2?a2?n?所以

Sn+11?2+?n?1??， ……………………………………………………8分 an2?n3?即Sn+1??+?an，①

?22??n3?当n≥2时，Sn?1+1??+?an?1，②

?22?n+3n+2an?an?1，……………………………………………10分 22aa即?n+1?an??n+2?an?1，所以n?n?1?n≥2?， ………………………12分

n+2n+1①?②得，an?11?a?所以?n?是首项为是常数列，所以an??n+2?. ……………………14分

33?n+2?n2?5n?n3?代入①得Sn??+?an?1?. ……………………16分

6?22?0)，所以a?4，又e?19. （1）因为左顶点为A(?4，又因为b2?a2?c2?12，

1，所以c?2.…………………2分 2x2y2??1. ………………………………………4分 所以椭圆C的标准方程为

1612?x2y2x2[k(x?4)]2?1，????1. （2）直线l的方程为y?k(x?4)，由?1612消元得，1612?y?k(x?4),?化简得，(x?4)[(4k2?3)x?16k2?12)]?0，

?16k2?12所以x1??4，x2?. ……………………………………………………6分

4k2?3?16k2?12?16k2?1224ky?k(?4)?当x?时，，

4k2?34k2?34k2?3?16k2?1224k?16k212k,).因为点P为AD的中点，所以P的坐标为(2,)， 所以D(4k2?34k2?34k?34k2?33则kOP??(k?0).…………………………………………………………………………8分

4k直线l的方程为y?k(x?4)，令x?0，得E点坐标为(0,4k)，

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假设存在定点Q(m,n)(m?0)，使得OP?EQ， 则kOPkEQ??1，即?3n?4k???1恒成立， 4km?4m?12?0，?m??3，所以(4m?12)k?3n?0恒成立，所以?即?

?3n?0，n?0，??因此定点Q的坐标为(?3,0). …………………………………………10分 （3）因为OM?l，所以OM的方程可设为y?kx，

?x2y2?1，43??由?1612得M点的横坐标为x??，………………………………………12分

24k?3?y?kx?由OM?l，得

AD?AExD?xA?xE?xAxD?2xA ??OMxMxM?16k2?12?8214k2?94k?3…………………………………………………14分 ???24334k?34k2?3 ?13(4k2?3?64k?364k2?32)≥22，

当且仅当4k2?3?即k??3时取等号， 23AD?AE时，的最小值为22． …………………………16分 2OM?1?20. (1) 由题意，f?(x)?ex?x3?x2?ax?a?， …………………………………………2分

?3?因为f(x)的图象在x?0处的切线与直线x?y?0垂直，

所以f?(0)=1，解得a??1. ……………………………4分

所以当k??44?1? (2) 法一：由f(x)??ex，得ex?x3?2x2?(a?4)x?2a?4???ex，

33?3?2)恒成立，……………………………6分 即x3?6x2?(3a?12)x?6a?8?0对任意x?(??，2)恒成立， 即?6?3x?a?x3?6x2?12x?8对任意x?(??，x3?6x2?12x?812???x?2?， ……………………………8分 因为x?2，所以a??3?x?2?3记g(x)??122)上单调递增，且g(2)?0， ?x?2?，因为g?x?在(??，3??)． ………………………………………10分 所以a≥0，即a的取值范围是[0，44?1?法二：由f(x)??ex，得ex?x3?2x2?(a?4)x?2a?4???ex，

33?3?2)上恒成立，……………………………6分 即x3?6x2?(3a?12)x?6a?8?0在(??，第 8 页(共 12 页)

因为x3?6x2?(3a?12)x?6a?8?0等价于(x?2)(x2?4x?3a?4)?0，

①当a≥0时，x2?4x?3a?4?(x?2)2?3a≥0恒成立，

2)，满足题意． …………………………………………8分 所以原不等式的解集为(??，②当a?0时，记g(x)?x2?4x?3a?4，有g(2)?3a?0， 所以方程x2?4x?3a?4?0必有两个根x1,x2，且x1?2?x2，

原不等式等价于(x?2)(x?x1)(x?x2)?0，解集为(??，x1)?(2，x2)，与题设矛盾，

所以a?0不符合题意．

??)．…………………………………………10分 综合①②可知，所求a的取值范围是[0，?1?(3) 因为由题意，可得f'(x)?ex?x3?x2?ax?a?，

?3?所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分

令g(x)?x3?x2?ax?a，

①若f(x)有且只有一个极值点，所以函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次， 即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号． ⅰ）当g(x)为单调递增函数时，g'(x)?x2?2x?a≥0在R上恒成立，得a≥1…12分 ⅱ）当g(x)极值同号时，设x1,x2为极值点，则g(x1)?g(x2)≥0，

由g'(x)?x2?2x?a?0有解，得a?1，且x12?2x1?a?0,x22?2x2?a?0， 所以x1?x2?2,x1x2?a，

1313112 ??(2x1?a)?ax1?ax1?a??(a?1)x1?a?，

3332同理，g(x2)??(a?1)x2?a?，

322所以g?x1?g?x2???(a?1)x1?a???(a?1)x2?a?≥0，

332化简得(a?1)x1x2?a(a?1)(x1?x2)?a2≥0，

所以g(x1)?x13?x12?ax1?a?x1(2x1?a)?x12?ax1?a

所以(a?1)2a?2a(a?1)?a2≥0，即a≥0， 所以0≤a?1．

所以，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点； …………………14分 ②若f(x)有三个极值点，所以函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次，同理可得a?0； 综上，当a≥0时，f(x)有且仅有一个极值点，

当a?0时，f(x)有三个极值点． …………………16分

13数学Ⅱ（附加题）参考答案及评分标准

21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21A．连结OT．

因为AT是切线，所以OT?AP．………………………2分 又因为?PAQ是直角，即AQ?AP， 所以AB?OT，

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所以?TBA??BTO． ………………………………… 5分 又OT?OB，所以?OTB?OBT， …………………8分 所以?OBT??TBA，

即BT平分?OBA． …………………………………10分 21B．矩阵A的特征多项式为f??????11?2??2?5?+6， ……………2分 ??4由f????0，解得?1?2，?2?3．. …………………………………………4分

?x?2y?0,当?1?2时，特征方程组为?

x?2y?0,??2?故属于特征值?1?2的一个特征向量?1???；………………………………7分

?1??2x?2y?0,当?2?3时，特征方程组为??x?y?0,

?1?故属于特征值?2?3的一个特征向量?2???． …………………………10分

?1?21C．圆C的直角坐标方程为x2?y2?43x?4y?13?0，

即(x?23)2?(y?2)2?3． ………………………………………………4分 又A(0,?1),B(0,?3),所以AB?2．……………………………………………6分

P到直线AB距离的最小值为23?3?3，………………………………8分

所以?PAB面积的最小值为?2?3=3．…………………………………10分 21D．因为x＞0，y＞0，x－y＞0，

112x?2?2y?2(x?y)?，…………………………………4分

x?2xy?y2(x?y)2

=(x?y)?(x?y)?1123(x?y)≥3?3， ……………………8分

(x?y)2(x?y)212所以2x?1≥2y?3． ……………………………………………10分

x?2xy?y22【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写 ．．．．．．．

出文字说明、证明过程或演算步骤．

AC，AA1所在直线为x轴、y轴、22.以A为坐标原点O，分别以AB，建立空间直角坐标系O?xyz．因z轴，

为AB=AC?1，AA1?2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，

P(1,0,2?)．……………………………………………1分

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?????????????21（1）由??得，CP?(1,?1,)，A1B?(1,0，-2)，AC?(0,1,?2)， 133??????n1?A1B?0,?x1?2z1?0,设平面A1BC的法向量为n1?(x1,y1,z1)，由?????得? ?y?2z?0.1??n1?A1C?0，?1不妨取z1?1，则x1?y1?2，

从而平面A1BC的一个法向量为n1?(2,2,1)．……………………………………3分 设直线PC与平面A1BC所成的角为?，

????????CP?n122?则sin??|cos?CP,n1?|????， ?33|CP|?|n1|22．…………………………5分 33????（2）设平面PA1C的法向量为n2?(x2,y2,z2)， A1P?(1,0，2?-2)，

所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为???????n2?A1C?0,?y2?2z2?0,由?得? ????x?(2??2)z?0.2??n2?A1P?0，?2不妨取z2?1，则x2?2?2?，y2?2，

所以平面PA1C的法向量为n2?(2?2?,2,1)．……………………………………7分 则cos?n1,n2??9?4?34?2?8??9?B的正弦值为，又因为二面角P?AC12， 3所以9?4?34?2?8??9=5，………………………………………………………9分 3化简得?2+8??9?0，解得??1或???9（舍去），

故?的值为1． …………………………10分

1111?????23．（1）由题意知，an?3n?2,g(n)?， …………1分 anan?1an?2an2111111691???????． ……………2分 a2a3a447101403 （2）用数学归纳法加以证明：

当n?2时，g(2)?①当n?3时，g(3)?1111????? a3a4a5a9?11111111111111????????(??)?(??) 7101316192225710131619222511111111331311??(??)?(??)???????， 816161632323281632816163 所以当n?3时，结论成立．………………………………………………4分

第 11 页(共 12 页)

②假设当n?k时，结论成立，即g(k)? 则n?k?1时， g(k?1)?g(k)?( ?1， 31a(k?1)2?1) …………6分 ak1ak2?1?1ak2?2???1(2k?1)111111? ?(?????)??33(k?1)2?23k?23ak2?1ak2?2a(k?1)2ak1(2k?1)(3k?2)?[3(k?1)2?2]13k2?7k?3?? ??，

3[3(k?1)2?2][3k?2]3[3(k?1)2?2][3k?2]由k≥3可知，3k2?7k?3?0，即g(k?1)?． 所以当n?k?1时，结论也成立．

综合①②可得，当n≥3时，g(n)?． …………………10分

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