12第十二讲 习题1 学生版

第十二讲 专题训练

例题精讲

一、数的进位制

【例1】设x?1，记an?[xn]，n?1,2,?,记S?0.a1a2a3?，它是一个十进制小数，表示将正整数

a1,a2,a3?的十进制表示在小数点后依次写出.问：是否存在x?1，使得S是一个有理数？

【例2】数列{an}定义如下：若n在二进制表示下，数码1出现偶数次，则an?0；否则，an?1.证明：不存在k,m?N*，使得对任意0?j?m?1，都有ak?j?ak?m?j?ak?2m?j.

【例3】设S?{1,2,3,?,2000}.证明：可以对S中数进行4种颜色的染色，使得任何7个成等差数列的数不同色.

二、平方数

【例4】求所有的整数n，使得n4?6n3?11n2?3n?31式完全平方数.

【例5】设p是4k?3型的素数，n是正整数且pn.若n可以表示为两个整数的平方和，即存在整数x,y，使得

n?x2?y2

则n中p的幂次是偶数.

【例6】证明：每一个素数都可以表示为4个整数的平方和.

2【例7】证明：存在无穷多个正整数n，使得n?1有一个素因子p?2n?2n.

三、数论中的存在性问题

【例8】设m是一个给定的正整数，数列{an}的每一列都是正整数，且对任意n?N，都有

*0?an?1?an?m.证明：存在无穷多对正整数(p,q)，使得p?q，且ap|aq.

【例9】设p是奇素数.证明：从任意2p-1个证书中可以取出p个数，它们的和是p的倍数.

【例10】对k,n?N，记I(k,n)?{j|k?j?(k?1),j?N}.

*证明：（1）当n?2时，对任意k?N，在I(k,n)中没有两个数，它们的乘积是一个完全平方数;

*nn**（2）当n?2时，存在k0?N*，使得对任意k?k0，k?N，在I(k,n)中都可以找到n个数，它们的

乘积是一个n次方数.

大显身手

练习1：证明：至多只有有限个正整数，它们不能表示为若干个不同正整数的平方和.

练习2：设实数A,B的十进制表示为：

A?0.a1a2?ak?0,B?0.b1b2?bk?0.

设S为满足0.c1c2?ck?A,0.ckck?1?c1?B的数0.c1c2?ck的个数.证明：

|S?10kAB|?9k.

练习3：设m为给定的正整数，对任意n?N，用Sm(n)表示n的十进制表示下各数码的m次方之和，例如S3(172)?13?73?23?352.对任意n0?N*，定义nk?Sm(nk?1),k?1,2,?. （1）证明：数列n0,n1,n2,?是一个周期数列；

（2）证明：当n0变化时，由（1）中数列的最小正周期构成的集合是一个有限集.

练习4：求所有的正整数n，使得不定方程n?x12?x22??x52存在唯一一组满足0?x1?x2???x5的整数解.

*

练习5：设p?1(mod4)，p为素数.证明：存在素数q?

练习6：设q为给定的实数，满足：p，使得qp?1?1(modp2).

1?5?q?2.对任意n?N*，设n的二进制表示为： 2n?2k?ak?1?2k?1???a1?2?a0,这里ai?{0,1},0?i?k?1.定义数列{pn}如下： pn?qk?ak?1qk?1???a1q?a0.

证明：存在无穷多个k?N*，使得不存在l?N*，满足：

p2k?pl?p2k?1.

练习7：如果一个由正整数组成的数列从第三项起的每一项都等于它前面两项之和，则我们称该数列为“F-数列”.问：能否将正整数集分划为（1）有限个（2）无穷多个两两不交的“F-数列”的并？

练习8：能否找到自然数的集合S，满足：

(1) S?1991? (2)S中任意二数互质？（3）S中任k(?2)个数的和为合数？

练习9：证明对于任何正整数k?k?1?，都能找到一个2的方幂数，在它的末尾的k个数字中至少有一半是9.

?1?2?1?2p1?pt?t，,p1,?pt?t练习10：若n?p1其中p1,p2,?,pt为不相同的素数，则称p1?1,?2,...,?t均为正整数，

中最大的一个为n的最大素数幂因子.设n1,n2,?,n10000为10000个互不相同的正整数，并且n1,n2,?,n10000，

?，10000?两两不相交. 使得10000个等差数列?ai,ai?ni,ai?2ni,ai?3ni,???i?1,2，

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