江苏省淮安市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试 数 学Ⅰ
一、填空题
1.已知集合A?{0,a},B?{0,1,3},若A?B?{0,1,2,3},则实数a的值为 . 2.已知复数z满足z??4,若z的虚部大于0,则z? .
3.交通部门对某路段公路上行驶的汽车速度实施监控,从速度在50?90km/h的汽车中抽取150辆进行分析,得到数据的频率分布直方图如图所示,则速度在70km/h以下的汽车有 辆. 4.运行如图所示的伪代码,则输出的结果S为 .
频率组距2S?1I?1WhileI?5S?S?2 I?I?1EndWhilePrintSAy20.040.030.020.015060708090速度(km/h)Ox-2
B
5.函数f(x)?2sin(?x??)(??0)的部分图像如图所示,若AB?5,则?的值为 . 6.若随机安排甲乙丙三人在3天节日中值班,每人值班1天,则甲与丙都不在第一天的概率的概率的概率为 .
x2y2??1渐近线的距离为 . 7.抛物线y?4x的焦点到双曲线
16928.已知矩形ABCD的边AB?4,BC?3若沿对角线AC折叠,使得平面DAC?平面BAC,则三棱柱
D?ABC的体积为 .
9.若公比不为1的等比数列{an}满足log2(a1a2?a13)?13,等差数列{bn}满足b7?a7,则
b1?b2???b13的值为 .
10.定义在R上的奇函数f(x)满足当x?0时,f(x)?log2(x?2)?(a?1)x?b(a,b为常数),若
f(2)??1,则f(?6)的值为 .
11.已知|OA|?|OB|?2,且OA?OB?1,若点C满足|OA?CB|?1,则|OC|的取值范围是 .
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?2x?cosxx?0?12.已知函数f(x)??,若关于x的不等式f(x)??的解集为(??,),则实数a的
2?x(a?x)x?0取值范围是 .
13.已知A(0,1),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点,若AD?2BD恒成立,则最小正整数t的值为 .
14.设a,b,c是正实数,满足b?c?a,则
bc?的最小值为 . ca?b31,tan(A?B)??, 52二、解答题
15.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,已知sinA?(1)求tanB; (2)若b?5,求c.
16.如图,在四棱锥P?ABCD中,已知底面ABCD为矩形,
P PA?平面PDC,点E为棱PD的中点,
求证:(1)PB//平面EAC;(2)平面PAD?平面ABCD.
A E D C O
B 17.如图,OA是南北方向的一条公路,OB是北偏东45方向的一条公路,某风景区的一段边界为曲线
0C.为方便游客光,拟过曲线C上的某点分别修建与公路OA,OB垂直的两条道路PM,PN,且PM,PN的造价分别为5万元/百米,40万元/百米,建立如图所示的直角坐标系xoy,则曲线符合函数
y?x?42(1?x?9)模型,设PM?x,修建两条道路PM,PN的总造价为f(x)万元,题中所涉及2x的长度单位均为百米. (1)求f(x)解析式;
(2)当x为多少时,总造价f(x)最低?并求出最低造价.
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yAMPNOxB18.已知各项均为正数的数列{an}的首项a1?1,Sn是数列{an}的前项和,且满足:
anSn?1?an?1Sn?an?an?1??anan?1(??0.n?N*).
(1)若a1,a2,a3成等比数列,求实数?的值; (2)若??
1
,求Sn. 2
1x2y219. 如图,在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的离心率e?,左顶点为
2abA(?4,0),过点A作斜率为k(k?0)的直线l交椭圆C于点D,交y轴于点E.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知P为AD的中点,是否存在定点Q,对于任意的
yEDMxk(k?0)都有OP?EQ,若存在,求出点Q的坐标;若不存
在说明理由;
(3)若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M,求
PAOAD?AE的最小值.
OM
20.已知函数f(x)?e[x?2x?(a?4)x?2a?4],其中a?R,e为自然对数的底数 (1)若函数f(x)的图像在x?0处的切线与直线x?y?0垂直,求a的值. (2)关于x的不等式f(x)??e在(??,2)上恒成立,求a的取值范围. (3)讨论f(x)极值点的个数.
x133243x
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附加题部分
21.【选做题】
A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)
如图,?PAQ是直角,圆O与射线AP相切于点T,与射线AQ相交于两点
B,C.求证:BT平分?OBA.
B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分) 已知矩阵A??
C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
在极坐标系中,圆C的极坐标方程为?2?8?sin(??)?13?0,已知A(1,?1??12?,求矩阵A的特征值和特征向量. 4???33?3?),B(3,),P为圆C上一22点,求?PAB面积的最小值.
D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分) 设x,y均为正数,且x?y,求证:2x?
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写 .......出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.(本小题满分10分)
如图,在直三棱柱ABC?A1B1C1中,底面?ABC是直角三角形,
1?2y?3.
x2?2xy?y2????????AB?AC?1,点P是棱BB1上一点,满足BP??BB1(0???1).
(1)若??1,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值; 32,求?的值. 3?B的正弦值为(2)若二面角P?AC1
23.(本小题满分10分)
已知数列{an}满足an?3n?2,f(n)?111????,g(n)?f(n2)?f(n?1),n?N*. a1a2an(1)求证:g(2)?;(2)求证:当n?3时,g(n)?.
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1313江苏省淮安市2015-2016学年度高三年级第一次模拟考试 数学I参考答案及评分标准
一、填空题
1. 2; 2. 2i; 3.75; 4.9; 5.7.
?1; 6.; 33324; 8. ; 9.26; 10. 4; 11.[6-1,6+1]; 55112.?2?,+?;13.4; 14. 2?.
2??二、解答题
15.(1)在锐角三角形ABC中,由sinA?所以tanA?43,得cosA?1?sin2A?, …………2分
55sinA3?.……………………………………………………………4分 cosA4tanA?tanB1由tan(A?B)???,得tanB?2. ………………7分
1?tanA?tanB2255(2)在锐角三角形ABC中,由tanB?2,得sinB?,cosB?,……9分
55115所以sinC?sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB?,…………………11分
25bcbsinC11由正弦定理,得c???. ………………14分
sinBsinCsinB216.(1) 连接BD与AC相交于点O,连结OE.………2分
因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD中点. 因为E为棱PD中点,所以PB∥OE.………4分 因为PB?平面EAC,OE?平面EAC,
所以直线PB∥平面EAC.……………………6分
(2) 因为PA⊥平面PDC,CD?平面PDC,所以 PA⊥CD. …………………8分
因为四边形ABCD为矩形,所以AD⊥CD.…………………………………10分 因为 PA∩AD=A,PA,AD?平面PAD,所以 CD⊥平面PAD.…………12分 因为CD?平面ABCD,所以 平面PAD⊥平面ABCD. …………………14分
17. (1)在如图所示的直角坐标系中,因为曲线C的方程为y=x+所以点P坐标为?x,x?A P E D C
O B 421≤x≤9?,PM?x 2?x???42?, 2??x?直线OB的方程为x?y?0, ……………………………………………………2分
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?42?42x??x?2?x?x24?则点P到直线x?y?0的距离为??2,………………4分
x22又PM的造价为5万元/百米,PN的造价为40万元/百米. 则两条道路总造价为f(x)?5x?40?432???5x????1≤x≤9?. …………8分 x2x2??(2) 因为f(x)?5x?40?432???5x?, ?22?xx??64?5(x3?64)?所以 f?(x)=5?1?3??, ………………………10分 3xx??令f?(x)?0,得x?4,列表如下:
x f?(x) f(x) (1,4) 4 0 (4,9) ? 单调递减 ? 单调递增 极小值 32??所以当x?4时,函数f(x)有最小值,最小值为f?4??5?4?2??30.……13分
4??32??答:(1)两条道路PM ,PN总造价f(x)为f(x)?5?x?2??1≤x≤9?;
x??(2)当x?4时,总造价最低,最低造价为30万元. ……………………14分
32???xx32?(注:利用三次均值不等式f(x)?5?x?2??5???2?≥5?338?30,
x???22x?xx32) ??,即x?4时等号成立,照样给分.
22x2218.(1)令n?1,得a2?.
1+?当且仅当
令n?2,得a2S3?a3S2+a2?a3??a2a3,所以a3?22?+4.…………2分
??+1??2?+1?2?+4?2?由a?a1a3,得?,因为??0,所以??1.………4分 ???1+????+1??2?+1?22(2)当??
11时,anSn?1?an?1Sn+an?an?1?anan?1, 22第 6 页(共 12 页)
所以
Sn?1SnS+1Sn+11111?+??,即n?1??,………………………6分 an?1an?1an?1an2an?1an2?S+1?1所以数列?n是以为首项,公差为的等差数列, 2?a2?n?所以
Sn+11?2+?n?1??, ……………………………………………………8分 an2?n3?即Sn+1??+?an,①
?22??n3?当n≥2时,Sn?1+1??+?an?1,②
?22?n+3n+2an?an?1,……………………………………………10分 22aa即?n+1?an??n+2?an?1,所以n?n?1?n≥2?, ………………………12分
n+2n+1①?②得,an?11?a?所以?n?是首项为是常数列,所以an??n+2?. ……………………14分
33?n+2?n2?5n?n3?代入①得Sn??+?an?1?. ……………………16分
6?22?0),所以a?4,又e?19. (1)因为左顶点为A(?4,又因为b2?a2?c2?12,
1,所以c?2.…………………2分 2x2y2??1. ………………………………………4分 所以椭圆C的标准方程为
1612?x2y2x2[k(x?4)]2?1,????1. (2)直线l的方程为y?k(x?4),由?1612消元得,1612?y?k(x?4),?化简得,(x?4)[(4k2?3)x?16k2?12)]?0,
?16k2?12所以x1??4,x2?. ……………………………………………………6分
4k2?3?16k2?12?16k2?1224ky?k(?4)?当x?时,,
4k2?34k2?34k2?3?16k2?1224k?16k212k,).因为点P为AD的中点,所以P的坐标为(2,), 所以D(4k2?34k2?34k?34k2?33则kOP??(k?0).…………………………………………………………………………8分
4k直线l的方程为y?k(x?4),令x?0,得E点坐标为(0,4k),
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假设存在定点Q(m,n)(m?0),使得OP?EQ, 则kOPkEQ??1,即?3n?4k???1恒成立, 4km?4m?12?0,?m??3,所以(4m?12)k?3n?0恒成立,所以?即?
?3n?0,n?0,??因此定点Q的坐标为(?3,0). …………………………………………10分 (3)因为OM?l,所以OM的方程可设为y?kx,
?x2y2?1,43??由?1612得M点的横坐标为x??,………………………………………12分
24k?3?y?kx?由OM?l,得
AD?AExD?xA?xE?xAxD?2xA ??OMxMxM?16k2?12?8214k2?94k?3…………………………………………………14分 ???24334k?34k2?3 ?13(4k2?3?64k?364k2?32)≥22,
当且仅当4k2?3?即k??3时取等号, 23AD?AE时,的最小值为22. …………………………16分 2OM?1?20. (1) 由题意,f?(x)?ex?x3?x2?ax?a?, …………………………………………2分
?3?因为f(x)的图象在x?0处的切线与直线x?y?0垂直,
所以f?(0)=1,解得a??1. ……………………………4分
所以当k??44?1? (2) 法一:由f(x)??ex,得ex?x3?2x2?(a?4)x?2a?4???ex,
33?3?2)恒成立,……………………………6分 即x3?6x2?(3a?12)x?6a?8?0对任意x?(??,2)恒成立, 即?6?3x?a?x3?6x2?12x?8对任意x?(??,x3?6x2?12x?812???x?2?, ……………………………8分 因为x?2,所以a??3?x?2?3记g(x)??122)上单调递增,且g(2)?0, ?x?2?,因为g?x?在(??,3??). ………………………………………10分 所以a≥0,即a的取值范围是[0,44?1?法二:由f(x)??ex,得ex?x3?2x2?(a?4)x?2a?4???ex,
33?3?2)上恒成立,……………………………6分 即x3?6x2?(3a?12)x?6a?8?0在(??,第 8 页(共 12 页)
因为x3?6x2?(3a?12)x?6a?8?0等价于(x?2)(x2?4x?3a?4)?0,
①当a≥0时,x2?4x?3a?4?(x?2)2?3a≥0恒成立,
2),满足题意. …………………………………………8分 所以原不等式的解集为(??,②当a?0时,记g(x)?x2?4x?3a?4,有g(2)?3a?0, 所以方程x2?4x?3a?4?0必有两个根x1,x2,且x1?2?x2,
原不等式等价于(x?2)(x?x1)(x?x2)?0,解集为(??,x1)?(2,x2),与题设矛盾,
所以a?0不符合题意.
??).…………………………………………10分 综合①②可知,所求a的取值范围是[0,?1?(3) 因为由题意,可得f'(x)?ex?x3?x2?ax?a?,
?3?所以f(x)只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分
令g(x)?x3?x2?ax?a,
①若f(x)有且只有一个极值点,所以函数g(x)的图象必穿过x轴且只穿过一次, 即g(x)为单调递增函数或者g(x)极值同号. ⅰ)当g(x)为单调递增函数时,g'(x)?x2?2x?a≥0在R上恒成立,得a≥1…12分 ⅱ)当g(x)极值同号时,设x1,x2为极值点,则g(x1)?g(x2)≥0,
由g'(x)?x2?2x?a?0有解,得a?1,且x12?2x1?a?0,x22?2x2?a?0, 所以x1?x2?2,x1x2?a,
1313112 ??(2x1?a)?ax1?ax1?a??(a?1)x1?a?,
3332同理,g(x2)??(a?1)x2?a?,
322所以g?x1?g?x2???(a?1)x1?a???(a?1)x2?a?≥0,
332化简得(a?1)x1x2?a(a?1)(x1?x2)?a2≥0,
所以g(x1)?x13?x12?ax1?a?x1(2x1?a)?x12?ax1?a
所以(a?1)2a?2a(a?1)?a2≥0,即a≥0, 所以0≤a?1.
所以,当a≥0时,f(x)有且仅有一个极值点; …………………14分 ②若f(x)有三个极值点,所以函数g(x)的图象必穿过x轴且穿过三次,同理可得a?0; 综上,当a≥0时,f(x)有且仅有一个极值点,
当a?0时,f(x)有三个极值点. …………………16分
13数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答,若多....................做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21A.连结OT.
因为AT是切线,所以OT?AP.………………………2分 又因为?PAQ是直角,即AQ?AP, 所以AB?OT,
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所以?TBA??BTO. ………………………………… 5分 又OT?OB,所以?OTB?OBT, …………………8分 所以?OBT??TBA,
即BT平分?OBA. …………………………………10分 21B.矩阵A的特征多项式为f??????11?2??2?5?+6, ……………2分 ??4由f????0,解得?1?2,?2?3.. …………………………………………4分
?x?2y?0,当?1?2时,特征方程组为?
x?2y?0,??2?故属于特征值?1?2的一个特征向量?1???;………………………………7分
?1??2x?2y?0,当?2?3时,特征方程组为??x?y?0,
?1?故属于特征值?2?3的一个特征向量?2???. …………………………10分
?1?21C.圆C的直角坐标方程为x2?y2?43x?4y?13?0,
即(x?23)2?(y?2)2?3. ………………………………………………4分 又A(0,?1),B(0,?3),所以AB?2.……………………………………………6分
P到直线AB距离的最小值为23?3?3,………………………………8分
所以?PAB面积的最小值为?2?3=3.…………………………………10分 21D.因为x>0,y>0,x-y>0,
112x?2?2y?2(x?y)?,…………………………………4分
x?2xy?y2(x?y)2
=(x?y)?(x?y)?1123(x?y)≥3?3, ……………………8分
(x?y)2(x?y)212所以2x?1≥2y?3. ……………………………………………10分
x?2xy?y22【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写 .......
出文字说明、证明过程或演算步骤.
AC,AA1所在直线为x轴、y轴、22.以A为坐标原点O,分别以AB,建立空间直角坐标系O?xyz.因z轴,
为AB=AC?1,AA1?2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),A1(0,0,2),B1(1,0,2),
P(1,0,2?).……………………………………………1分
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?????????????21(1)由??得,CP?(1,?1,),A1B?(1,0,-2),AC?(0,1,?2), 133??????n1?A1B?0,?x1?2z1?0,设平面A1BC的法向量为n1?(x1,y1,z1),由?????得? ?y?2z?0.1??n1?A1C?0,?1不妨取z1?1,则x1?y1?2,
从而平面A1BC的一个法向量为n1?(2,2,1).……………………………………3分 设直线PC与平面A1BC所成的角为?,
????????CP?n122?则sin??|cos?CP,n1?|????, ?33|CP|?|n1|22.…………………………5分 33????(2)设平面PA1C的法向量为n2?(x2,y2,z2), A1P?(1,0,2?-2),
所以直线PC与平面A1BC所成的角的正弦值为???????n2?A1C?0,?y2?2z2?0,由?得? ????x?(2??2)z?0.2??n2?A1P?0,?2不妨取z2?1,则x2?2?2?,y2?2,
所以平面PA1C的法向量为n2?(2?2?,2,1).……………………………………7分 则cos?n1,n2??9?4?34?2?8??9?B的正弦值为,又因为二面角P?AC12, 3所以9?4?34?2?8??9=5,………………………………………………………9分 3化简得?2+8??9?0,解得??1或???9(舍去),
故?的值为1. …………………………10分
1111?????23.(1)由题意知,an?3n?2,g(n)?, …………1分 anan?1an?2an2111111691???????. ……………2分 a2a3a447101403 (2)用数学归纳法加以证明:
当n?2时,g(2)?①当n?3时,g(3)?1111????? a3a4a5a9?11111111111111????????(??)?(??) 7101316192225710131619222511111111331311??(??)?(??)???????, 816161632323281632816163 所以当n?3时,结论成立.………………………………………………4分
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②假设当n?k时,结论成立,即g(k)? 则n?k?1时, g(k?1)?g(k)?( ?1, 31a(k?1)2?1) …………6分 ak1ak2?1?1ak2?2???1(2k?1)111111? ?(?????)??33(k?1)2?23k?23ak2?1ak2?2a(k?1)2ak1(2k?1)(3k?2)?[3(k?1)2?2]13k2?7k?3?? ??,
3[3(k?1)2?2][3k?2]3[3(k?1)2?2][3k?2]由k≥3可知,3k2?7k?3?0,即g(k?1)?. 所以当n?k?1时,结论也成立.
综合①②可得,当n≥3时,g(n)?. …………………10分
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