药本习题3-13章大学物理(医药类)习题及答案

第十章 光的波动性

习题解答

1. 将杨氏双缝实验的全套装置，一切相对位置不变地放在充有折射率为n的介质中，对干涉条纹有无影响？ 解：在杨氏双缝干涉中，有?x?D?x?D?b若放置在水中波长变为

? 于是条纹间距变为 n?nb即干涉条纹有变化，由于n一般大于1，故对实验产生影响为条纹变密。

2．在杨氏双缝实验中，如其中的一条缝用一块透明玻璃遮住，对实验结果有无影响？

答：使用玻璃遮住一条缝使得通过该缝的光线光程变化，从而使得干涉条纹的位置发生变化。另一方面由于D 到达光屏的光的波长以及缝宽不变所以条纹间距不变。

3．波长为690nm的光波垂直投射到一双缝上，距双缝1.0m处置一屏幕。如果屏幕上

21个明条纹之间共宽2.3?10-2m，试求两缝间的距离。

2.3?10?2解：已知??690nm D=1.0m，相邻两条纹的间距为 ?x? 求缝宽b

206.9?10?7?4?1.0?6?10m ?x?D 所以 b?D?22.3?10b?x20??

4. 在杨氏双缝实验装置中，若光源与两个缝的距离不等，对实验结果有无影响？ 答：有影响，会出现中央亮条纹不在中间位置，条纹不对称，而会偏离一定的角度，因为在到达双缝前，光程差已经存在。但由于相位关系固定，仍然可以观察到干涉。

5. 一平面单色光波垂直投射在厚度均匀的薄油膜上，这油膜覆盖在玻璃板上，所用光

=1.50，求油

源的波长可以连续变化，在500nm和700nm这两个波长处观察到反射光束中的完全相消干涉，而在这两个波长之间没有其它的波长发生相消干涉。已知n油=1.30、n膜的厚度。

解：欲符合干涉相消则：

k1?1 （1） 2k?2?2?2en2?n12sin2i?22 （2）

22?1?2en2?n12sin2i?玻璃

联立（1）（2）：

46

k2?2k1?1k?? 欲使e最小 则需k1、k2 以及11最小。即取?1、?2的最小公倍数。 222?9175?010?7 ?2??1?1750nm。代入（1）或（2）即可得 e???6.73?102n22?1.30?1

6. 用白光垂直照射在折射率为1.58，厚度为3.8?10-4mm的薄膜表面上，薄膜两侧均为空气。问在可见光范围内，哪一波长的光在反射光中将增强？

??2?n12sin2i??2n2e? 当??k?时得到明条纹： 解：光程差：??2en222k?1时 ??2400nm

k?2时 ??800nm k?3时 ??480nm

即只有??480nm在可见光范围内。

7. 为了利用干涉来降低玻璃表面的反射，透镜表面通常覆盖着一层n =1.38的氟化镁薄膜。若使氦氖激光器发出的波长为632.8nm的激光毫无反射地透过，这覆盖层至少须有多厚？

632.8?10?9??1.146?10?7m 解：全透的条件为：2ne? 所以e?24n4?1.38??

8．单缝宽度若小于入射光的波长时，能否得到衍射条纹？ 解：能够得到 ，但光强相对较弱。

9．有一单缝宽度a = 2.0?10-4m，如垂直投射光为 ?=500nm的绿光，试确定? =1?时，

在屏幕上所得条纹是明还是暗？

解：由衍射公式：asin??k? 代入数据 得 k?asin??2.?0?41?0?75?10??sin1?6.9?8 7为奇数所以得到的是暗条纹。

10．?=589.3nm的钠黄光垂直照射一狭缝，在距离80cm的光屏上所呈现的中央亮带的

x D47

宽度为2.0?10-3m，求狭缝的宽度。

??? 有图可知：sin??解：由衍射公式 asin

D?589.3?10?9?0.8?4??4.71?10所以 a?m ?32.0?10x2

11．在双缝干涉实验中，若两条缝宽相等，单条缝（即把另一条缝遮住）的衍射条纹光答：光强分布按衍射图案分布，且明暗条纹位置有的与干涉位置相同有的不同。双缝

强分布如何？双缝同时打开时条纹光强分布又如何？

打开后，按干涉团分布，但由于两条缝的衍射，从而出现缺级现象。

12．衍射光栅所产生的?=486.1nm谱线的第四级光谱与某光谱线的第三级光谱相重合，

求该谱线的波长。

解：由光栅公式 asin??k? 知：k1?1?k2?2 代入数据得

k1?14?486.1?10?9?2???648.1nm

k23

13．有两条平行狭缝，中心相距6.0?10-4m，每条狭缝宽为2.0?10-4m。如以单色光垂

直入射，问由双缝干涉所产生的哪些级明条纹因单缝衍射而消失？

解：由于 dsin??k'? 时产生干涉明条纹。

??k?时 产生衍射暗条纹。 asindk'k'6.0?10?4?3 所以 ? 代入数据：??4akk2.0?10所以合乎条件的3、6、9等级的明条纹消失。

14．用单色光照射光栅，为了得到较多级条纹，应采用垂直入射还是倾斜入射？ 答：光栅零级极大的位置处于等光程位置，当光线倾斜入射时零级位置偏向一方，从而

在另一方得到更多级数的条纹。注意：虽然可以得到更多级数的干涉条纹，但由于零级位置的改变，总条纹数目并不增加。

15．在X射线的衍射实验中，射线以30?的掠射角射在晶格常数为2.52?10-10m的晶体解： 由：2dsin??3? 代入数据：

2dsin?2?2.52?10?10sin30?????8.4?10?11m

33上，出现第三级反射极大，试求X射线的波长？

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16．自然光通过两个相交60? 的偏振片，求透射光与入射光的强度之比。

设每个偏振片因吸收使光的强度减少10%。

解：设透射光强为I2 入射光强为I1 则：

I2?1I1cos260??2 2所以

I21132?cos260?(1??)2?()?(1?10%)?0.101 I12217．三个偏振片叠置起来，第一与第三片偏振化方向正交，第二片偏振化方向与其它两

片的夹角都是45?，以自然光投射其上，如不考虑吸收，求最后透出的光强与入射光强的百分比。

18．一束线偏振光垂直入射到一块光轴平行于表面的双折射晶片上，光的振动面与晶片主截面的夹角为30?角。试求：透射出的“寻常光”与“非常光”的强度之比。

解：在双折射晶体中，o光光强为：Io?Icos2(90??30?) e光光强：Ie?Icos230?

解：由马吕斯定律得：

I2111?cos245?cos245??()3? I12281IIcos(90?30)41 所以o???

33IeIcos230?42?? 19．线偏振光通过方解石能否产生双折射现象？为什么？

答：能够产生双折射现象，线偏振光在双折射晶体中各个角度的折射率也不尽相同。

当其正振动面与主截面有一定夹角时。仍然存在o光和e光。

21．石英晶片对不同波长光的旋光率是不同的，如波长为546.1nm单色光的旋光率为25.7?/mm；而波长为589.0nm单色光的旋光率为21.7?/mm。如使前一光线完全消除，后一种光线部分通过，则在两正交的偏振片间放置的石英晶片的厚度是多少？

解：在题设条件下，欲使d最小则：

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20．有一束光，只知道它可能是线偏振光、圆偏振光或椭圆偏振光，问应如何去鉴别？ 答：用检偏振器，如果旋转检偏器，存在消光现象的为线偏振光。有光强变化但没有消

光现象的为椭圆偏振光。没有光强变化的为圆偏振光。

?1d?180? 所以d?180?/?1?180?/25.7??7.004mm

此时?2d?21.7??7.004?151.99? 光部分通过符合题意。 所以石英的最小厚度为7.004mm

22．某蔗糖溶液在20?C时对钠光的旋光率是66.4?cm3/g?dm。现将其装满在长为0.20m的玻璃管中，用糖量计测得旋光角为8.3?，求溶液的浓度。

旋光度公式为：???cl 代入??8.3?、??66.4cm3/g?dm、l?2dm得： 溶液浓度 c?

23．将光轴垂直于表面的石英片放在两偏振片之间，通过偏振片观察白色光源，问旋转答：如果石英片的光轴放置位置与入射光平行或垂直则仅出现消光现象。其他位置则出现色偏振。

24．光线通过一定厚度的溶液，测得透射光强度I1与入射光强度I0之比是1/2。若溶液的浓度改变而厚度不变，测得透射光强度I2与入射光强度I0之比是1/8。问溶液的浓度是如何改变的？

解：光的吸收定律

1I11?e??c1l? 取自然对数得ln???c1l（1）

2I021I21?e??c2l? ln???c2l （2）

8I08??l?8.3?0.0625h?cm?3

66.4?2其中的检偏器时将看到什么现象？

浓度改变后 联立（1）（2）得：

1c 2?8?3 所以溶液的浓度变为原来的三倍

c1ln12ln

25．光线通过厚度为l，浓度为c的某种溶液，其透射光强度I与入射光强度I0之比是解：浓度改变之前：有光吸收定律：

I1I?e??cl 两侧取自然对数得ln1???cl（1） I0I01/3。如使溶液的浓度和厚度各增加一倍，这个比值将是多少？

同理浓度改变为2c，厚度变为2l时

50

第三章 流体的运动

习题解答

1．应用连续性方程的条件是什么？ 答：不可压缩的流体作定常流动。

2．在推导伯努利方程的过程中，用过哪些条件？伯努利方程的物理意义是什么？ 答：在推导伯努利方程的过程中，用过条件是不可压缩、无内摩擦力的流体（即理想流体）作定常流动。方程的物理意义是理想流体作定常流动时，同一流管的不同截面处，单位体积流体的动能、势能与该处压强之和都是相等的。

3．两条木船朝同一方向并进时，会彼此靠拢甚至导致船体相撞。试解释产生这一现象的原因。

答：因为当两条木船朝同一方向并进时，两船之间水的流速增加，根据伯努利方程可知，它们间的压强会减小，每一条船受到外侧水的压力大，因此两船会彼此靠拢甚至导致船体相撞。

4．冷却器由19根Φ20×2mm（即管的外直径为20mm，壁厚为2mm）的列管组成，冷却水由Φ54×2mm的导管流入列管中，已知导管中水的流速为1.4m/s，求列管中水流的速度。

解：已知Φ120×2mm，d1=20－2×2=16mm，n1=19，Φ254×2mm，d2=54－2×2=50mm，v2=1.4m/s，根据连续性方程知：

S0v0= S1v1+S2v2 +??+Snvn，则

12?dv2S2v2422d2v2502?1.4v1?????0.72 m/s

12n1d12n1S119?162n1?d14

5．水管上端的截面积为4.0×10－4m2，水的流速为5.0 m/s，水管下端比上端低10m，下端的截面积为8.0×10－4m2。(a)求水在下端的流速；(b)如果水在上端的压强为1.5×105Pa，求下端的压强。

解：(a)已知S1=4.0×10－4m2，v1=5.0 m/s，h1=10m，S2=8.0×10－4m2，p1=1.5×105Pa ，根据连续性方程：S1v1=S2v2 知：

S1v14.0?10?4?5.0v2???2.5( m/s）

S28.0?10?4

1

(b) 根据伯努利方程知：

103 kg/m3

p2?112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，h2=0，?水=1.0×22112?v12??gh1?p1??v2??gh22211??1.0?103?52?1.0?103?10?10?1.5?105??1.0?103?2.526．水22?2.6?105(Pa)平的自来水管粗处的直径是细处的两倍。如果水在粗处的流速和压强分别是1.00 m/s

和1.96×105Pa，那么水在细处的流速和压强各是多少？

解：(a)已知d1=2 d2，v1=1.00m/s，p1=1.96×105Pa，根据连续性方程知：S1v1=S2v2

12?dvS1v1411d12v1(2d2)2v2???2??1.00?4.00(m/s) 212S2d2d2?d24112?p2 (b) 根据伯努利方程知（水平管）：?v12?p1??v22211112p2??v12?p1??v2??103?1.002?1.96?105??103?4.002?1.885?105(Pa)

2222

7．利用压缩空气，把水从一密封的筒内通过一根管以1.2 m/s的流速压出。当管的出口处高于筒内液面0.60m时，问筒内空气的压强比大气压高多少？

解：已知v1=1.2m/s，h1=0.60m，p1=p0，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2 22 由于S1<< S2，则v2=0，因此

11p2?p0??v12??gh1??103?1.22?103?9.8?0.6?6.6?103 (Pa)

22

8．汾丘里流速计主管的直径为0.25m，细颈处的直径为0.10m，如果水在主管的压强为5.5×104Pa，在细颈处的压强为4.1×104Pa，求水的流量是多少？

解：已知d1=0.25m，d2=0.10m，p1=5.5×104Pa，p2=4.1×104Pa，根据汾丘里流速计公式知：

2

Q?S1S22(p1?p2)1222(p1?p2)??d1d2?(S12?S22)4?(d14?d24)12?(5.5?4.1)?104 22??3.14?0.25?0.1?4103?(0.254?0.14)?4.2?10?2(m3/s)

9．一水平管道内直径从200mm均匀地缩小到100mm，现于管道中通以甲烷（密度ρ=0.645 kg/m3），并在管道的1、2两处分别装上压强计（如图3-1），压强计的工作液体是水。设1处U形管压强计中水面高度差h1=40mm，2处压强计中水面高度差h2=-98mm（负号表示开管液面低于闭管液面），求甲烷的体积流量Q。

解：已知d1=200mm=0.200m，d2=100mm=0.100m，?=0.645kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，h1=40mm=0.040m，h2=-98mm=-0.098m，根据汾丘里流速计公式知：

Q?S1S22(p1-p2)1222?'g(h1?h2)??d1d222?(S1?S2)4?(d14?d24)12?1.0?103?9.8?(0.040?0.098) 22??3.14?0.2?0.1?40.645?(0.24?0.14)?0.525(m3?s )

10．将皮托管插入河水中测量水速，测得其两管中水柱上升的高度各为0.5cm和5.4cm，求水速。

解：已知h1=5.4cm=0.054m，h2=0.5cm=0.005m，根据比托管流速计公式知：

v?2g(h1?h2)?2?9.8?(0.054?0.005)?0.98(m/s)

11．如果图3-2所示的装置是一采气管，采集CO2气体，如果压强计的水柱差是2.0cm，采气管的横截面积为10cm2。求5分钟所采集的CO2的量是多少m3？已知CO2的密度为2kg/m3。

解：已知h=2.0cm=0.02m，S=10cm2，t=5min，?=2kg/m3，?'=1.0×03kg/m3，根据比托管流速计公式知：

v?2?'gh??2?1.0?103?9.8?0.02?14(m/s)

2所以5min采集的CO2为：

V?Svt?10?10?4?14?5?60?4.2(m3)?4.2?103 (L)

3

12．水桶底部有一小孔，桶中水深h=0.3m。试求在下列情况下，从小孔流出的水相对于桶的速度：(a)桶是静止的；(b)桶匀速上升。

解：(a)已知h1=0.30m，p1?p2?p0，S1>> S2，桶是静止时，根据伯努利方程知：

112?v12??gh1?p1??v2??gh2?p2，由于S1>> S2，则v1=0，因此 22v2?2gh1?2?9.8?0.3?2.42 (m/s)

(b)桶匀速上升时，v2=2.42 (m/s)

13．注射器的活塞截面积S1=1.2cm2，而注射器针孔的截面积S2=0.25mm2。当注射器水平放置时，用f=4.9N的力压迫活塞，使之移动l=4cm，问水从注射器中流出需要多少时间？

解：已知S1=1.2cm2，S2=0.25mm2，f=4.9N，l=4cm ，作用在活塞上的附加压强：

?p?f4.94(pa)，根据水平管的伯努利方程知： ??4.08?10?4S11.2?10112?v12?p1??v2?p2 22 由于p1?p0??p，p2?p0，S1>> S2，则v1≈0，因此

v2?2?p1?p2)??2?p2?4.08?104??9 (m/s) 3?1?10根据连续性方程知：S1v1=S2v2

S2v20.25?10?6?9v1???0.0188(m/s)

S11.2?10?4t?

14．用一截面为5.0cm2的虹吸管把截面积大的容器中的水吸出。虹吸管最高点在容器的水面上1.20m处，出水口在此水面下0.60m处。求在定常流动条件下，管内最高点的压强和虹吸管的流量。

解：(a)已知SD=5.0cm2=5.0×10－4m2，hB=1.20m，hD=－0.60m，SA>> SD，如图3-10所示，选取容器内液面A为高度参考点，对于A、D两处，pA?pD?p0=1.013×105 Pa，应

1122??ghA??vD??ghD 用伯努利方程，则有：?vA22l0.04??2.13(s) v10.0188vD?2g(hA?hD)?2ghAD?2?9.8?0.6?3.43 (m/s)

4

B、D两处（均匀管）应用伯努利方程得： ?ghB?pB??ghD?pD

pB?pD??g(hD?hB)?1.013?105?103?9.8?(?0.60?1.20)?0.84?105(pa) (b)Q=SDvD= 5.0×10－4×3.43=1.72×10－3 (m3/s)

15．匀速地将水注入一容器中，注入的流量为Q=150 cm3/s，容器的底部有面积S=0.50cm2的小孔，使水不断流出。求达到稳定状态时，容器中水的高度。

解：已知Q=150 cm3/s=1.5×10－4m3/s，S2=0.5cm2=5.0×10－5m2，因为以一定流量为Q匀速地将水注入一容器中，开始水位较低，流出量较少，水位不断上升，流出量也不断增加，当流入量等于流出量时，水位就达到稳定，则：

v2?2gh和Q2?S22gh

2Q2(1.50?10?4)2h?2??0.45(m) ?52S2?2g(5.0?10)?2?10

16．如图3-3所示，两个很大的开口容器B和F，盛有相同的液体。由容器B底部接一水平管子BCD，水平管的较细部分C处连接到一竖直的E管，并使E管下端插入容器F的液体内。假设液流是理想流体作定常流动。如果管的C处的横截面积是D处的一半。并设管的D处比容器B内的液面低h，问E管中液体上升的高度H是多少？

解：已知截面积SC?S1SD，由连续性方程得vC?DvD?2vD，考虑到A槽中的液面2SC流速相对于出口处的流速很小，由伯努利方程求得

vD?2gh

对C、D两点列伯努利方程：

pC?1122?vC?pD??vD 22因为，pD?p0(大气压），所以，pC?p0?3?gh，即C处的压强小于p0，又因为F槽液面的压强也为p0，故E管中液柱上升的高度H应满足：

pC??gH?p0

解得 H?3h

17．使体积为25cm3的水，在均匀的水平管中从压强为1.3×105Pa的截面移到压强为1.1×105Pa的截面时，克服摩擦力做功是多少？

5

第九章 电 磁 感 应

习题解答

1．线圈在长直载流导线产生的磁场中运动，在下列图示的哪些情况下，线 圈内将产生感应电流？并请标出其方向。

(a)线圈在磁场中平动（如图9-1）

(b)线圈在磁场中绕oo′轴转动（如图9-2）

0cm2．长2的铜棒水平放置（如图9-3），绕通过其中点的竖直轴旋转，转速为每秒5圈。

竖直方向上有一均匀磁场，磁感应强度为1.0?10?2T。求棒的一端A和中点间的感应电势差及棒的两端A、B间的感应电势差。

解：已知L=20cm，转速n=5, B?1.0?10?2T 求?AO和?ABd??2?nxBdx (0?x?0.1L) 2所以：?AO?0.12?220.1?32?nxBdx??nxB?3.14?5?10?x|?1.57?10(V) 0?0而?AB?

?0.1?2?nxBdx??nxB?3.14?5?102?2?x2|0.1?0.1?0(V)

3．如图9-4所示，铜盘半径R?50cm，在方向为垂直盘面的均匀磁场中，沿逆时针方向绕盘中心转动，转速为n?100? rads。设磁感应强度B?1.0?10?2T。求铜盘中心和边缘之间的感应电势差。

解： 半径方向上长度元产生的电势差为d??B?2?n?dx 故??2?nB?xdx?0.393

00.3

4．一长直导线AB，通有电流I?5A，导线右侧有一矩形线圈cdef（如图9-5）。图中

a?6cm，b?15cm，l?20cm。线圈共有N?1000匝，以速度v?3ms向右运动（速度方

向与导线AB垂直）。求：(a)当线圈运动到如图所示位置时的感应电动势；(b)若线圈在如图所示的位置不动，导线AB中通以交流电I?5sin100?t A时，线圈中的感应电动势。

?I直流电在长直导线中形成的磁场B?0 r为离导线的距离

2?r????解：(a)导线cd与导线ef不切割 即v?B与dl夹角为90度，故产生的电动势为零，对于cf有：

41

?0I?I ?a?0lv 2?a2?a对于de段 有：

?I?IB?0 ?a??0lv

2?b2?b所以总电势

B??0I114??10?7?5?0.2?311?1?N?a?N?b?Nlv(?)?1000?(?)?6?10?3V(b)由(a)

2?ab2?0.060.15知 B??0I5?0sin100?t? r仍为离导线的距离 2?r2?rb由此可得单线框的磁通量????0I5?lsin100?tbldr??0ln 2?r2?aa5?lbdd?b??N0ln(sin100?t)??250N?0llncos100?t dt2?adta0.15cos100?t??5.75?10?2(V) 代入数值得 ?2??250?1000?4??10?7?0.2ln0.6

?2??N5．设某线圈的自感系数L?0.5H，具有电阻R?5?，在下列情况下，求线圈两端的电压。

dI?0； dtdI(b)I?1A,?2As；

dtdI(c)I?0,?0；

dtdI(d)I?0,?2As；

dtdI（e）I?1A,??2As。

dtdI解：Uab?IR?L

dt(a)I?1A,

(a)Uab?5V (b)Uab?6V (c) Uab?0 (d)Uab?1V （e）Uab?4V

42

6．螺线管长为15cm，共绕120匝，截面积为20cm2，内无铁芯。当电流在0.1s内自5A减少为零，求螺线管两端的自感电动势。

解：对于空心螺线管，L??0n2V 其中n?所以 L?4??10?7?(N V为螺线管体积 l120244)?20?10??0.15?2.41?10?H 0.15dI0?5?1.205?10?2V 相应的感应电动势：???L??2.41?10?4?dt0.1?0

7．一线圈的自感系数为5?10?2H，接上电源后，通过电流I?15sin100?t A。问线圈中感应电动势的最大值是多少？

dI15?100?cos100?t 解：?L??L??L?dt则?Lm?L?15?100??236V

8．如图9-6所示，线圈自感系数L?3.0H，电阻R?6.0?，电源电动势E?12V，线圈电阻和电源内阻均略去不计。求(a)电路刚接通时，电流增长率和自感电动势EL；(b)当电流I?1.0A时的电流增长率和A、B两端的电势差；(c)电路接通后经0.20s时电流的瞬时值；(d)当电流达到恒定值时，线圈中储有的磁场能量。

解：在RL回路中，有IR??(1?e所以

R?tL)

dI??IR? dtLdI12?0?6.0dI??4A/s ?L??L??3.0?4??12V (a) t=0s,I=0A时 dt3.0dtdI12?1.0?6.0dI??2A/s Uab?IR?L?1?6?3??2V12(b) I=1.0A 时 dt3.0dt(c) 由IR??(1?eR?tL6.0??0.2123.0?(1?e)?0.659A ) 可得I?6.0(d) 电流稳恒后，自感现象消失 所以电流I?磁场能量 W?

121LI??3.0?22?6J 22?R?12?2A 6.09．一个线圈的电阻和电感分别为R?10?和L?58mH。当把电路接通加上电压后，经过多长时间，线圈中的电流将等于恒定电流值的一半？

解：I?I0(1?e

R?tL)

43

R?t1L1当I?I0时，eL?，即t?ln2?4.0?10?3s

2R2

10．电子感应加速器中的磁场在直径为0.5m的圆柱形区域内是均匀的。设这一磁场随时间的变化率为1.0?10?2 T/s。计算距离磁场中心为0.10m、0.50m、1.0m处各点的涡旋电场强度。

解：、用高斯定律可以求得介质中的电场强度 E介?Q 其中l为电缆长度 r为到轴心的距离 2?r?lbb所以电缆电势 U=?E介?dr??aaQQbdr?ln 2?rl?2?l?aQ2?l? ?Ulnba112?l?电场能量 W电?CU2??(IR)2

22lnba?I介质中磁感应强度为：B?

2?r电缆间的电容为：C?b所以磁通量 ???BdS?a?lIbln 2?a自感系数 L???lb?ln I2?a12?lI2bln 磁场能量W磁?LI?24?alnba令W磁?W电并简化得：R?

2?? ?11. 一电子在电子感应加速器中沿半径为1.0m的轨道上作圆周运动。如果它每转一周动能增加700ev，试计算电子轨道内磁通量及磁感应强度的平均变化率。

证明：设导线半径为R，导线内部某点到轴心距离为r，则r处的磁感应强度为

?0I'?0IB2B??r，?m? 22?r2?R2? 44

Wm???mdV??VR01B22?rdr?2?02?0?R0?0I2?0I2 (r)?2?rdr?16?2?R212．一环状铁芯，绕有线圈1000匝，环的平均半径r?8cm，环的截面积S?1cm2，铁芯的相对磁导率?r?500。试求：(a)线圈的自感；(b)当线圈通以1A电流时，磁场能量的总能量和磁场能量体密度。

解：对于RL回路， 有IR??(1?e(a)0.3秒后电功率 P??I?R?tL)

?2R(1?eR?tL10??0.33.02)?(1?e3.0)?0.569W

10R?tL210??0.33.02)?(1?e3.0)2?0.36W

10(b)电阻上的热功率 P热?RI?(c)电流恒定时 I?2?2R(1?e3.0?0.3A

R1011 磁场中的能量为：W磁?LI2??3.0?0.32?0.135J

22

??13．什么是位移电流？什么是全电流？位移电流和传导电流有什么不同？

答：位移电流不是电荷作定向运动的电流。变化电场，例如电容充电放电引起的电场变化，相当于一种电流，这种等效的电流我们称之为位移电流 全电流是指位移电流和传导电流之和。

位移电流和传导电流本质区别是电流是否发生定向移动，而表观的区别是通过导体时是否有热效应。

14．试证明：平行板电容器中的位移电流可写为

dUId?C

dt式中，C是电容器的电容，U是两极板间的电势差。

dq证明：由电流定义得Id?，

dtdqdU又由电容器电容C? 得 Id?C

dUdt 45

故 I3??10A 92又 ?1??2?I(I(2?r1r?1R)?1故 ?1?

64V 3 )R11．直流电路如图7-9所示，求a点与b点间的电压Uab。 解： I?12?8?0.25A

10?5?0.5?0.5 Uab?0.25(5?0.5)?(4?8)?5.37V

12．直流电路如图7-10所示，求各支路的电流。

解：设左右侧电池电动势分别为?3,?1，则由基尔霍夫定律得：

?1??3?I1?1?(I1?I2)?2?I3?1

?1??3?I1?1?I2?3?(I1?I2?I3)?2?I3?1?1?I1?1?I2?3

则可得I1?

13．在图7-11中，要使Ib?0，试问R1的值应为多少？

证明：根据基尔霍夫定律，

563614562034A,I2??A,I3??A,I1?A,I1?I2?A,I1?I2?I3?A 414141414141I1R?IRi??1

I2R?IRi??2I3R?IRi??3I?I1?I2?I3

由以上各式得IR?3IRi??1??2??3

(a) 当Ri?R，4IR??1??2??3，即U?IR?(b) 当Ri?R，IR??1??2??3，则U?IRi?

14．蓄电池E2和电阻为R的用电器并联后接到发电机E1的两端，如图7-12

?1??2??34

Ri(?1??2??3) R 31

所示，箭头表示各支路中的电流方向。已知E2?108V，r1?0.4?，r2?0.2?，I2?10A，

I1?25A，试确定蓄电池是在充电还是在放电？并计算E1、I和R的值。

解：根据基尔霍夫第二定律

IR1?R2(I?Ib)?6R2(I?Ib)?0.7又Ib?0，故

I?7?10?5AR1?76k?

15．图7-13的电路中含三个电阻R1?3?，R2?5?，R3?10?，一个电容C?8?F，和三个电动势E1?4V，E2?16V，E3?12V。求：(a)所标示的未知电流；(b)电容器两端的电势差和电容器所带的电量。

解：(a)由基尔霍夫定律得

I1?I2?I3

?1??2?I2R2?I1R1

0?I2R2?I3R3

则可得I1?1.89A,I2??1.26A,I3?0.63A 回路中存在电容器相当于断路，故I4?0

(b) 电容器两端电压Uc??3?I3R3?5.7V

则所带电量为q?CUc?4.56?10?5C

16．温差电偶与一固定电阻和电流计串联，用来测量一种合金的熔点，电偶的冷接头放在正溶解的冰内，当电偶的热接头相继地放入在100?C的沸水和327?C的熔化的铅中，电流计的偏转分别为76和219分度，如果将热接头放在正熔化的该合金中，则电流计偏转为

175分度。设温差电动势和温度的关系遵守

E?a(T1?T2)?b(T1?T2)2

求该合金的熔点。

32

12解：不论热接头处于何种温度下，热电偶电路中的电阻值不变，则可设??kI，而

I??M,M为偏转分度。即??CM,C为常数。则原方程可写成 1CM?a(T1?T2)?b(T1?T2)

2带入数值，得

176C?100a?1002b2

1219C?327a?3272b2ab?0.80,??0.00079 CC故当M＝175时，

解得

1175?0.80T??0.00079T2

24（T?17760C?3270C舍去） 解得 T?249.0C

17．当冷热接头的温度分别为0?C及t?C时，康铜与铜所构成的温差电偶的温差电动势可以用下式表示：

E(?V)?35.3t?0.039t2

今将温差电偶的一接头插入炉中，另一接头的温度保持0?C，此时获得温差电动势为

28.75mV，求电炉的温度。

解：将已知值带入方程，得

t?4.6?028.75?103?35.3t?0.039t2

解得 t?516.70C（另一值为负值，舍去）

18．使RC电路中的电容器充电，试问要使这个电容器上的电荷达到比其平衡电荷（即

t??时电容器上的电荷）小1.0％的数值，必须经过多少个时间常量的时间？

解：由q?Q(1?e?t/RC)及q?0.99Q得：

e?t/RC=0.01 t/RC?4.6

t?4.6?0

故需经4.6个时间常数的时间。

33

第八章 磁场 习题解答

1. 一个速度为v?5.0?107m?s-1的电子，在地磁场中垂直地面通过某处时，受到方向向西的洛仑兹力作用，大小为3.2?10?16N。试求该处地磁场的磁感应强度。 解： 电子电量大小为1.6×10-19C，该处磁感应强度大小为

f3.2?10?16B???4.0?10?5T ?197qv1.6?10?5.0?10 因电子带负电垂直向下运动，所以B的方向向北。

2. 几种载流导线在平面内分布(图8-1)，电流均为I，求他们在O点的磁感应强度。 解： (a) O点的磁感应强度等于载流圆环与无限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

载流圆环在圆心O处的磁感应强度：B1??0I2R, 方向为垂直图面指向外；

无限长直导线在圆心O处的磁感应强度：B2?故：BO?B1?B2，BO?B1?B2??0I，方向为垂直图面指向外。 2?R?0I(1??)，方向为垂直图面指向外。 2?R(b) O点的磁感应强度等于两段半无限长直载流导线与1/4载流圆环在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

由于O点在其中一段半无限长直载流导线的延长线上，所以该半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度B1?0；

另一段半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B2?垂直图面向外；

1/4载流圆环在O点产生的磁感应强度：B3?故：BO?B1?B2?B3，BO?B1?B2?B3??0I1?0I??，方向为2?R24?R?0I2R?1?0I?，方向为垂直图面指向外。 48R?0I(??2)，方向为垂直图面指向外。 8?R(c) O点的磁感应强度等于两段半无限长直载流导线与1/2载流圆环在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

上半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B1?图面向外；

下半无限长直载流导线在O点产生的磁感应强度：B2?

?0I1?0I??，方向为垂直2?R24?R?0I1?0I??，方向为垂直2?R24?R34

图面向外；

1/2载流圆环在O点产生的磁感应强度：B3?故：BO?B1?B2?B3，BO?B1?B2?B3?

3. 将通有电流强度I的导线弯成如图8-2所示的形状，组成3/4的圆 (半径为a ) 和3/4 的正方形 (边长为b )。求圆心O处的磁感应强度。

解：O点的磁感应强度等于3/4载流圆环与四段有限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的矢量和。

由于O点在两段有限长直载流导线的延长线上，故它们在O点所产生的磁感应强度均为零，即B1?B2?0。

另两段有限长直载流导线在O点所产生的磁感应强度的方向均为垂直图面指向外，大小分别为：

B3??0I2R?1?0I?，方向为垂直图面指向外。 24R?0I(??2)，方向为垂直图面指向外。 4?R?0I?I?32?0I， (cos?1?cos?2)? 0(cos?cos?)?4?b4?b248?bB4??0I?I??2?0I。 (cos?1?cos?2)?0(cos?cos)?4?b4?b428?b?0I33?0I， ??2a48a3/4载流圆环在O点所产生的磁感应强度：B5?外。

方向为垂直图面指向

故：BO?B1?B2?B3?B4?B5，BO?B1?B2?B3?向外。

?0I3?2(?)，方向为垂直图面指4?2ab4. 两根长直导线互相平行地放置在真空中，如图8-3所示 ，其中通以同方向的电流I1

= I2 = 10 A。已知r = 1.0 m。求图中M、N点的磁感应强度。

解：（1）I1在M处产生的磁感应强度：B1??0I1，方向沿I2M由M点指向外；

22?rI2在M处产生的磁感应强度： B2??0I1，方向由M点指向I1。

22?rB1、B2大小相等，方向夹角为900，故M处的磁感应强度为

4??10?7?10?0I12?0I1?2.0?10?6 T， ?方向为水平向左。 BM?2B1cos?2??2??1.0422?r22?r? 35

（2）I1在N处产生的磁感应强度：B1?I2在N处产生的磁感应强度：B2??0I1，方向由N点指向M点； 2?r?0I1，方向沿MN由N点指向外。 2?rB1、B2大小相等，方向相反，故N处的磁感应强度BN?B1+B2，BN?B1?B2?0。

5. 有一无限长直导线，载有5.0 A电流，试用安培环路定理计算与此导线相距 10 cm 的P点的磁感应强度。

解：选过P点作半径为R的圆环为积分路径，积分路径的绕行方向与电流方向成右手螺旋，根据安培环路定理：

?B?dl???I?L0i

?Bcos0dl??I ?L0?0I4??10?7?5.0B???1.0?10?5T

2?R2??0.1根据右手螺旋法则可知电流与磁感应线成右手螺旋，P点的磁感应强度方向为磁感应线在该点的切线方向。

6. 已知一螺线管的直径为 2.0 cm，长为100 cm，匝数为 1000，通过螺线管的电流强度为 5 .0A。求通过螺线管每一匝的磁通量。

解：通电螺线管内磁场可看视为均强磁场，螺线管轴线上的磁感应强度：

N1000B??0nI??0I?4??10?7?5.0??6.28?10?3T，方向为沿轴线方向。

L1.00通过螺线管每一匝的磁通量：

????B?S?BScos0?Bd2?6.28?10?3??0.0202?1.97?10?6Wb

44

7. 两平行长直导线相距 40 cm (图8-5) ，每条导线载有电流I1 = I2 = 20 A，求：(a) 两导线所在平面内与两导线等距的一点A处的磁感应强度大小和方向；(b) 通过图中斜线所示面积的磁通量。

解：(a)两长直导线到A点的距离相等，故电流I1、I2产生的磁感应强度在A点大小相等，方向相同。

?0I4??10?7?20?4.0?10?5 T，方向垂直图面指向外。 B1?B2?， BA?2B1?2?2??0.202?R(b) 因长直导线在其周围产生的磁场为非均匀磁场，故在距长直导线为x处的矩形面积

36

?0I。 2?xa?L?I?0I101?1??Bx?dS??hdx??hdx，

SS2?xa2?xa?L?I?I02x??hdx 同理， ?2??Bx?dS??02hdSS2?xa2?x 因电流I1、I2在此处产生的磁感应强度方向相同。所以有 中取一小面积元ds?hdx ，在此处的磁感应强度为Bx????1??2?2?

a?La?0I1?ILhdx?201hln(1?)2?x2?a

4??10?7?200.2 ?2??0.25ln(1?)2?0.1 ?2.2?10?6Wb

8. 一长直导线载有电流30A，离导线30cm处有一电子以速率2.0?107m?s?1运动，求以下三种情况作用在电子上的洛仑兹力。

（1）电子的速度v平行于导线； （2）速度v垂直于导线并指向导线； （3）速度v垂直于导线和电子所构成的平面。 解：长直载流导线周围的磁感应强度大小为B?系。

运动电子在磁场中所受的洛仑兹力：f?qv?B??ev?B

（1）v平行于导线，则v与B垂直

?0I，方向与电流的方向成右手螺旋关2?r?0Iev4??10?7?30?1.6?10?19?2.0?107?17 f?evBsin???6.4?10N

22?r2??30?10?2?方向：若v与I同向，则F垂直于导线指向外面；若v与I反向，则F垂直指向导线。

（2） 此时v与B互相垂直，所以洛仑兹力大小同上，f?6.4?10?17N，方向与电流的方向相同。

（3）此时v与B同向，洛仑兹力f?0。

9. 电量为2.0?10?4C、质量为 2.0?10?9g的带电粒子，在磁感应强度为1.0?10?3T的匀强磁场中运动，其初速度为1.0?106cm?s?1，方向与磁场成 30?，求其螺旋线轨道的半径是多少？

37

mv2.0?10?12?1.0?104解：螺旋线轨道的半径为：R?sin??sin30o?5.0?10?2m ?4?3qB2.0?10?1.0?10

10. 电子在磁感应强度B?2.0?10?3T的匀强磁场中，沿半径R = 5.0 cm的螺旋线运动(如图8-6)，螺距 h = 31.4 cm。求电子的速度。

解：螺旋线轨道的半径和螺距分别为：

mv2?mR?sin?，h?vcos?

qBqB?vmsin?——（1） 即 qBRqBh?mvcos?——（2） 2?R5.0??2?3.1?4，1?? （1）÷（2）得 tg???2??h31.44?把??代入（1）式便可求出电子的速度：

4qBR1.6?10?19?2.0?10?3?5.0?10?27?1v=??2.5?10m?s ?31msin?9.1?10?2/2

11. 利用霍尔元件可以测量磁场的磁感应强度。设一用金属材料制成的霍尔元件，其厚度为0.15mm，载流子数密度为1.0?1025m?3，将霍尔元件放入待测的匀强磁场中，测得霍尔电势差为40?V、电流为10mA，求待测磁场的磁感应强度。

解：霍尔电势差为 Uaa??1IB? nqdnqdUaa?1.0?1025?1.6?10?19?0.15?10?3?40?10?6??0.96T 则待测磁场的磁感应强度：B?I10?10?3

12. 电子在磁场和电场共存的空间运动，如图8-7所示，已知匀强电场强度

E?3.0?102N?C?1，匀强磁场B?2.0?10?3T，则电子的速度应为多大时，才能在此空间作

匀速直线运动？

解：当电子受到的电场力和洛仑兹力大小相等、方向相反时才能作匀速直线运动，由

eE?eBv

E3.0?102?1.5?105m?s?1 得： v???3B2.0?10

38

13. 一无限长载流直导线通有电流I1，另一有限长度的载流直导线AB通有电流I2，AB长为l。求载流直导线AB与无限长直载流导线平行和垂直放置，如图8-8(a)、(b)所示时所受到的安培力的大小和方向。

解：(a) 载流直导线AB与无限长载流直导线平行放置时，距无限长载流直导线为a处

?I的AB的磁感应强度大小均为B?01，方向垂直图面向里。

2?a?II载流直导线AB所受到的安培力的大小为F?I2Bl?012l，方向垂直AB水平向右

2?a(b) 载流直导线AB与无限长载流直导线垂直放置时，AB上各处的磁感应强度不同。

以长直导线为原点作OX坐标轴，根据安培环路定律，距长直导线为x处的磁感应强度B??0I1 2?x该处电流元Idx所受安培力的大小为 df?I2Bdx 整条载流直导线AB所受合力为：

a?la?l?II?II?IIla?l012 F??df??I2Bdx??dx?012lnxa?012ln(1?)

aa2?x2?2?a方向垂直AB竖直向上。

14. 在图8-9中，一根长直导线载有电流I1=30A，与它同一平面的矩形线圈ABCD载有电流I2=10A，已知d=1.0cm，b=9cm，l=20cm。求作用在矩形线圈的合力。 解：根据上题的结果可得： ?IIb FAB?FCD?012ln(1?)，

2?d?0I14??10?7?30 FAD?I2l??10?0.20?1.2?10?3N；

2?d2??0.010FBC4??10?7?20?10?0.20?1.2?10?4N。 ?I2l?2?(d?b)2??(0.01?0.09)?0I1 根据安培定律，F AB方向竖直向上，FCD方向竖直向下，FAD方向水平向左，F BC方向

水平向右。

因为FAB??FCD，所以作用在矩形线圈的合力为：

F?FAD?FBC?1.2?10?3?1.2?10?4?1.08?10?3N，方向水平向左指向导线。

15. 长方形线圈abcd 可绕y轴旋转，载有10A的电流，方向如图8-10所示。线圈放在磁感应强度为0.2 T、方向平行于x轴的匀强磁场中。问：( a ) 线圈各边受力的大小和方

39

向；( b )若维持线圈在原位置时，需要多大力矩？( c )线圈处在什么位置时所受磁力矩最小？

解：( a ) Fab?BIl1sin90??0.2?10?0.08?0.16N，z方向；

Fbc?BIl2sin30??0.2?10?0.06?0.5?0.06N，y方向； Fcd?Fab?0.16N，-z方向；

Fda?BIl2sin(180??30?)?0.2?10?0.060?0.5?0.06N，-y方向。 ( b ) 线圈磁矩M?pm?B

M?Il1l2Bsin(90??30?)?10?0.08?0.06?0.2?sin120??8.31?10?3N?m，方向为+y方向。

要维持线圈在原位置时，则外加的力矩必须大小相等，方向相反。即需要的力矩为

8.31?10?3N?m，-y方向。

(c) 当pm与B方向相同或相反时，即线圈的法线方向与B的夹角为0或 ?时，所受的力矩M?0，最小。

16. 如图8-11所示为一正三角形线圈，放在匀强磁场中，磁场方向与线圈平面平行，且平行于BC 边。设I = 10A，B = 1T，正三角形的边长l = 0.1m，求(a)线圈所受磁力矩的大小和方向；(b)线圈将如何转动？

解：(a) 线圈磁矩M?pm?B

13 M?ISBsin90??10??0.1??0.1?4.3?10?2N?m，方向向上。

22(b) 当pm与B方向相同时，所受的力矩最小。故线圈将绕OO′轴逆时针方向转动至

pm与B方向相同。

17. 一个具有铁心的螺绕环，每厘米绕有10匝导线，当通以2.0 A的电流时，测得螺绕环内部的磁感应强度B为1.0 T。试计算：( a ) 放入或移去铁心两种情况下的磁场强度；( b ) 铁心的相对磁导率。

解：(a) 磁场强度H与磁介质无关，不管有无铁芯，环内的磁场强度均为：

N10H?I??2.0?2.0?103A?m?1

L0.01B1.0(b) ?r???398 ?73?0H4??10?2.0?10

40

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