泛函分析基础
第四章赋范空间中的基本定理
1. 设p是赋范空间X上的次线性泛函，满足p(0)?0，且在0处连续。
求证：p是连续映射。
证明：由p在0处连续，且满足p(0)?0可得：
???0,???0使得满足||x||?||x?0||??的x都有||p(x)?p(0)||?||p(x)||??。
从而?h满足||h||??则||p(h)||??
任取x?0,x?X令z?x?h?X，且满足||z?x||?||h||??，由p是x的次线性泛函可以得到：
?p(?h)?p(x?h)?p(x)?p(x)?p(h)?p(x)?p(h)
即||p(x?h)?p(h)||?max{||p(?h)||,||p(h)||}注意到||h||??,||?h||?? 从而||p(h)||??,||p(?h)||??即得到||p(x?h)?p(x)||??
即p在x处连续，由x的任意性可知，p处处连续，为连续映射。 2. 设X为线性空间，p:X??使得任取x,y?X,???，有
p(x?y)?p(x)?p(y),p(?x)?|?|p(x)
求证：p是X上的半范数
证明：取?=0??，则由条件p(?x)?|?|p(x)得到p(0)?0。由X是线性空间，其中存在零元和负元。任取x,?x?X,x?0则有：
0?p(0)?p(x?x)?p(x)?p(?x)?p(x)?p(x)?2p(x)即p(x)?0
从而得证半范数的三个条件。即p是X上的半范数。 3. 设a1,a2??固定，考虑?3的线性子空间
Z?{(x1,x2,x3)??3:x3?0}
及Z上的线性泛函f(x1,x2,x3)?a1x1?a2x2。求出所有f到?3上的线性延拓
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及其相应的线性泛函的范数。
解：由线性我们自然想到，对于x3应该为线性的。
由Hahn-banach定理可知：?g?(?3)*,g|Z?f。并且对于形如
g(x1,x2,x3)?a1x1?a2x2?a3x3a3??(a1,a2,a3)??3 的线性泛函满足题目的要求。其范数为：
||g||?|a1|2?|a2|2?|a3|2 4. 设X为赋范空间，M为X的线性子空间，x0?X。求证：x0?M当且仅当
?f?X?,f|M?0,都有f(x0)?0 证明：
?：
x0?M??xn?M使得xn?x0，由于xn?Mf|M?0故 ?n?1,f(xn)?0。
f?X??f为连续映射?xn?x0则f(xn)?f(x0)从而f(x0)?0
?：
假设对于?f?X?，f|M?0都有f(x0)?0的情况下x0?M则x0?(M)c 注意到：M是X的闭线性子空间，M是X的真子集。令
?=?(x0,M)?infy?M||x0?y||?0则由定理|f|?||fM1?,f|04.1.7：?f?X?使得
??0,，又条件?(x?)f?X?都有0f(x0)?0矛盾！
从而假设不成立，x0?M
5. 设X为可分赋范空间，求证：存在X?单位球面的可数子集N，使得任取
x?X，有||x||?sup|f(x)|。
证明：X为可分赋范空间?X存在至多可数的稠密子集。令稠密子集为
A?{x1,x2,x3......} 设
X?{x1,x2,x3......}=A则
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?xn?A，
?fn,m?X?,||fn,m||?1泛函分析基础
supm?1|fn,m(xn)|?||xn||。
6. 设X为赋范空间，f?X*求证：f?X??N(f)为X的闭线性子空间
证明：?：
f?X??f是X上的有界线性算子，且X为赋范空间
根据推论2.4.1，N(f)是X的闭线性子空间。
?：N(f)是X的闭线性子空间。若||f||?0，则f?X?显然。
若||f||?0对于f:X??，{0}??并且是?的闭集，N(f)是X的闭线性子空间，即N(f)也为闭集。从而由定理1.2.6得：f是连续映射。 再根据定理2.4.4：X,?为赋范空间，f?X*即f:X??为线性的故有
f是连续映射?f是X上的有界线性算子。从而得证f?X?
7. 设X为赋范空间，M为X?的非空子集。求证：若span(M)?X?则
f?M?N(f)?{0}。
证明：事实上由Hahn-Banach定理4.1.4可知：?f?X?有f(x)?0则x?0?x?span(M),?xn?span(M),xn?xX??span(M)???????f?span(M)有f(x)?0则x?0????????????f?M有f(x)?0则x?0?f?M?N(f)?{0}。
{，即?x0?0,x0??N(f)。即
f?M另证：假设
f?M?N(f?)?f?span(M),f(x0)?0，x0?0。另一方面，由于span(M)?X?，则?f?X?,?fn?span(M)fn?f(n??)。从而对?x?X,fn(x)?f(x)。注意到
：
fn(xn)?0所以
0=fn(x0)?f(x0)?0(n??)即
Hahn?Banach4.1.4?f?X?,f(x0)?0???????x0?0这与假设矛盾！结论得证。
8. 设X为赋范空间，M为X的线性子空间。x?X，求证：
?(x,M)?sup{|f(x)|:f?X?,||f||?1,f|M?0}
证明：M为X的线性子空间?M为线性空间?0?M，span(M)?M
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?x0?X\\M?x0?0。令Z?span(M?{x0})定义g?Z?g(z)?g(y??x0)?|?|?其中y?M,???，?=?(x0,M)?infy?M||x0?y|| 显然有?y?M,?x?X,?(x,M)?g(x)
(g)y?0M?g，??x0?X\\M,g(x0)??。即
?z?Z,|g(z)|?|?|??|?|infy?M||x0?y||??infy?M||x0?y/?||?infy?M||y??x0||?y??x0?||z||
从而||g||?1。由Hahn-Banach定理：?f?X?,f|Z?g,||f||?||g||?1f|M?g?0
?(x,M)?{|f(x)|:f?X?,||f||?1,f|M?0}
9. 考虑c0的线性子空间M?{{xn}?c0:?无最佳逼近元。
10. 设X为赋范空间，M为X的线性子空间，令?M?{f?X?:f|M?0}。若
xn?0}。求证：任取x?Mx在M中nn?12?M1,M2为X的闭线性子空间，且M1?M2。求证：?M1??M2。
11. 设赋范空间X中包含n个线性无关的元素，求证：X?也包含至少n个线性无
关的元素。
12. 设M为赋范空间X的非空子集，求证：M在X中为完全集?在M上恒为
0的f?X?在X上也恒为0.
13. 设X,Y为赋范空间，T?B(X,Y),T*?B(Y?,X?)为其共轭算子。求证：
?R(T)?N(T*)。
14. 设(X,d)为度量空间。求证：M?X为无处稠密子集当且仅当(M)c为X的
稠密子集。
15. 证明：非空完备度量空间的第一范畴子集的余集必为第二范畴子集。 16. 设xn为赋范空间X中的一列元，任给f?X?，f(xn)都是纯量有界列。求证：
{xn}为有界列。
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17. 设X为Banach空间，Y为赋范空间，Tn?B(X,Y)为一列有界线性算子，设
任取x?X，{Tnx}都是中的柯西列，求证：存在常数C?0，使得任取n?1，
||Tn||?C。
18. 在上题中又设Y为Banach空间，求证：存在T?B(X,Y)，使得任取x?X，
Tnx?Tx，且||T||?supn?1||Tn||。
19. 设X为Banach空间，Y为赋范空间，Tn?B(X,Y)为一列有界线性算子。证
明下述命题相互等价： 存在C?0 ,||Tn||?C ;
任取x?X，{Tnx}为Y中的有界列； 任取x?X,f?Y?,{f(Tnx)}为纯量有界列。
20. 设X为赋范空间，x,xn?X，xn弱收敛到x。求证：x?span{xn:n?1}。 21. 设X为赋范空间，x,xn?X，xn弱收敛到x。求证：?yn为x1,x2,x3,......的线
性组合，使得yn?x。
22. 设xn,x?C?0,1?，xn弱收敛到x。求证：{xn}点点收敛到x。即任取t?[0,1]，
有xn(t)?x(t)
23. 设X,Y为赋范空间。T?B(X,Y)，x,xn?X，xn弱收敛到x。求证：Txn弱
收敛到Tx。
24. 设X为赋范空间，x,y,xn,yn?X，?n,???，假设xn弱收敛到x，yn弱收
敛到y，?n??。求证：xn?yn弱收敛到x?y，?nxn弱收敛到?x。 25. 设X为可分Banach空间，M?X?为有界集。证明：M中任意序列均有子
列弱星收敛到X?中某元。
26. 设X,Y为赋范空间，T:X?Y为闭线性算子，求证：
N(T)为X的闭线性子空间；
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若T为一一映射，则T?1:Y?X也为闭线性算子。
T将X的紧集映射到Y的闭集。 Y中的紧集通过T的逆象为X的闭集。
27. 设H为Hilbert空间，A:H?H为线性算子，满足
Ax,y?x,Ay，x,y?H
求证：A?B(H)
28. 设X为Banach空间，X1,X2为X的闭线性子空间。假设任取x?X，存在
唯一的x1?X1,x2?X2，使得x?x1?x2。求证：存在a?0，使得
||x1||?a||x1?x2||，||x2||?a||x1?x2||，x1?X1，x2?X2
29. 设X,Y为赋范空间，T:X?Y为线性算子。求证：T为闭算子当且仅当任
取xn?X，xn?0,Txn?y，都有y?0。
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