北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案
扶风县法门高中 姚连省
第一课时 2.1从位移、速度、力到向量
一、教学目标
1.知识与技能：（1）理解向量与数量、向量与力、速度、位移之间的区别；（2）理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过力与力的分析等实例，引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题.
3.情感态度价值观：通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重、难点 ：重点: 向量及向量的有关概念、表示方法.难点: 向量及向量的有关概念、表示方法. 三.学法与教法
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教法:探究交流法. 四.教学过程 （一）、创设情境
实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去。
问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. （二）、探究新知
1．学生阅读教材思考如下问题
[展示投影]（学生先讲，教师提示或适当补充）
（1）. 举例说明什么是向量？向量与数量有何区别？既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量等。
注意：①数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。
②从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。
1
A B
2.向量的表示方法有哪些？
①几何表示法：有向线段
???a
B
（终点）
有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。记作： 注意：起点一定写在终点的前面。
AB
A(起点)
???有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段长度。
AB的长度。 有向线段的三要素：起点、方向、
②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即3. 向量的模的概念是如何定义的？
?????? AB可表示为a（印刷时用黑体字）
向量
AB的大小——长度称为向量的模。
???记作：|
AB| 模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量：
①零向量——长度（模）为0的向量，记作0。0的方向是任意的. 注意0与0的区别
②单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 思考：①温度有零上零下之分，“温度”是否向量？
答：不是。因为零上零下也只是大小之分。
??? ②
AB与BA是否同一向量？
??? 答：不是同一向量。
③有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 5.向量间的关系：
（1）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：a∥b∥c 规定：0与任一向量平行
（2）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：a=b
2
a b c 规定：0=0
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
（3）共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
OA=a OB=b OC=c
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例题：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，①分别写出图中与向量OA、OB、OC相等的向量；②分别写出图中与向量OD、OE、OE共线的向量.
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）
①向量及其表示方法.②向量的模.③零向量与单位向量（零向量的方向任意；单位向量不一定相等）④相等向量与平行向量. （四）、作业：P86 习题2—1 五、 课后反思：
3
???????????????????????????C O B A B O C A F D E 第二课时 2.2从位移的合成到向量的加法（一）
一、教学目标
1.知识与技能：（1）掌握向量加法的概念；能熟练运用三角形法则和平行四边形法则做几个向量的和向量；能准确表述向量加法的交换律和结合律，并能熟练运用它们进行向量计算.（2）通过实例，掌握向量加法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用. 2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点 ：向量加法的概念和向量加法的法则及运算律. 三.学法与教法
学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教法:探究讨论法. 四.教学设想 （一）、创设情境
提出课题：向量是否能进行运算？ 1、某人从A到B，再从B按原方向到C，
???A B C
则两次的位移和：
AB+BC=AC
??????C A B C C
A B A B
2、若上题改为从A到B，再从B按反方向到C，
???则两次的位移和：
AB+BC=AC
??????3、某车从A到B，再从B改变方向到C，
???则两次的位移和：
AB+BC=AC
?????????4、船速为AB，水速为BC， 则两速度和：（二）、探究新知
AB+BC=AC 提出课题：向量的加法
?????? 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。注意：两个向量的和仍旧是向量（简称和
4
向量）
2．三角形法则：
强调：① “向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 ②可以推广到n个向量连加 ③a?0?0?a?a④不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 [展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充） 例1、已知向量a、b，求作向量a+b 作法：在平面内取一点， 作OA?a
???????????a
a
C
b
A a+b a B a b
b A B a+b
C a+b C A B O b a b
a A b
a AB?b
?? 则OB?a?b 【探究新知】
3．加法的交换律和平行四边形法则：思考：上题中b+a的结果与a+b是否相同 验证结果相同
D
从而得到：1?向量加法的平行四边形法则2?向量加法的交换律：a+b=b+a 3?、向量加法的结合律：(a+b) +c=a+ (b+c) （可请学生先上来做，不足之处学生更正）
???a+b+c b+c a+b c
C b 证：如图：使
AB?a, BC?b, CD?c
??????????????????A
a ?????????则(a+b) +c=AC?CD?AD a+ (b+c) =AB?BD?AD
B
∴(a+b) +c=a+ (b+c) 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充）
5
例2．如图，一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸
的方向
行驶，同时水的流速为2km/h，求船实际航行的速度的大小与方向。 解：设AD表示船垂直于对岸的速度，
??????AB表示水流的速度，
???以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD，则AC就是船实际航行的速度 在Rt?ABC中，|所以|??????AB|?2，|BC|?23
2??????AC|?|AB|?|BC|2?4
23?3??CBA?60? 2???因为tan?CAB?4、练习：P95 2,3
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）①向量加法的三角形法则与平行四边形法则.②向量加法运算律.
（四）、作业：习题2.2 A组1,2.3，5 补充题：1、一艘船从A点出发以23km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行
的速度的大小为4km/h，求水流的速度. 2、一艘船距对岸43km，以2实际航程为8km，求河水的流速.
3、一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为v2，船的实际航行的速度的大小为4km/h，方向与水流间的夹角是60?，求v1和v2.
4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是
km/h，最小是
km/h
3km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的
５、已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60?，|F|=10N求F1和F2的大小.
６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 五、课后反思：
6
第三课时 2.2从位移的合成到向量的加法（二）
一、教学目标
1.知识与技能：（1）了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量；（2）通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义.（3）初步体会数形结合在向量解题中的应用. 2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出向量的加法，一方面启发我们利用位移的合成去探索两个向量的和，另一方面帮助我们利用物理背景去理解向量的加法. 然后用“相反向量”定义向量的减法；最后通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对向量加法的三角形法则和平行四边形法则有了一定的认识，进一步让学生理解和领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的加法，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神.
二.教学重难点：向量的减法转化为加法的运算. 三.学法与教法
学法与教法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学设想
（一）、复习：向量加法的法则：三角形法则与平行四边形法则；向量加法的运算定律：
D C 例：在四边形中，CB?BA?BA? . 解：CB?BA?BA?CB?BA?AD?CD 提出课题：向量的减法 （二）、探究新知
A B
????ba思考：已知a，，怎样求作?b？
这个问题涉及到两个向量相减，到底如何运算呢？首先引入“相反向量”这个概念. 1.用“相反向量”定义向量的减法
①“相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量；记作 ?a ②规定：零向量的相反向量仍是零向量。?(?a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (?a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = ?b, b = ?a, a + b = 0
7
③向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a ? b = a + (?b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法：
向量的减法是向量加法的逆运算：
若b + x = a，则x叫做a与b的差，记作a ? b
??3.请同学们自己解决思考题： a?b的作法：
??方法一、已知向量a、b，在平面内任取一点
???O，作可以向量
???OA?a,OB?b，则BA?a?b。即a?b????????????ba表示为从向量的终点指向向量的终点的
方法二、在平面内任取一点O，作OA?a,OB?b则
??????????AB?a?b。即a?b也可以表示为从向
??????量a的起点指向向量b的起点的向量.
方法三、在平面内任取一点O，作OA?a,OB??????????b，则由向量加法的平行四边形法则可得OC?
????a?(?b)?a?b.
????思考：从向量a的终点指向向量b的终点的向量是什么？（b?a） ????讨论：如右图，a∥b时，怎样作出a?b呢？
???[展示投影]思考与讨论：
探究：
⑴如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量，那么所得向量是b ? a.
a b O
a?b
A ?b B
B
a b a?b O B
A
B’
O
a?b
A B
a?b O
A （２）若a∥b， 如何作出a ? b ？
8
[展示投影]例题讲评（学生讲，学生评，教师提示或适当补充） 例1.已知向量a、b、c、d，求作向量a?b、c?d。
解：在平面上取一点O，作OA= a, OB= b, OC= c, OD= d, 作
???????????????a?b, BA, DC, 则BA=
D
??????DC= c?d
a b
d c ???A B
O C
????????ba例2.平行四边形中，AB=a，AD=b，用、表示向量AC，DB. ????????D C 解：由平行四边形法则得： AC= a + b, DB=
?????????AB-AD = a?b
???A B 变式一：当a, b满足什么条件时，a+b与a?b垂直？（|a| = |b|） 变式二：当a, b满足什么条件时，|a+b| = |a?b|？（a, b互相垂直） 变式三：a+b与a?b可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 例3.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 证：由向量加法法则：
???D C ?????????
AB= AO+OB, DC= DO+OC
??????????????????O 由已知：AO=OC, OB=DO
???A B
∴
AB=DC 即AB与CD平行且相等
??? ∴ABCD为平行四边形
练习：Ｐ98中练习题
（三）、课堂小结：（学生总结，其它学生补充）相反向量及向量减法的运算法则、作图法。 （四）、1．作业：习题2.2 A组第4、5、6题． 2．（备选题）：
①证明：对于任意给定的向量a.b都有②证明：
a?b?a?b
a?b?a?b?a?b并说明什么时候取等号？
9
??提示：可用例5的图当a、b不共线时，由三角形两边之和大于第三边，而两边之差小于第三
边得
a?b?AC?AB?BC?a?b、a?b?AC?AB?BC?a?b 即
a?b?a?b?a?b
1.在△ABC中， BC=a， CA=b，则AB等于( )?
A.a+b? B.-a+(-b)? C.a-b? D.b-a? 2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a， OB=b， OC=c， OD =d，则 A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0? C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 ３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：?
a+b= ，b+c= ，c-d= ，a+b+c-d= .?
４、如图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=AB，c-d=DC，并画出b-c和a+d.
五、课后反思：
10
第四课时 2.3从速度的倍数到数乘向量（一）
一、教学目标：1.知识与技能：（1）要求学生掌握实数与向量积的定义及几何意义.（2）了解数乘运算的运算律，理解向量共线的充要条件。（3）通过练习使学生对实数与积，两个向量共线的充要条件有更深刻的理解，并能用来解决一些简单的几何问题。
2.过程与方法：教材利用同学们熟悉的物理知识引出实数与向量的积（强调：1．“模”与“方向”两点) 2．三个运算定律（结合律，第一分配律，第二分配律）），在此基础上得到数乘运算的几何意义。为了帮助学生消化和巩固相应的知识，教材设置了几个例题；通过讲解例题，指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对实数与向量积有了较深的认识，让学生理解和领悟知识将各学科有机的联系起来了，这样有助于激发学生学习数学的兴趣和积极性，有助于培养学生的发散思维和勇于创新的精神.
二.教学重、难点： 重点:实数与向量积的定义及几何意义.难点: 实数与向量积的几何意义的理解. 三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 四.教学过程 （一）、探究新知
1．思考: （引入新课）已知非零向量a 作出a+a+a和(?a)+(?a)+(?a)
????????????????????a ??aO N
?a
A ?a
B ?a
P
???C
?a?a?aM
Q
????OC=OA?AB?BC=a+a+a=3a
????PN=PQ?QM?MN=(?a)+(?a)+(?a)=?3a ???????? 讨论：① 3a与a方向相同且|3a|=3|a|② ?3a与a方向相反且|?3a|=3|a|
??2．从而提出课题：实数与向量的积；实数λ与向量a的积，记作：λa
?? 定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa
????????????①|λ
???????a|=|λ||a| ；②λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0（请学生自己解释其几何意义）
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生评，教师提示或适当补充） 例1.（见P96例1）略 [展示投影]
11
思考：根据几何意义，你能否验证下列实数与向量的积的是否满足下列运算定律（证明的过程可．．．．．．．根据学生的实际水平决定） ．．．．．．．．．．．．
??a)=(λμ)a ①
???第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa ②
????第二分配律：λ(a+b)=λa+λb ③
结合律：λ(μ
结合律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则①式成立
????a)|=|λ||μa|=|λ||μ||a|
?????|(λμ)a|=|λμ|| a|=|λ||μ||a| ；∴|λ(μa)|=|(λμ)a|
?如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与a同向；如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向
???都与a反向。从而λ(μa)=(λμ)a
如果λ?0，μ?0，a?0有：|λ(μ
第一分配律证明：如果λ=0，μ=0，a=0至少有一个成立，则②式显然成立
??????a和μa同向，∴|(λ+μ)a|=|λ+μ||a|=(|
????????λ|+|μ|)|a|，|λa+μa|=|λa|+|μa|=|λ||a|+|μ||a|=(|λ|+|μ|)|a|
????∵λ、μ同号 ∴②两边向量方向都与a同向。 即：|(λ+μ)a|=|λa+μa|
?当λ、μ异号，当λ>μ时 ②两边向量的方向都与λa同向当λ<μ时 ②两边向量的方向都与????μa同向。还可证：|(λ+μ)a|=|λa+μa| ∴②式成立
??第二分配律证明：如果a=0，b=0中至少有一个成立，或λ=0，λ=1则③式显然成立
如果λ?0，μ?0，a?0当λ、μ同号时，则λ
???当a?0，b?0且λ?0，λ?1时1?当λ>0且λ?1时在平面内任取一点O，
?????????????作OA=a AB=b OA1=λa A1B1=λb ???B1
B
???????则OB=a+b OB1?λa+λb ???O ?????????由作法知：
AB∥A1B1有?OAB=?OA1B1 |AB|=λ|A1B1|
?????????A
A1
∴
|OA1||OA|???????|A1B1||AB|?λ ∴△OAB∽△OA1B1 ∴
??????|OB1||OB|??????????λ ?AOB=? A1OB1
???OB| OB1与λOB方向也相同
????????λ(a+b)=λa+λb 当λ<0时 可类似证明：λ(a+b)=λa+λb
因此，O，B，B1在同一直线上，|OB1|=|λ
12
B ∴ ③式成立
【探究新知】（师生共同分析向量共线的充要条件）
A1 O A B1 ???????若有向量a(a?0)、b，实数λ，使b=λa 则由实数与向量积的定义知：a与b为共线向量
?????????????若a与b共线(a?0)且|b|：|a|=μ，则当a与b同向时b=μa；当a与b反向时b=?μa
????b从而得：向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ. a．．．．．．．．．．
[展示投影]例题讲评（师生共同分析，学生动手做）例2. （见P97例2）略
例3.（P97例3改编）如图：OA，OB不共线，P点在AB上，求证：存在实数?.?且???使OP??????????1
??OA??OB
O ??????P B A （证明过程与P97例3完全类似；略）
思考：由本例你想到了什么？（用向量证明三点共线） （二）、巩固深化，加强基础 1.见P98练习1、2、3、4题. 2.如例3图，OA，OB不共线，
?????????AP=tAB (t?R)用OA，OB表示OP.
???????????????3．设e1,e2是两个不共线向量，已知A, B, D共线，求k的值.
AB=2e1+ke2, CB=e1+3e2, CD=2e1?e2, 若三点
??????解：BD=CD?CB=(2e1?e2)?(e1+3e2)=e1?4e2
????????????∵A, B, D共线 ∴
AB,BD共线 ∴存在λ使AB=λBD
?????????即2e1+ke2=λ(e1?4e2) ∴??2?? ∴k=?8
k??4???（三）、课堂小结（学生总结，其它学生补充）①数乘向量的几何意义理解.②向量b与非零向量
???ba共线的条件是：有且只有一个非零实数aλ，使=λ. ．．．．．．．．．．
（五）、作业：习题2.3 A组第4、5、6、7题． 六、课后反思：
13
第五课时 2.3从速度的倍数到数乘向量（二）
——平面向量基本定理
一、教学目的：（1）了解平面向量基本定理；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
二、教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 三、授课类型：新授课 四、教学过程： （一）、复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λ（1）|λ
??a
???????（2）λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ=0时λa=0 a|=|λ||a|；
2．运算定律
?????????结合律：λ(μa)=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a=λa+μa， λ(a+b)=λa+λb ???3. 向量共线定理 向量b与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b=λ?a.
（二）、探究新知
平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ
??1
e1+λ2e2.
探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量
1．思考：①．是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量？且分解是唯一？②．对于平面上两个不共线向量e1，e2是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示？ 2．教师引导学生分析：设e1，e2是不共线向量，a是平面内任一向量
??e1 a MC
N B e2
O ?OA=e1 OM=λ1e1 OC=a=OM+ON=λ1e1+λ2e2
14
OB=e2 ON=λ2e2
得平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ
??1
e1+λ2e2.
[注意几个问题]：① e1、e2必须不共线，且它是这一平面内所有向量的一组基底.② 这个定理．．．也叫共面向量定理.③λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.④同一平面内任一向量都可以表．．．．．．．．示为两个不共线向量的线性组合. （三）、讲解范例：
例1 已知向量e1，e2 求作向量?2.5e1+3e2.
???例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，
用
??a，b表示MA，MB，MC和MD
例3已知 ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意点，求证：OA+OB+OC+OD=4OE
一
例4（1）如图，OA，OB不共线，AP=tAB (t?R)用OA，OB示OP.
表
???????????????????OB不共线，点P在O、A、B所在的平面内，且OP?(1?t)OA?tOB(t?R).求证： （2）设OA、A、B、P三点共线.
例5 已知 a=2e1-3e2，b= 2e1+3e2，其中e1，e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数
?????、?,使d??a??b与c共线.
（四）、课堂练习：
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等
C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R) 2.已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系 A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
15
3.已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y的值等于( ) A.3 B.-3 C.0 D.2
4.已知a、b不共线，且c =λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，若c与b共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a =λ1e1+λ2e2，则a与e1_____，a与e2_________(填共线或不共线).
（五）、小结：1、平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ
??1
e1+λ2e2.2、注意几个问题① e1、
，且它是这一平面内所有向量的一组基底.② 这个定理也叫共面向量定理.③λ1，e2必须不共线．．．．．λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量.④同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性．．．．．．组合.
(六)、课后作业：见P100练习1、2题.
1、1kg的重物在两根细绳的支持下，处于平衡状态（如图），已知两细绳与水平线分别成30?, 60?角，问两细绳各受到多大的力？
解：将重力在两根细绳方向上分解，两细绳间夹角为90?
?|OP|=1 (kg) ?P1OP=60? ?P2OP=30?
∴|OP1|=|OP|cos60?=1?
???????????????1=0.5 (kg) 230? 60? P1 |OP2|=|OP|cos30?=1?
3=0.87 (kg) 2P2 P
即两根细绳上承受的拉力分别为0.5 kg和0.87 kg
?????2、如图 ABCD的两条对角线交于点M，且AB=a，AD=b，
?????????????????用a，b表示MA，MB，MC和MD
解：在 ABCD中
D ???CM B?? ∵AC=AB+AD=a+b
??????b A ?? DB=AB?AD=a?b
???????????1?1??1?1? ∴MA=?AC=?(a+b)=?a?b
2222a ??? 16
???111??1?1?1?1?MB=DB=(a?b)=a?b MC=AC=a+b
2222222?????1?1?1?MD=?MB=?DB=?a+b
222???????????3、 如图，在△ABC中，AB=a, BC=b，AD为边BC的中线，G为△ABC的重心，求向量AG
??? A a B
b D C
A Ea GFB
b D C
????? EF=2?2?3BC=3b 五、教课反思：
???BC??1：∵AB=a??解法, =b???? 则BD=1???1?2BC=2b ???????????∴AD=AB+BD=a?+1??2???2b而AG=3AD
???∴AG=2?1?3a+3b
解法2：过G作BC的平行线，交AB、AC于E、F ?????∵△AEF∽△ABC ∴ AE2?=
23AB=
3a? ?EG??=1???1??????????2?1?2EF=3b ∴AG=AE+EG=3a+3b
17
第六课时 2.4平面向量的坐标（一）
一、教学目标：
1.知识与技能：（1）掌握平面向量正交分解及其坐标表示.（2）会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.（3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
2.过程与方法：教材利用正交分解引出向量的坐标，在此基础上得到平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示；最后通过讲解例题，巩固知识结论，培养学生应用能力.
3.情感态度价值观：通过本节内容的学习，使同学们对认识到在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系（即点或向量都可以看作有序实数对的直观形象）；让学生领悟到数形结合的思想；培养学生勇于创新的精神. 二.教学重、难点
重点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示. 难点: 平面向量线性运算的坐标表示及向量平行的坐标表示.
三.学法与教法： (1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机. 四.教学过程 【创设情境】
（回忆）平面向量的基本定理（基底） a=λ
?1
e1+λ2e2
其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合. 【探究新知】
（一）、平面向量的坐标表示
1．在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 思考：在坐标系下，向量是否可以用坐标来表示呢？
取x轴、y轴上两个单位向量i, j作基底，则平面内作一向量a?xi?yj
记作：a=(x, y) 称作向量a的坐标
????????如：a=OA=2i?2j=(2, 2) b=OB=2i?j=(2, ?1)
??c=OC=i?5j=(1, ?5)i=(1, 0) j=(0, 1) 0=(0, 0)
2、由以上例子让学生讨论：①向量的坐标与什么点的坐标有关？②每一平面向量的坐标表示是否唯一的？③两个向量相等的条件是？（两个向量坐标相等）
18
???（二）、平面向量的坐标运算 [展示投影]思考与交流： 直接由学生讨论回答：
c y
A
?O ?????B 思考1．（1）已知a(x1, y1) b(x2, y2) 求a+b，a?b的坐标
??(2)已知a(x, y)和实数λ, 求λa的坐标
C ????解：a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)=(x1+ x2)i+ (y1+y2)j即：a+b=(x1+ x2,y1+y2)
?a b x ????同理：a?b=(x1?x2, y1?y2)λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj∴λa=(λx, λy)
结论：①.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.
②.实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。 思考2.已知A(x1,y1),B(x2,y2)你觉得
????????????AB的坐标与A、B点的坐标有什么关系？
A(x1, y1)
y
B(x2, y2)
O
x ∵
AB=OB?OA=( x2, y2) ? (x1,y1)
= (x2? x1, y2? y1)
结论：③.一个向量的坐标等于表示此向量的有向
线段终点的坐标减去始点的坐标。
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例1.（教材P104例2） 例2. （教材P104例3）
例3.已知三个力F1 (3, 4), F2(2, ?5), F3(x, y)的合力F1+F2+F3=0
求F3的坐标.
解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3, 4)+ (2, ?5)+(x, y)=(0, 0)
即：??3?2?x?0?x??5 ∴? ∴F3(?5,1) ?4?5?y?0?y?1B y C D2 例4.已知平面上三点的坐标分别为A(?2, 1), B(?1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点。 D1 A O x 解：当平行四边形为ABCD时，
仿例2得：D1=(2, 2)
D3 当平行四边形为ACDB时，仿例2得：D2=(4, 6)；当平行四边形为DACB时，仿例2得：D3=(?6, 0)
19
【巩固深化，发展思维】
??1?1．若M(3, -2) N(-5, -1) 且 MP?MN, 求P点的坐标；
2???解：设P(x, y) 则(x-3, y+2)=
11(-8, 1)=(-4, ) 224x??1??3?x?3????y?2?1 ∴?y??3 ∴P点坐标为(-1, -)
2??22?????2．若A(0, 1), B(1, 2), C(3, 4) 则
AB?2BC=(-3,-3) ???3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4), C(1, 3), D(5, -3) 求证：四边形ABCD是梯形。
???解：∵∴
AB=(-2, 3) DC=(-4, 6) ∴AB=2DC
???????????????AB∥DC 且 |AB|?|DC| ∴四边形ABCD是梯形
?????? 【学习小结】 （学生总结，其它学生补充）①向量加法运算的坐标表示.②向量减法运算的坐标表示.③实数与向量的积的坐标表示. 五、评价设计
作业：习题2--4 A组第1，2，3，7，8题． 六、教后反思：
20
21????????0???2?????32∴???? AG=AD
1113??????0???23?2???????2例6.设AB=(a+5b)，BC=?2a + 8b，CD=3(a ?b)，求证：A,B,D三点共线。
2???证：AD=
??????AB+BC+CD=
??????2(a+5b) + ( ?2a + 8b) + 3(a ?b) 2= (1+
222)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b) 222?????????2而AB=(a+5b) ∴AD= (2+ 1)AB又∵AD, AB有公共点 ∴A,B,D三点共线
2???例7.设作用于同一点O的三个力F1、F2、F3处于平衡状态，如果| F1|=1，|F2|=2，F1与F2的夹角为
2?.求①.F3的大小；②.∠F3OF2的大小. 3解：①F1、F2、F3三个力处于平衡状态，故F1+F2+F3=0，即F3= -（F1+F2）.
∴| F3|=| F1+F2|= ?(F1?F2)2?F12?F22?2F1?F2
2??3 3y1?4?2?1?2cos②如图：以F2所在直线为x轴，合力作用点为坐标原点，建立直角坐标系.将向量F1、F3
正交分解，设∠F3OM=?
由受力平衡知
F1MNQF2x2??|F|cos??|F|cos(??)?|F2|1?33 ?2???|F3|sin??|F1|cos(?)32???5?解之得??于是∠F3OF2????
666PF3作业布置：1、写出你学习本章的复习小结或心得体会以及对今后的学习有何计划. 2、完成教材P126---127中A组习题第4---10题.3、（选做）复习题2的B组试题. [课后反思]
46
第十五课时第二章平面向量小结与复习课（二）
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。 2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：||a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|(试问：取等号的条件是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a|+|b|)=|a－b|+|a+b|. 5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）： 6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，a2b=|a||b|cos?=x1x2+y1y2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法” 二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直 三、典型例题
例1.对于任意非零向量a与b，求证：｜｜a｜-｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜+｜b｜
证明：(1)两个非零向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b的方向都不同，并且｜a｜-｜
2222b｜＜｜a±b｜＜｜a｜+｜b｜
(3)两个非零向量a与b共线时，①a与b同向，则a+b的方向与a.b相同且｜a+b｜=｜
a｜＋｜b｜.②a与b异向时，则a+b的方向与模较大的向量方向相同，设|a|＞|b|，则
|a+b|=|a|-|b|.同理可证另一种情况也成立。
例2 已知O为△ABC内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设OA=a，OB=b，OC=c， 且|a|=2，|b|=1，| c|=3，用a与b表示c i j
解：如图建立平面直角坐标系xoy，其中i, j是单位正交基底向量, 则B（0，1），C（-3，0），
47
设A（x，y），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-
3），也就是
a=i －3j, b=j， c=-3i所以-3a=33b+c|即c=3a－33b
例3.下面5个命题：①|a2|b|②(a2则a2c=b2b|=|a|2b)=a2b③a⊥(b－c)，c ④a2b=0，则|a+b|=|a－b|⑤a2b=0，则a=0或b=0，其中真命题是（ ） A①②⑤ B ③④ C①③ D②④⑤
??????2例4.设AB=(a+5b)，BC=?2a + 8b，CD=3(a ?b)，求证：A,B,D三点共线。
2222???证：AD=
??????AB+BC+CD=
??????2(a+5b) + ( ?2a + 8b) + 3(a ?b) 2= (1+
222)a + (5 + 5)b = (1+)(a + 5b) 222???2而AB=(a+5b) ∴AD= (2+ 1)AB
2?????????又∵AD, AB有公共点 ∴A,B,D三点共线
例5.已知：A(1,?2)，B(2,1)，C(3,2)，D(?2,3)，①求证：A，B，C三点不共线
???②以
AB、AC为一组基底来表示AD+BD+CD
???????????????解：①∵
AB=(1,3), AC=(2,4) ∵134?332?0 ∴AB AC
????????? ∴A，B，C三点不共线
②AD+BD+CD=(?3,5)+(?4,2)+(?5,1) = (?12,8)
设：AD+BD+CD= mAB+ nAC 即：(?12,8) = (m + 2n, 3m + 4n)
?????????????????12?m?2n?m?32 ∴? ∴AD+BD+CD= 32AB?22AC ???8?3m?4n?n??22??????????????????例6.求证：|a + b |≤|a| + |b|
证：|a + b |= (a + b) = |a| + |b| + 2a?b = |a| + |b| + 2|a||b|cos?
≤ |a| + |b| + 2|a||b| = ( |a| + |b| )
即：|a + b |≤|a| + |b|
48
2
2
2
2
2
2
2
2
2
四、巩固训练
1.下面5个命题中正确的有（ ）D ①a=b?a2c=b2c； ②a2c=b2c?a=b；③a2（b+c）=a2c+b2c； ④
（b2c）=（a2b）2c； ⑤a2
a?ba2a?. bA..①②⑤ B.①③⑤ C. ②③④ D. ①③ 2.下列命题中，正确命题的个数为（ A ）
①若a与b是非零向量 ，且a与b共线时，则a与b必与a或b中之一方向相同；②若e为单位向量，且a∥e则a=|a|e ③a2a2a=|a| ④若a与b共线，a与c共线，则c与b共线；⑤若平面内四点A.B.C.D，必有AC+BD=BC+AD A 1 B 2 C 3 D 4 3、已知：|a| =围。
解：由题设：a?b = |a||b|cos? = 33
2
32，|b| = 3，a与b夹角为45?，求使a+?b与?a+b夹角为锐角的?的取值范
23
2222
= 3，(a+?b)?(?a+b) =?|a| +?|b| + (? 22
+ 1)a?b = 3? + 11? + 3 ∵夹角为锐角 ∴必得3? + 11? + 3 > 0
∴ ???11?85?11?85或?? 664、已知四边形ABCD的顶点分别为A(2,1)，B(5,4)，C(2,7)，D(-1,4),求证：四边形ABCD为正方形。
5、a、b为非零向量，当a + tb(t?R)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a + tb垂直 解：① |a + tb| = |a| + t|b| + 2t| ∴当t =?2
2
2
2
2a?ba?b时, |a + tb|最小 ??2|b|2|b|五、作业布置：完成教材P126---127中A组习题第11---15题. （选做）复习题2的C组试题. 六、教后反思：
49
百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库北师大版高中数学必修4第二章《平面向量》全部教案姚连省编制在线全文阅读。
相关推荐：