谱估计实验报告

随机过程第一次大作业 2016年秋季学期

谱估计

尹凯凯 2012011109

（清华大学电子工程系无37班）

【摘要】

谱分析是信号分析的一种工具。功率谱估计就是基于有限的数据寻找信号、随机过程或系统的频率成分。它表示随机信号频域的统计特征，有着明显的物理意义，是信号处理的重要研究内容。研究随机信号在频域的功率分布情况，即功率谱密度或功率谱，功率谱估计有着广泛的应用。 【关键词】

谱估计周期图方法 MUSIC方法

1．谱估计

谱估计技术是现代信号处理的一个重要部分，还包括空间谱估计，高阶谱估计等。功率谱估计是数字信号处理的主要内容之一，主要研究信号在频域中的各种特征，目的是根据有限数据在频域内提取被淹没在噪声中的有用信号。

在一般工程实际中，随机信号通常是无限长的，例如，传感器的温漂，不可能得到无限长时间的无限个观察结果来获得完全准确的温漂情况，即随机信号总体的情况，一般只能在有限的时间内得到有限个结果，即有限个样本，根据经验来近似地估计总体的分布。有时，甚至不需要知道随机信号总体地分布，而只需要知道其数字特征，如均值、方差、均方值、相关函数、功率谱的比较精确的情况即估计值。功率谱估计(PSD)是用有限长的数据估计信号的功率谱，它对于认识一个随机信号或其他应用方面都是重要的，是数字信号处理的重要研究内容之一。功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。 1.1背景

英国科学家牛顿最早给出了“谱”的概念。后来，1822年，法国工程师傅立叶提出了著名的傅立叶谐波分析理论。该理论至今依然是进行信号分析和信号处理的理论基础。

傅立叶级数提出后，首先在人们观测自然界中的周期现象时得到应用。19世纪末，Schuster提出用傅立叶级数的幅度平方作为函数中功率的度量，并将其命名为“周期图”（periodogram）。这是经典谱估计的最早提法，这种提法至今仍然被沿用，只不过现在是用快速傅立叶变换（FFT）来计算离散傅立叶变换（DFT），用DFT的幅度平方作为信号中功率的度量。

周期图法和自相关法都可用快速傅立叶变换算法来实现，且物理概念明确，因而仍是目前较常用的谱估计方法。周期图较差的方差性能促使人们研究另外的分析方法。现代谱估计主要是针对经典谱估计的分辨率差和方差性能不好的问题而提出的。现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种，前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等；后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。

1.2周期图方法

周期图的基本原理是对观测到的数据直接进行傅里叶变换，然后取模的平方就是功率谱。取平稳随机信号x(n)的有限个观察点x 0 、x 1 ……x(n?1)，则傅里叶变换为????(???????)=

1??????? ???， ??=0??(??)??

进行谱估计；

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?? =|????(???????)|2=| ??(??)?????????|2 ??

??????=0???1

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基本地周期图法可以提高计算效率，不需要计算自相关函数，但谱分辨率较低。当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，当N太小，谱的分辨率又不好。

1.3 MUSIC方法

MUSIC法功率谱估计是基于矩阵特征分解的一种功率谱估计的非参数方法。这种谱分析方法把相关数据矩阵的信息分类，把信息分配到信号的子空间或噪声的子空间。它适合于普遍情况下的正弦信号参数估计的方法，是多信号分类法的简称。MUSIC法谱估计在偏差和方差可以达到较好的平衡。

2．问题介绍

随机过程X t =10?sin 0.34πt+??1 +5?sin 0.36πt+??2 +?? ?? ，??=1,2……64；?? ?? 是零均值、方差为1的白噪声；??1和??2是[0, 2π]均匀分布的随机变量，??1、??2与e(t)三者相互独立。请用50次样本分析下面问题： 1）给出周期图方法与MUSIC方法对两个频率的估计值，比较它们对这两个频率的分辨能力； 2）改变噪声功率，分析信噪比对两种方法频率分辨能力的影响；

3）改变两个正弦波分量的相对强度，分析信号分量相对强度对两种方法频率分辨能力的影响。

3．结果

3.1、当噪声功率为????=??，相对幅值为2:1（10:5）时：

X t =10?sin 0.34πt+??1 +5?sin 0.36πt+??2 +?? ?? ，??=1,2……64

周期图谱和MUSIC 谱如下：

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3.2、相对幅值为2:1（10:5）不变，改变噪声功率 当噪声功率为????=??：

X t =10?sin 0.34πt+??1 +5?sin 0.36πt+??2 +?? ?? ，??=1,2……64

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当噪声功率为????=????：

X t =10?sin 0.34πt+??1 +5?sin 0.36πt+??2 +?? ?? ，??=1,2……64

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当噪声功率为????=????：

X t =10?sin 0.34πt+??1 +5?sin 0.36πt+??2 +?? ?? ，??=1,2……64

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