13-14-1《数字信号处理》试题A 答案

北京化工大学2013——2014学年第一学期

《数字信号处理》试卷A

课程代码：EEE33400T 班级： 姓名： 学号： 分数：

题号 得分 一 二 三 四 五 六 七 总分 一、 填空：（每小题2分，共30分）

?7?(1) 序列x(n)?5sin??(n?5)?的周期为__ 240 ____。

?120?(2) 若一个线性时不变系统，当输入为x(n)??(n)时输出为y(n)?R3(n)，则当输入

x(n)?u(n)?u(n?2)时输出y(n)? R3(n)?R3(n?1) 。

(3) 设系统的单位样值响应为h(n)，则该系统是因果系统的充要条件是 h(n)?0,n?0 。

(4) 已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅里叶变换为X(ej?)，它的N点

离散傅里叶变换X(k)是对X(ej?)的 频域N 点等间隔 采样 。 (5) 设序列x(n)的N点DFT为X(k)，则x((n?m))NRN(n)的的N点DFT为

?mkWNX(k) 。

11(6) 已知ej0.3?是实系数全通系统的一个极点，则可知e?j0.3?是系统的 极 点，

333ej0.3?是系统的 零 点。

(7) 如果通用计算机的计算速度为平均每次复数乘法需要5?s，每次复数加法需要

1?s，则在此计算机上计算完成210点的按时间抽选基—2 FFT需要 10 级蝶形运算，总运算时间是 35840 ?s。

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(8) 如果序列x(n)的长度是4，序列h(n)的长度是3，则它们线性卷积的长度是

6 ，5点圆周卷积的长度是 5 。

(9) 一个线性时不变系统是稳定系统的充要条件是其系统函数的收敛域满足条件：

收敛域包含单位圆 。

(10) 已知序列x(n)的z变换X(z)的收敛域为|z|?1，则该序列为 无线 长的

左边 边序列。

(11) 数字信号频谱分析时要求频率分辨力?10Hz,如果信号采样频率为4kHz，则要

求数据长度N至少为 400 点。

(12) 若序列x(n)是实序列，其离散时间傅里叶变换X(ej?)，则其幅度响应是?的

偶 函数，相位响应是?的 奇 函数。

1?a?1z?1(13) 设线性时不变系统的系统函数H(z)?，若系统是因果稳定的系统，?11?az则参数a的取值范围是 |a|?1 。

(14) 已知序列x(n)?{4,3,2,1}，其6点DFT用X(k)表示，另有一个序列y(n)，

其6点DFT用Y(k)表示，若Y(k)?W64kX(k)，则序列y(n)? x((n?4))6R6(n) 。

|f|?5kHz。(15) 一个模拟实信号xa(t)，带宽限制在5kHz以下，即频谱Xa(f)?0，

以10kHz的采样频率对xa(t)采样得到1000点的序列x(n)，设X(k)是序列x(n)的1024点DFT，那么X(k)中的k?128对应于Xa(f)中的f? 1250 Hz，

X(k)中的k?768对应于Xa(f)中的f? -2500 Hz。

二、按要求完成下列各题：（每小题6分，共30分）

?an,n?0(1) 求序列x(n)??n的z变换，确定收敛域。

??b,n??1

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解：x(n)?anu(n)?bnu(?n?1) H(z)?zz? z?az?b 收敛域 |a|?|z|?|b|

(2) 已知序列x(n)的DTFT为X(ej?)，试用X(ej?)表示信号x1(n)?x(1?n)?x(?1?n)的DTFT。

解：X1(ej?)?e?j?X(e?j?)?ej?X(e?j?)?2cos(?)X(e?j?)

(3) 线性时不变系统的系统函数H(z)?1，a,b是常数

(z?a)(z?b)1） 要求系统是稳定的，确定a,b的取值范围； 2） 要求系统是因果稳定的，确定a,b的取值范围。 解：1）a,b的取值范围是|a|?1?|b|或|b|?1?|a|。 2）a,b的取值范围是|a|?|b|?1或|b|?|a|?1。

(4) 已知x(n)的频谱如下图，请分别画出先经4倍插值后的频谱X1(ej?)，以及再

经3倍抽取后的频谱X2(ej?)。

解：经4倍插值后，频谱范围为????2?3X(ej?)02?3?2?ω ?6?6，幅度提高到4倍；

再经3倍插值后，频谱范围为?图略。

?2?2，幅度降低到3倍.

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(5) 已知序列x(n)?{?1,2,?3,2,?1),n?0,1,2,3,4，

1） 该序列是否可以作为线性相位FIR低通滤波器的单位样值响应，为什么？ 2） 求x(n)与序列y(n)?R4(n)的线性卷积及7点圆周卷积。

解：1）序列x(n)是以n?2为对称中心的偶对称序列，因此可以作为线性相位FIR低通滤波器的单位样值响应。

2）x(n)*R4(n)?{?1,1,?2,0,0,?2,1,?1}

x(n)与y(n)?R4(n)的7点圆周卷积为{?2,1,?2,0,0,?2,1} 三、（8分）一个线性时不变系统的差分方程为：

311 y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)

483（1） 求系统函数H(z)，画出零、极点图； （2） 画出系统结构图；

（3） 若系统是因果稳定系统，写出H(z)的收敛域，并求单位样值响应h(n)。

11?z?11113解：（1）H(z)，零点c1??，极点d1?，d2?。

313241?z?1?z?248

（2） x(n)

（3）收敛域为

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y(n)

z?1

3/4 -1/8

1/3

z?1

110171?|z|，h(n)?[()n?()n]u(n)。 23234?1?四、（8分）对连续时间信号x(t)???u(t)，从t?0开始以8Hz为采样频率取得长

?32?度为100点的序列x(n)。写出x(n)的表达式，求其傅里叶变换X(ej?)。若对X(ej?)在[0,2?)区间等间隔采样60个点，并对采样结果计算60点IDFT得到y(n)，写出

y(n)与x(n)的关系式，及y(0)的值。

5??8??1?解：x(n)???R100(n)??2?R100(n)

?32???1n8nt5??8?1??2e?j???X(ej?)??1001?2e?j?y(n)??58

r????x(n?60r)?R60?60(n)??x(n)?x(n?60)??R60(n)

5??8?y(0)?1??2?

??五、（8分）已知x(n)?R4(n)，求x(n)的8点DFT和16点DFT. 解：x(n)?R4(n)的DTFT为X(e)?j?n????x(n)e3?j?2???j?n??en?03?j?n1?e?j4? ?1?e?j? ?esin(2?)sin()2?

x(n)的8点DFT为X(k)?X(ej?)|??2?k8?e3?j?k8sin(k)2 sin(k)8?? x(n)的16点DFT为X(k)?X(ej?)|??2?k16?e3?j?k16sin(k)4. ?sin(k)16?

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