初中数学 培优专题复习 中考压轴题 易错题 汇编 含答案 3：

约用气115－65=50（升），设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，则由题意得：

50a=10，解得a=23。 115答：该家庭以前每月平均用气量为23立方米。

【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。

【分析】（1）先假设函数为一次函数，任选两点求出函数解析式，再将各点代入验证；再假设函数为二次函数，任选三求出函数解析式，再将各点代入验证

（2）将（1）所求二次函数解析式，化为顶点式，转化为二次函数最值的问题。

（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节约用气115－65=50，再设该家庭以前每月平均用气量为a立方米，据此解答即可。

21. （2018山东德州10分）现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．

（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：

A B 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） x （2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式 （3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？ 【答案】解：（1）完成填表：

A B 运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨） x 15﹣x 14﹣x x﹣1 （2）W=50x＋30（14－x）＋60（15－x）＋45（x－1），

整理得，W=5x＋1275。 （3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，

?x?0?14?x?0∴?，解不等式组，得：1≤x≤14。 ??15?x?0??x?1?0在W=5x+1275中，W随x增大而增大，

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∴当x最小为1时，W有最小值 1280元。

【考点】一次函数和一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，可得解。

（2）根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列出总费用，从而可得出答案。

（3）求出x的取值范围，利用w与x之间的函数关系式，求出函数最值即可。

22. （2018浙江温州12分）温州享有“中国笔都”之称，其产品畅销全球，某制笔企业欲将n件产品运往A,B,C三地销售，要求运往C地的件数是运往A地件数的2倍，各地的运费如图所示。设安排x件产品运往A地。

（1）当n?200时， ①根据信息填表： 产品件数（件） 运费（元） A地 B地 C地 合计 200 x 30x 2x ②若运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元，则有哪几种运输方案？ （2）若总运费为5800元，求n的最小值。 【答案】解：（1）①根据信息填表 产品件数（件） 运费（元） A地 B地 C地 合计 200 x 30x 200?3x 2x 1600?24x 50x 56x+1600 6?200?3x?2x ②由题意，得 ? ，解得40≤x≤42。

7?1600?56x?4000∵x为整数，∴x=40或41或42。 ∴有三种方案，分别是

47

（i）A地40件，B地80件，C地80件；

（ii）A地41件，B地77件，C地82件； （iii）A地42件，B地74件，C地84件。

（2）由题意，得30x+8（n－3x）+50x=5800，整理，得n=725－7x．

∵n－3x≥0，∴x≤72.5。

又∵x≥0，∴0≤x≤72.5且x为整数。

∵n随x的增大而减少，∴当x=72时，n有最小值为221。

【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。

【分析】（1）①运往B地的产品件数=总件数n－运往A地的产品件数－运往B地的产品件数；运费=相应件数×一件产品的运费。

②根据运往B地的件数不多于运往C地的件数，总运费不超过4000元列出不等式组，求得整

数解的个数即可。

（2）总运费=A产品的运费+B产品的运费+C产品的运费，从而根据函数的增减性得到的x的取

值求得n的最小值即可。

23. （2018浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：

时间t（秒） 行驶距离s（米） 0 0 0.2 2.8 0.4 5.2 0.6 7.2 0.8 8.8 1.0 10 1.2 10.8 … … （1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；

（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式； （3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？

②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较际意义．

ss1与2的大小，并解释比较结果的实t2t1

48

【答案】解：（1）描点图所示：

（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2＋bt＋c，

∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。 又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：

?a=?5?0.04a+0.2b=2.8，解得：。 ??b=15a+b=10??经检验，其余各点均在s=－5t2+15t上。 ∴二次函数的解析式为：s??5t2?15t。

（3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。

345?3?45 ∵s??5t?15t=?5?t???，∴当t=时，滑行距离最大，为。

424?2?22因此，刹车后汽车行驶了

45米才停止。 4②∵s??5t2?15t，∴s1??5t12?15t1，s2??5t22?15t2。

s1?5t12?15t1s2?5t22?15t2∴==?5t1?15， ==?5t2?15。 t1t1t2t2∵t1＜t2，∴

s1s2ss?=?5t1?15???5t2?15?=5?t2?t1?>0。∴1>2。 t1t2t1t2其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。

【分析】（1）描点作图即可。

（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。 （3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。

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（4）求出

ss1与2，用差值法比较大小。 t2t124. （2018吉林长春10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线y=ax2?2x+c分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．

（1）求点C、D的纵坐标． （2）求a、c的值．

（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．

（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．

?b4ac?b2?（参考公式：二次函数y=ax+bx+c?a?0?图像的顶点坐标为??，）

?2a 4a????2

【答案】解：（1）∵点C在直线AB：y=－2x+42上，且C点的横坐标为16，

∴y=－2×16+42=10，即点C的纵坐标为10。

∵D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，∴点D的纵坐标为4。 （2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），

∵抛物线y=ax2?2x+c经过C、D两点，

1?a??256a?32?c?101?∴?，解得：?8。∴抛物线的解析式为y=x2?2x+10。

8?16a?8?c?4??c?10（3）∵P为线段OB上一点，纵坐标为5，∴P点的横坐标也为5。

∵点Q在抛物线上，纵坐标为5，∴5=x2?2x+10，解得x1?8?26，x2?8?26。 当点Q的坐标为（8?26，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为26?3；

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初中数学

培优专题复习

2018版

初中培优系列 2018年全国中考数学分类解析汇编

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全国中考数学分类解析汇编

专题3：函数问题

一、选择题

1. （2018海南省3分）星期6，小亮从家里骑自行车到同学家去玩，然后返回，图是他离家的路程y（千米）与时间x（分钟）的函数图象。下列说法不一定正确的是【 】 ．．．

A．小亮家到同学家的路程是3千米 B．小亮在同学家逗留的时间是1小时 C．小亮去时走上坡路，回家时走下坡路 D．小亮回家时用的时间比去时用的时间少 【答案】C。

【考点】函数的图象。

【分析】从函数的图象可知，小亮家到同学家的路程是3千米；小亮在同学家逗留的时间是80－20=60（分钟）=1小时；小亮回家时用的时间为95－80=15（分钟），去时用的时间为20分钟，所以小亮回家时用的时间比去时用的时间少。故选项A，B，D都正确。对于选项C，虽然小亮回家时用的时间比去时用的时间少，这只能说明小亮回家时骑自行车的速度加快了，而不一定就是小亮去时走上坡路，回家时走下坡路。 故选C。

2. （2018广东广州3分）如图，正比例函数y1=k1x和反比例函数y2=﹣2）两点，若y1＜y2，则x的取值范围是【 】

k2的图象交于A（﹣1，2）、B（1，x

A．x＜﹣1或x＞1 B．x＜﹣1或0＜x＜1 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1

2

【答案】D。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：

由图象可得，﹣1＜x＜0或x＞1时，y1＜y2。故选D。

3. （2018广东梅州3分）在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线y= A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】C。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：

∵直线y=x+1的图象经过一、二、三象限，双曲线y=∴直线y=x+1与双曲线y=1的交点的个数为【 】 x1的图象经过一、三象限， x1有两个交点。故选C。 x2

4. （2018浙江衢州3分）已知二次函数y=﹣x﹣7x+

，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2

＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是【 】

A．y1＞y2＞y3 B．y1＜y2＜y3 C．y2＞y3＞y1 D．y2＜y3＜y1 【答案】A。

【考点】二次函数图象上点的坐标特征。

【分析】根据x1、x2、x3与对称轴的大小关系，判断y1、y2、y3的大小关系：

∵二次函数y??x2?7x?12b15，∴此函数的对称轴为：x=?=?2a2?7=?7。 1??2?????2?∵?7＜0＜x1＜x2＜x3，三点都在对称轴右侧，a＜0， ∴对称轴右侧y随x的增大而减小。∴y1＞y2＞y3。故选A。

1

5. （2018广东河源3分）在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝的交点个数为【 】

xA．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】A。

【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式。 【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立y＝x＋1和y＝x 2＋x－1＝0。

∵△＝1＋4=5＞0，∴x 2＋x－1＝0有两不相等的实数根。

3

1 1

得，x＋1＝，整理，得 xx

∴直线y＝x＋1与双曲线y＝

1

有两个交点。故选A。 x

6. （2018福建厦门3分）已知两个变量x和y，它们之间的3组对应值如下表所示.

x y －1 －1 0 1 1 3 则y 与x之间的函数关系式可能是【 】 A．y＝x B．y＝2x＋1 【答案】B。

【考点】函数关系式，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】观察这几组数据，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，找出符合要求的关系式：

A．根据表格对应数据代入不能全得出y=x，故此选项错误； B．根据表格对应数据代入均能得出y=2x+1，故此选项正确； C．根据表格对应数据代入不能全得出y＝x2＋x＋1，故此选项错误； 3

D．根据表格对应数据代入不能全得出y＝ ，故此选项错误。

x

故选B。

7. （2018福建漳州4分）在公式I=象大致表示为【 】

C．y＝x2＋x＋1

3

D．y＝ x

U中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图 RA．【答案】D。

B．C． D．

【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。 【分析】∵在公式I=

U中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系不反比例函数关系，且RR为正数，∴选项D正确。故选D。

8. （2018福建三明4分）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点P在x轴上，若以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有【 】

4

A． 2个 B． 3个 C．4个 D．5个 【答案】C。

【考点】等腰三角形的判定。

【分析】如图，分OP=AP（1点），OA=AP（1点），OA=OP（2点）三种情况讨论。

∴以P，O，A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有4个。故选C。 9. （2018湖北宜昌3分）已知抛物线y=ax﹣2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是【 】

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】D。

【考点】抛物线与x轴的交点与对应的一元二次方程的解之间的关系，二次函数的性质。

2

【分析】∵抛物线y=ax﹣2x+1与x轴没有交点，∴△=4﹣4a＜0，解得：a＞1。

∴抛物线的开口向上。

又∵b=﹣2，∴抛物线的对称轴在y轴的右侧。 ∴抛物线的顶点在第一象限。故选D。

10. （2018湖南益阳4分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是【 】

2

A．【答案】B。

B． C． D．

【考点】跨学科问题，函数的图象。

【分析】根据在一个标准大气压下水加热到100℃后水温不会继续增加，而是保持100℃不变，据此可以得到函数的图象。故选B。

5

由图可猜想y与x是一次函数关系，设这个一次函数为y?kx?b(k?0)， ∵这个一次函数的图象经过（20，500）、（30，400）两点，

?k??10?500?20k?b∴?，解得?。

400?30k?bb?700??∴函数关系式是y??10x?700。 经验证，其它各点也在y??10x?700上。

（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得：

W?(x?10)(?10x?700)??10x2?800x?7000??10(x?40)2+9000，

∴当x?40时，W有最大值9000。

（3）对于函数W??10(x?40)2+9000，当x?35时，W的值随着x值的增大而增大，

∴销售单价定为35元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大。

【考点】二次函数和一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值和增减性。

【分析】（1）利用表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出即可，再取任意两点用待定系数法得出y与x的函数关系式，求出即可。

（2）根据利润=销售总价-成本总价，由（1）中函数关系式得出W?(x?10)(?10x?700)，从而

利用二次函数最值求法得出即可。

（3）利用二次函数的增减性，结合对称轴即可得出答案。

18. （2018山东泰安12分）如图，半径为2的⊙C与x轴的正半轴交于点A，与y轴的正半轴交于点B，点C的坐标为（1，0）．若抛物线y??（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在点P，使得∠PBO=∠POB？若存在，求出点P的坐标；若不存在说明理由； （3）若点M是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB的面积为S，求S的最大（小）值．

41

32x?bx?c过A、B两点． 3

【答案】解：（1）如图1，连接OB。

∵BC=2，OC=1，∴OB=4?1?3。 ∴B（0，3）。

将A（3，0），B（0，3）代入二次函数的表达式，

?3?23??9?3b?c?0??b?得?3 ，解得：?3 。 ?c?3?c?3??∴抛物线的解析式为y??（2）存在。

如图2，作线段OB的垂直平分线l，与抛物线的交点即为点P。 ∵B（0，3），O（0，0），

3223x?x?3。 33∴直线l的表达式为y?3．代入抛物线的表达式， 2得?3223310x?x?3?；解得x?1?。 3322103，）。 22∴P（1?（3）如图3，作MH⊥x轴于点H。设M（xm，ym ），

则S△MAB=S梯形MBOH+S△MHA﹣S△OAB

?OH?=（MH?OB）1211HA?MH?OA?OB 2242

=

111333(ym?3)xm?(3?xm)ym??3?3=xm?ym?3。 222222∵ym??3223xm?xm?3， 3333322333 xm?(?xm?xm?3)?2233232333393 。 xm?xm??(xm?)2?22228∴SΔMAB?=?∴当xm?393时，SΔMAB取得最大值，最大值为。 28【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，线段垂直平分线的性质，二次函数最值。

【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式．因为已知A（3，0），所以需要求得B点坐标．如图1，连接OB，利用勾股定理求解。

（2）由∠PBO=∠POB，可知符合条件的点在线段OB的垂直平分线上．如图2，OB的垂直平分

线与抛物线有两个交点，因此所求的P点有两个，注意不要漏解。

（3）如图3，作MH⊥x轴于点H，构造梯形MBOH与三角形MHA，求得△MAB面积的表达式，

这个表达式是关于M点横坐标的二次函数，利用二次函数的极值求得△MAB面积的最大值。

19. （2018山东聊城12分）某电子厂商投产一种新型电子厂品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得3502万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

【答案】解：（1）∵z=（x﹣18）y=（x﹣18）（﹣2x+100）=﹣2x2+136x﹣1800，

∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800。 （2）由z=350，得350=﹣2x2+136x﹣1800，

解这个方程得x1=25，x2=43。

43

∴销售单价定为25元或43元时，厂商每月能获得3502万元的利润。 ∵z═﹣2x2+136x﹣1800 =﹣2（x﹣34）2+512，

∴当销售单价为34元时，每月能获得最大利润，最大利润是512万元。 （3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象（如图所示）可知，

当25≤x≤43时，z≥350。 又由限价32元，得25≤x≤32。

根据一次函数的性质，得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小， ∴当x=32时，每月制造成本最低。

最低成本是18×（﹣2×32+100）=648（万元）。 ∴所求每月最低制造成本为648万元。

【考点】二次函数和一次函数的应用。

【分析】（1）根据每月的利润z=（x﹣18）y，再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式。

（2）把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800，解这个方程即可，将z═﹣2x2+136x﹣1800配方，得

z=﹣2（x﹣34）2+512，即可求出当销售单价为多少元时，厂商每月能获得的最大利润。

（3）结合（2）及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350，再根据限价32

元，得出25≤x≤32，最后根据一次函数y=﹣2x+100中y随x的增大而减小，即可得出当x=32时，每月制造成本最低，求出最低成本。

20. （2018山东潍坊10分）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋钮位置从0度到90度(如图)，燃气关闭时，燃气灶旋钮的位置为0度，旋钮角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋钮角度为90度．为测试燃气灶旋钮在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择在燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水(当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90)，记录相关数据得到下表：

旋钮角度(度) 20 50 70 80 90 所用燃气量(升) 73 67 83 97 115 44

(1)请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律?说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式； (2)当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少?最少是多少?

(3)某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气用量． 【答案】解：（1）若设y=kx+b（k≠0），

1?73?20k?b ? 1?k??由?解得?5 。∴y= ?x+77。

5?67?50k?b?b?77? 把x=70代入得y=65≠83，∴一次函数不符合。 若设y?kk1460（k≠0），由73?解得k=1460。∴y? 。 x20x把x=50代入得y=29.2≠67，∴反比例函数不符合。 若设y=ax2＋bx＋c，

1?a??50?73?400a?20b?c ?8128??由 ?67?2500a?50b?c 解得?b??。∴y=x? x＋97（18≤x≤90）。

5550??83?4900a?70b?c??c?97??把x=80代入得y=97，把x=90代入得y=115，符合题意。 ∴二次函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律。 （2）由（1）得：y=

1281x? x＋97=（x－40）2+65，

55050∴当x=40时，y取得最小值65。

答：当旋钮角度为40°时，烧开一壶水所用燃气量最少，最少为65升。

（3）由（2）及表格知，采用最节省燃气的旋钮角度40度比把燃气开到最大时烧开一壶水节

45

（2）①当 25≤x≤30时，

W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x+60x﹣925=﹣（x﹣30）﹣25， ∴当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万。 ②当30＜x≤35时，

W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣

2

2

1212

x+35x﹣625=﹣（x﹣35）﹣12.5， 22∴当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万。 综合①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。 答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万。

（3）①当 25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣x+59x﹣782.5，

令W=67.5，则﹣x+59x﹣782.5=67.5，化简得：x﹣59x+850=0， 解得 x1=25；x2=34。

此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，25≤x≤30；

②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20﹣1）﹣12.5﹣10=﹣令W=67.5，则﹣

2

2

2

12

x+35.5x﹣547.5， 2122

x+35.5x﹣547.5=67.5，化简得：x﹣71x+1230=0， 2解得x1=30；x2=41。

此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30＜x≤35，

综上所述，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，此时销售单价的范围是

25≤x≤35。

【考点】一、二次函数的应用。

【分析】（1）因为25≤28≤30，所以把28代入y=40－x即可求出该产品的年销售量为多少万件。

（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入－生产成本－投资成本，得到w和

x的二次函数关系，再由x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损。

（3）由条件得到w和x在自变量x的不同取值范围的函数关系式，再分别令w=67.5，求出对应x

的值，结合y于x的关系中的x取值范围即可确定此时销售单价的范围。

12. （2018湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．

（1）求C1和C2的解析式；

31

（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣

135），连接OE、BC，在x轴上求一点3P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；

（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．

【答案】解：（1）∵抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），

∴设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）。

∵抛物线C1还经过D（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得a=。 ∴抛物线C1：y=（x﹣3）（x+3），即y=x﹣3（﹣3≤x≤3）。 ∵抛物线C2还经过A（0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣∴抛物线C2：y=﹣

1313132

1 9112（x﹣3）（x+3），即y=﹣x+1（﹣3≤x≤3）。 9913（2）∵直线BE：y=x﹣1必过（0，﹣1），∴∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）。

∵由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO， ∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。

若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况： ①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC， 由已知和勾股定理，得OB=3，BE=∴3：1313510，BC=10。 3510=BP1：10， 3966得：BP1=，OP1=OB﹣BP1=。∴P1（，0）

555②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE，即：

10：BP2=3：510502323，得：BP2=，OP2=BP2﹣OB=。∴P2（﹣，0）． 3999 32

623，0）、P2（﹣，0）。 591（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=x+b。

3综上所述，符合条件的P点有：P1（①当直线l与抛物线C1只有一个交点时：

1122

x+b=x﹣3，即：x﹣x﹣（3b+9）=0。 3337由△=（－1）2＋4（3b+9）=0。得b=?。

12135此时，x=，y=?。

212135∴该交点Q2（，。 ?）

2121过点Q2作Q2F⊥BE于点F，则由BE：y=x﹣1可用相似得Q2F的斜率为－3，

31351717设Q2F：y=－3x＋m。将Q2（， ?）代入，可得m=?。∴Q2F：y=－3x?。

2121212125125联立BE和Q2F，解得x=?，y=?。∴F（?，。 ?）

8248241510?11??3525?∴Q2到直线 BE：y=x﹣1的距离Q2F：?+????+??。

38?28??1224?②当直线l与抛物线C2只有一个交点时：x+b=﹣由△=32＋4（9b－9）=0。得b=。

2213122

x+1，即：x+3x+9b﹣9=0。 934333。∴该交点Q1（?，。 ）42427101同上方法可得Q1到直线 BE：y=x﹣1 的距离：。

40351027102510271010?=?=?<0， ∵84040402033∴符合条件的Q点为Q1（?，。 ）

24127101510271045????∴△EBQ的最大面积：Smax??BE?。

24023408此时，x=?，y=【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距离，平行线的性质。

【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。

32 33

（2）根据直线BE：y=x﹣1知，该直线必过（0，﹣1）点，那么∠EBO=∠CBO，若以点P、B、

C为顶点的△PBC与△BOE相似，那么夹这组对应角的对应边必成比例，先求出BC、BO、BE的长，然后分情况根据线段间的比例关系求出BP的长，进而得到OP的长，即可确定P点坐标。

（3）△EBQ中，BE长为定值，若以BE为底，当△EBQ的面积最大时，Q到直线BE的距离最

大；由于点Q可能在抛物线C1或C2上，因此两种情况都要解一下，最后通过比较得到能使△EBQ面积最大的Q点．首先作直线l∥BE，分别令直线l与抛物线C1、C2有且仅有一个交点，那么符合条件的Q点必在这两个交点中，先求出这两个交点分别到直线BE的距离，距离大者符合条件，由此可得到Q点坐标和△EBQ的面积最大值。

13. （2018江苏连云港12分）如图，甲、乙两人分别从A(1，3)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点． (1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行． (2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

13

【答案】解：(1)∵A坐标为(1，3)，∴OA＝2，∠AOB＝60°。

∵甲达到O点时间为t＝

163，乙达到O点的时间为t＝=， 24213∴甲先到达O点，所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角形。

221①当t＜时，OM＝2－4t，ON＝6－4t，

2假设MN∥AB。则△OMN∽△OAB。 ∴

2?4t6?4t，解得t＝0。即在甲到达O点前，只有当t＝0时，△OMN∽△OAB。 =26∴MN与AB不可能平行。

34

②当

13＜t＜时， 22如图，∵∠PMN＞∠PON＞∠PAB ∴MN与AB不平行。

综上所述，在甲、乙两人到达O点前， MN与AB不可能平行。 (2) 由（1）知，当t≤

当t＞

3时，△OMN不相似△OBA。 23时，OM＝4t －2，ON＝4t －6， 24t?24t?63由解得t＝2＞， =262∴当t＝2时，△OMN∽△OBA。 (3)①当t≤

1时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H， 23＝3(1－2t)， 2在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°， ∴MH＝OMsin60°＝(2－4t)×OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t， ∴NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t。

∴s＝[3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。

1213＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H， 223在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝3(2t－1)，

21NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，

2②当

∴s＝[3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。 ③当t＞

3时，同理可得s＝16t2－32t＋28。 2综上所述，s＝16t2－32t＋28。 ∵s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12， ∴当t＝1时，s有最小值为12，

∴甲、乙两人距离最小值为12=23（km）。

【考点】反证法，坐标与图形性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值。

35

【分析】(1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明。

(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。

(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解答问题。

?三等分，14. （2018四川凉山8分）如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把OA连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）． （1） 求证：△POD≌△ABO；

（2） 若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式

【答案】（1）证明：连接PB，

?三等分， ∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把OA∴∠APB=∠DPO=

1×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°。 3∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形。 ∴AB=PA，∠BAO=60°， ∴AB=OP，∠BAO=∠OPD。 在△POD和△ABO中，

∵∠OPD=∠BAO， OP=BA ，∠POD=∠ABO ， ∴△POD≌△ABO（ASA）。

（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB。

∵∠AOB=

11∠APB=×60°=30°，∴∠PDO=30°。 22∴OP=OD?tan30°=3×

3=3。∴点P的坐标为：（－3，0）。 3∵点P，D在直线y=kx+b上，

36

∴?b?3???k?3?? ? ，解得：? 。

????3 k?b?0?b?3∴直线l的解析式为：y=3x+3。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，锐角三角函数定义，直线上点的坐标与方程的关系。

?三等分，可求得【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把OA∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等边三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO。

（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD?tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可

求得直线l的解析式。

15. （2018四川巴中10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1?k1x?1的图象与y轴交于点A， 与x轴交于点B，与反比例函数y2?标为2，

（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直接写出y1?y2时x的取值范围。

k2的图象分别交于点M，N，已知△AOB的面积为1，点M的纵坐 x

【答案】解：（1）∵一次函数y1?k1x?1的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，

∴A（0，1），B（?1 ，0）。 k1∵△AOB的面积为1，∴

1111×OB×OA=1，即???1=1。∴k1??。

2k122∴一次函数的解析式为y1= ?x+1。

12 37

∵点M在直线y1上，∴当y=2时，?x+1=2，解得x=－2。∴M的坐标为（－2，2） 又∵点M在反比例函数的图象上，∴k2=－2×2=－4， ∴反比例函数的解析式为y2?? 。 （2）当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜4。

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）先由一次函数的解析式求出点A与点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，可得到k1的值， 从而求出一次函数的解析式；得到点M的坐标，然后运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式。

（2）y1＞y2即一次函数值大于反比例函数值，只需观察一次函数的图象落在反比例函数的图象的 上方时自变量的取值范围即可，为此，先求出它们的交点坐标，再根据函数图象，可知在在点M的左边以及原点和点N之间的区间，y1＞y2：

124x1? y?? x?1 ?x?4? x??2? ? ? ?2解方程组?得?或? ，

y??14 y?2???y?? ?x?∴当y1＞y2时，x＜－2或0＜x＜4。

16. （2018四川资阳9分）抛物线y=x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B

（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；

来&源#%:^中教网14（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB； （3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝

100，求点M的坐标． 9【答案】解：（1）∵y=x2+x+m=141?x+2?2+?m?1?，∴顶点坐标为(－2 , m?1)。 4@]

∵顶点在直线y=x+3上，∴－2+3=m?1，解得m=2。 （2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，

∴点N的纵坐标为a2+a+2，即点N(a,a2+a+2)。

1414 38

过点F作FC⊥NB于点C，

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=a2+a,

22∴NF2?NC2?FC2? （ a2?a）?（a?2）141412?（a2?a）?（a2?4a）?4。 422而NB2?（a2?a?2）?（a2?a）?（a2?4a）?4，

1414∴NF2=NB2，NF=NB。 （3）连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF， 由（2）的结论知，MF=MA， ∴∠MAF=∠MFA。 ∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，

∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°。∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。 又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA 。

，

国%&教育出版网又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。 ∴

PFPB100，∴PF2= PA×PB＝。 ?PAPF9过点F作FG⊥x轴于点G。 在Rt△PFG中，PG?PF2?FG2?∴P(－

100814?22?，∴PO=PG+GO=。 93314 , 0) 。 314 , 0)代入y=kx+b得 3设直线PF：y=kx+b，把点F（－2 , 2）、点P(－

?3k=?2=?2k+b???4，解得?。 14?0=?k+b7??b=3???2∴直线PF：y=x+。

解方程x2+x+2=x+，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）。

3472143472 39

当x=－3时，y=，∴M（－3 ,

545）。 4【考点】二次函数综合题，二次函的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可。

（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，从而得出

NF2=NB2，即可得出答案。

（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连

接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?PB的值转化为PF的值，从而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解。

17. （2018山东菏泽10分）牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：

销售单价x（元/件） … 20 30 40 50 60 … 每天销售量y（件） … 500 400 300 200 100 … （1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价﹣成本总价）

（3）菏泽市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？

【答案】解：（1）画图如下：

40

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