概率统计练习册习题解答

1.填空题

（1）．设随机变量X与Y相互独立且X～N(?,?2)，Y～?2(n)，则Z?X??n～t(n)。 Y?　)，而X1,X2,?,X15是来自总体X的简单随机样本，则随机（2）设总体X服从正态分布N(0,12X12???X10变量Y?~F(10,5)分布。 222(X11???X15)（3）设U~?2(n1),V~?2(n2)，且U，V相互独立，则F?2.选择题

（1）F0.95(7,9)?（ D ）。 （A）F0.95(9,7) （B）

2V/n2~F(n2,n1)。 U/n1111 （C） （D）

F0.05(9,7)F0.05(7,9)F0.95(7,9)2（2）设总体X～N(?,?)，其中?已知，?未知，X列各项中不是统计量的是（ A ）。

1,X2,X3是从中抽取的简单随机样本，下

1222(X?X?X)(X1?X2?X3) （B） （C） （D）X?3?max(X,X,X)231123?2131（3）设随机变量X~t(n)(n?1),Y?2，则（ C ）。

X（A）(A) Y~1?2(n) (B) Y~?2(n?1) (C) Y~F(n,1) (D) Y~F(1,n)

3．设某种电灯泡的寿命X服从指数分布E(?)，从中抽取100只灯泡，求这一简单随机样本

X1,X2,?,X100的联合概率密度函数。

f(x1,x2,?,x100)??f(xi)??ei?1100100???xii?1100解：

其中

xi?0,i?1,2,?,100

4.抽取10只辽宁绒山羊产绒量（单位：g）：450,450,500,500,500,550,550,600,600,650,试利用计算器计算其样本均值、样本方差和标准差。

140x?xi??40i?1解：样本均值 535 140s??(xi?x)2?39i?1样本方差 4472.222 2140s?(xi?x)2??39i?1样本标准差66.875

20

5.设X1,X2,?,X5是独立且服从相同分布N(0,1)的随机变量，

(1)试给出常数c，使得c?(X12?X22)服从?2分布，并指出它的自由度； (2)试给出常数d，使得d?X1?X2X3?X4?X5222服从t分布，并指出它的自由度.

222X?X??(2)，所以c?1，自由度为2。 12解：（1）因为

（2）因为X1?X22?t(3)222X3?X4?X53d?32，自由度为3. ，所以6.附加题

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.（2005年数学三）

求：（I） Yi的方差D(Yi),i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

解：（I）D(Yi)?D?Xi?X??D(Xi)?D(X)?2Cov(Xi,X)???2?2n?2Cov(Xi,Xi)n ??? （II）2?2n?2??2(n?1)?2n?n Cov(Y1,Yn)?Cov(X1?X,Xn?X)??Cov(X1,X)?Cov(Xn,X)?Cov(X,X) ???2n??2n??2n???2n 习题5—3 正态总体统计量的抽样分布

1.填空题

（1）设X1,?,X7为总体X~N(0,0.5)的一个样本，则P(27?Xi?12i?4)?0.025

?2（2）设总体X~N(?,?)，X1,X2,?,Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D(X)?．

n22.选择题

（1）假设总体X～N(1,且X～N(?,

22)，X1,X2,?,X100是来自总体X的一个样本，X为其样本均值，

。 ?2)，则下列成立的是（ D ）

21

（A）?=1，?=0.04 （B）?=100，?=0.2 （C）?=0.01，?=0.04 （D）?=1，?=0.2 （2）设X1,X2,?,X100为来自总体X~N(?,42)的一个样本，而Y1,Y2,?,Y100为来自总体

Y~N(?,32)的一个样本，且两个样本独立，以X,Y分别表示这两个样本的样本均值，则X?Y所服从的分布是（ B ）。 （A）N?0,?7??1? （B）N??0,? （C）N(0,7) （D）N(0,25)

?100??4?3．从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n至少应取多大？

?n???1.4?3.4X?3.45.4?3.4?n?P(1.4?X?5.4)?P????????????3???3??6n6n6n?????? 解：由题意?n??2???3???1?0.95?? ， ?n?n???1.96?3???0.975??即，查表得，3，所以n?34.5744，样本容量n至少应取35. 4. 从正态总体N(?,0.5)中抽取容量为10的样本X1,X2,?,X10， （1）已知??0，求

（2）未知?，求??Xi?X??2.85的概率. ?Xi?4的概率；

2i?1i?1101022?Xi?0?2??(10)2???X?N(0,0.5)解：（1）当??0时，因为i，则i?1?0.5?， ?10?Xi?0?2??102?2P??Xi?4??P????16?P(??16)?????i?1??i?1?0.5??所以， 查附表4得上述概率为0.1。 102?Xi?X?2??(9)???2X?N(?,0.5)，则i?1?0.5??（2）当为未知时，因为i， 102所以?10?X?X?2?2?10?2iP???Xi?X??2.85??P????10.4?P??11.4???????i?1??i?1?0.5??P??2?11.4??0.252， 查附表4得，故上述概率为0.75.

25.设总体X~N(50,6)，总体X~N(46,4)，从总体X中抽取容量为10的样本，其样本方差计 为S1；从总体Y中抽取容量为8的样本，其样本方差记为S2，求下列概率：

22?S12??（1）P(0?X?Y?8)； （2）P?2?8.28?? S?2?

22

U?解：（1）因为(X?Y)?(50?46)6242?108?X?Y?4?N(0,1)5.6 ?0?4X?Y?48?4?P?0?X?Y?8??P??????(1.69)??(?1.69)5.65.6??5.6则 ?2?(1.69)?1?0.909

S12/624S12F?22?~F(9,7)2S2/49S2（2）因为 ?S12??4S12?P?2?8.28??P??3.68??P?F?3.68?2S9S??2?则?2 查附表6得

F0.05(9,7)?3.68，即P?F?F0.05(9,7)??P?F?3.68??0.05

?S12?P?2?8.28??P?F?3.68??1?P?F?3.68??0.95S?由此得所求的概率?2 6．附加题

设总体X~N(?,?2)(??0)，从该总体中抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2)，其样本的均

n12n2值X?求统计量的数学期望E(Y)。(2001年数学一) X,Y?(X?X?2X)??iin?i2ni?1i?1n?n2?E(Y)?E??(Xi?Xn?i?2X)???E(Xi?Xn?i?2X)2?i?1?i?1解： nn22??E(Xi?X?Xn?i?X)???E(X?X)?E(X?X)?2E(Xi?X)(Xn?i?X)?in?i??2i?1i?1 ?2?2??22?????????2E(Xi?X)(Xn?i?X)?2n2ni?1?? n?2?2??2???222?????????2?????2(n?1)?2n2ni?1??2n?? n

习题6-1 点估计

1. 选择题

（1）设X1,X2,???,Xn是取自总体X的一个简单随机样本，则E(X)的矩估计是（ D ）

2221n1n22222S?XS?X（A）S?（B）（C）（D） (X?X)S?(X?X)12??i2in?1i?1ni?121 23

（2）设X1,X2,???,Xn为总体X的一个简单随机样本，E(X)??,D(X)??2，

2???C?(Xi?1?Xi)2为 ?2的无偏估计，C＝（ C ）

i?1n?1（A）1/n （B）1/n?1 （C） 1/2(n?1) （D） 1/n?2

22（3）设总体X服从正态分布N?,?,X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则?的最大似然估计为

??（ A ）

221n1n1n2（A）??Xi?X? （B）Xi?X? （C）?Xi （D）X2 ??ni?1n?1i?1ni?1（4）设总体X服从正态分布N(?,?2)，X1,X2是从此总体中抽取的一个样本．下面几个都是?的无偏估计，最有效的估计量是 ．

?1?（A）?

211311?2?X1?X2 （C）??3?X1?X2 （D）X1 X1?X2 （B）?3344222. 设总体X具有分布律 ： X 1 2 3 p ?2 2?(1??) (1??)2 其中?(0???1)为未知参数，已知取得了样本值x1?1，x2?2，x3?1试求?的矩估计值和最大似然估计值。

?1?E(X)??2?4?(1??)?3(1??)2解： 即：x?3?2? ???

3?x3?4/35??226为?的矩估计 L(x1,x2,x3;?)??2?2?(1??)??2?2?5?2?6

45?L(?)?10??12??0 求导

??? 3. 设总体X的概率密度为

105?126 ??x??1, f(x)???0,0?x?1其它

X1,X2,?,Xn是来自总体X的样本，求?的矩估计和最大似然估计。

24

苏州科技学院

《概率论与数理统计》

活页练习册习题解答

信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组

2013年12月

习题1-1 样本空间与随机事件

1．选择题

（1）设A,B,C为三个事件，则“A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A）AB?AC?BC （B）A?B?C （C）ABC?ABC?ABC （D）A?B?C （2）设三个元件的寿命分别为T1,T2,T3，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t”可表示为（ D ）

A ?T1?T2?T3?t? B ?TT12T3?t? C min?T1,T2,T3??t D max?T1,T2,T3??t 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间?与随机事件A：对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A表示“射击次数不超过5次”。

?????1，2，3，??；A＝?1，2，3，4，5?。 解：?＝3．设某工人连续生产了4个零件，Ai表示他生产的第i个零件是正品（i?1,2,3,4），试用Ai表示下列各事件：

（1）只有一个是次品；

A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4 A1?A2?A3?A4 。 （2）至多有三个不是次品；习题1-2 随机事件的概率及计算

1．填空题

（1）已知A?B，P(A)?0.4，P(B)?0.6，则

P(A)? 0.6，P(AB)? 0.4，

P(AB)? 0 ，P(AB)? 0.4。

（2）设事件A与B互不相容，P(A)?0.4,P(B)?0.3，则P(AB)= 0.3 ，P(A?B)= 0.6 。 2．选择题

（1）如果P(AB)?0，则（ C ）

(A) A与B互不相容 (B) A与B互不相容

(C) P(A?B)?P(A) (D) P(A?B)?P(A)?P(B) (2) 两个事件A与B是对立事件的充要条件是（ C ）

（A） P(AB)?P(A)P(B) （B）P(AB)?0且P(A?B)?1 （C） AB??且A?B?? （D）AB??

1

3．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率； （3）5只中至多有一只坏的概率。

5C37p1?5C40=0.6624 解：（1）3C37C32p2?5C40（2）=0.0354 415C37C3?C37p3?5C40（3）=0.963 4．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率；

（2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

rP365 解：（1）设A?“他们的生日都不相同”，则P(A)?；

365r （2）设B?“至少有两个人的生日在同一个月”，则

21222321C4C12P4111?C4C12?C4P12?C12 P(B)?； ?124964P4112或 P(B)?1?P(B)?1?4?.

1296习题1-3 条件概率

1．选择题：

（1）设A，B为两个相互对立事件，且P(A)?0，P(B)?0，则( C )。

（A）P(BA)?0 （B）P(AB)?P(A) （C）P(AB)?0 （D）P(AB)?P(A)P(B) （2）一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为p，第二道工序的废品率为q，则该

零件加工的成品率为（ Ｃ ）

（A） 1?p?q （B）1?pq （C）1?p?q?pq （D）(1?p)?(1?q) 2．填空题:

(1) 已知P(A)?0.5,P(A?B)?0.6,若A、B互不相容，则P(B)? ０.１ ；若A、B相互独立，则P(B)? ０.２ . (2) 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，该射手的命中率___p?

2

__。 3

2

3．为防止意外，在矿内同时安装了两种报警系统A与B，每种报警系统都使用时，对系统A其有效

的概率是0.92，对系统B其有效的概率为0.93，在A失效的条件下，B有效的概率为0.85.求：（1）发生意外时，这两种报警系统至少有一个有效的概率；（2）B失灵的条件下，A有效的概率。 解：设A?“报警系统A有效”，B?“报警系统B有效” 则 （1）P(A?B)?1?P(AB)?1?P(A)P(BA)?1?0.08?0.15?0.988 （2）因为：P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)?0.92?0.93?0.988?0.862

P(AB)?

P(AB)P(A)?P(AB)0.058???0.829P(B)1?P(B)0.07 4．玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8，0.1，0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，售货员随意取一箱，顾客开箱随意地察看四只，若无残次品，则买下该箱，否则退回.试求：

（1）顾客买下该箱的概率?；

（2）在顾客买下的一箱中，确无残次品的概率?.

2 解 设A?“顾客买下该箱”，B?“箱中恰有i件残次品”，i?0,1,，

（1）

??P(A)?P(B0)P(A|B0)?P(B1)P(A|B1)?P(B2)P(A|B2)

44C19C18?0.8?0.1?4?0.1?4?0.94C20C20 ； ??P(B0|A)? （2）P(AB0)0.8??0.85P(A)0.94. 5．据数据显示，每1000名50岁的低风险男性中，有3名患有结肠癌.如果一名男性患有结肠癌，

那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是50%，如果一名男性没有患有结肠癌，那么大便隐血检查表明有隐血的可能性是3%．如果对一名低风险男性进行的隐血检查表明有隐血，那么他患有结肠癌的概率是多少？

解 设A=“50岁男性患有结肠癌”，B=“大便隐血检查呈隐血” 由题意，P(A)?0.003，P(A)?0.997，P(BA)?0.50，P(BA)?0.03 由贝叶斯公式（1.3.5），

P(AB)?P(A)P(BA)P(AB)0.003?0.5???0.047755

P(B)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)0.003?0.5?0.997?0.03习题2-1 随机变量及其分布函数

1．判断下列函数能否为某随机变量的分布函数.（ ）

3

??0,??F1(x)??sinx,??1,??解：

?0,?0?x?, F2(x)??ln(1?x)2,?1?x??x?.2x?0,?x?0,x?0.

F1(x)是；F2(x)不是，因为F2(??)?0?1.

.

习题2-2 离散型随机变量

1． 填空题

(1) 设随机变量X的分布律为:P?X?k??a, k?1,2,?，N，试确定a?___1______。 N(2) 一批产品共100个，其中有10个次品，从中放回取5次，每次取一个，以X表示任意取出的产品中的次品数，则X的分布为 B(5,0. 1 ) 。

(3) 某射手对一目标进行射击，直至击中为止，如果每次射击命中率都是p，以X

k?1P(X?k)?(1?p)p,k?1,2,?. 。 表示射击的次数，则X的分布律为 2. 将编号为1,2,3,4的四个球随机地放入3个不同的盒子中，每个盒子所放球的个数不限，以X表示放球最多的盒子中球的个数，试求X的分布列及其分布函数F(x).

1212131C3C4?2?C3C42C3C4?28C31P(X?2)??P(X?3)??P(X?4)??343；3427；3427. 解：x?2,?0,??2,2?x?3,?3?F(x)??2826?,3?x?4,???327271?28???1,x?4.??32727

3． 设某城市在一周内发生交通事故的次数服从参数为0.3的泊松分布,试问

(1) 在一周内恰好发生2次交通事故的概率是多少？ (2) 在一周内至少发生1次交通事故的概率是多少？ 解：设一周内发生交通事故的次数为X，则X~P?0.3?。

0.32?0.3P?X?2??e?0.03332!（1） 。

4

0.30?0.3P(X?1)?1?P(X?0)?1?e?1?e?0.3?0.2590!（2） 。

4．某人购买某种彩票，若已知中奖的概率为0.001，现购买2000张彩票，试求：（1） 此人中奖的

概率；（2）至少有3张彩票中奖的概率（用泊松分布近似计算）。

解：设中奖的彩票数为X，则X?B(2000,0.001).

2000P(X?1)?1?P(X?0)?1?(0.999)?0.8648. （1）

（2）由于2000?0.001?2，故

P(X?3)?1?P(X?0)?P(X?1)?P(X?2)

202122?2?1?(??)e?1?5e?2?0.32330!1!2!.

习题2-3连续型随机变量

1. 设连续型随机变量X的密度函数为

?ax2,0?x?1,?f(x)??2?x,1?x?2,

?其他.?0,13试求：（1）常数a的值；（2）随机变量X的分布函数；（3）P(?X?)。

22解：（1）由于1??????f(x)dx??ax2dx??(2?x)dx?0112a13?a?32. 故2. （2）当x?0时，F(x)?0；

当0?x?1时，F(x)??F(x)??x0321tdt?x322； 当1?x?2时，x321tdt??(2?t)dt?2x?x2?10212； 1 当x?2时，F(x)?1. 故，

5

?0,??1x3,?2F(x)????1x2?2x?1,?2?1,?x?0,0?x?1,1?x?2x?2. 13321313P(?X?)??x2dx??(2?x)dx?1221216. （3）2?A(1?e?x)，x?02. 设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??,

0，x?0?试求：（1）系数A；（2）X的密度函数；（3）P(1?X?3)。 解：（1）由F(??)?1知，

1?limF(x)?limA(1?e?x)?Ax???x???。

?e?x,x?0;f(x)?F?(x)???0,x?0. （2）

?3?1?1?3P(1?X?3)?F(3)?F(1)?1?e?1?e?e?e （3）。

????3. 设K在(0，5)内服从均匀分布, 求方程4x2?4Kx?K?2?0有实根的概率。

解：所求的概率为：

P(16K2?16?K?2??0)?P?K?2或K??1??P?K?2??P?K??1???5213dx?0?.55 4. 某种型号的电子管寿命X (以小时计)具有以下概率密度

?1000?2，x?1000f(x)? ， ?x??0，其他现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）, 任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500

小时的概率是多少？

P(X?1500)?解： 从而所求概率为

0?1?1?C5???3?51?C510002dx??1500x23??。 2?1???3?3?4?1?1135。

（3，4）5. 设连续型随机变量X~N，（1）求P?（2）确定常数C使2?X?5?,PX?2；

P?X?C??P?X?C?。

?? 6

?5?3??2?3?P(2?X?5)??????????(1)??(?0.5)22??????(1)??1???0.5???0.5328解：（1） P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2???2?3???2?3???1?????????????0.5??1???2.5??0.697722?????? （2）由于P?X?c??P?X?c?，从而，P?X?c??12。 ??0??故1?c?3?c?3?P?X?c??????02?2?。所以，2,故c?3。 习题2-4 二维随机变量及其分布

1．一箱子装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件。现从中随机抽取一件，

记

?1,若抽到一等品,?1，若抽到二等品, X2?? X1??0,其他.0，其他.??试求(X1,X2)的联合分布列。 解： P?X1?1,

X2?1??0;X2?0??P?X1?1??80?0.8;10010X2?1??P?X2?1???0.1;1002. 完成下列表格

10X2?0???0.1。100P?X1?1,P?X1?0,P?X1?0,Y X y1 0.1 0.2 0.3 y2 0.1 0.2 0.3 y3 0.2 0.2 0.4 pi. 0.4 0.6 1 x1 x2 p.j

3．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为：

?x2?cxy,f(x,y)???00?x?1,0?y?2其他，

求：（1）常数c；（2）P{X?Y?1}；（3）X和Y的边缘密度函数。

解：（1）

1???10?12?0?x?cxy?dydx?3?c,c?3 22?7

?1?x?217??P?X?Y?1????dx??x?xy?dy??0??0372????1。 求X的边缘密度函数： 当

fX?x??x?0或x?1时，

?f?x,y?dy。 fX?x??0；

???? 当0?x?1时，求Y的边缘密度函数：

fX?x???202?21?2x?xydy?2x?x??33。 ??f?x,y?dx。当

fY?y??1?????y?0或y?2时，fY?y??0；

当0?y?2时，fY?y??11?21?x?xydx??y???0?336。 ?4. 设(X,Y)服从G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上的均匀分布，求：

（1）(X,Y)的联合概率密度函数；（2）P{Y?X2}；（3）X和Y的边缘密度函数。 解：（1）由（X，Y）服从G上的均匀分布知，（X，Y）的联合密度为：

?1?,f?x,y???2??0,PY?X（2）0?x?2其他。2,0?y?1; ????204?x21?dy?dx???3。 ?02?（3）先求X的边缘密度： 当

fX?x??时

，

?????f?x,y?dy；

。 当

x?0或x?2fX?x??00?x?2时，

fX?x???1011dy?22。 fY 再求Y的边缘密度函数：

?y???????f?x,y?dx

当

y?0或y?1时，fY?y??0；当0?y?1时，fY?y???201dx?12。 习题2-5 条件分布及随机变量的独立性

1．设二维离散型随机变量(X,Y)只取 (0,0),(?1,1),(?1,2) 及 (2,0) 四对值，相应概率依次为

1115, , , ，试判断随机变量X与Y是否相互独立。 126312

8

1P(X?0)?,12解：由于P?X?0, 而所以，X与Y不独立。

151P?Y?0????,12122 11?P?X?0?P?Y?0??,1224 Y?0??2. 设随机变量X与Y相互独立，试完成下表：

Y X x1 y1 1/24 1/8 1/6 y2 1/8 3/8 1/2 y3 1/12 1/4 1/3 pi. 1/4 3/4 x2 p.j

1 3．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

??1,0?x?1,0?y?2x,f(x,y)??

0,其他.??试判定X与Y是否相互独立。 解：

fX(x)??????f(x,y)dy.

2x当x?0或x?1时，

fX(x)?0；当0?x?1时，fX(x)??01dy?2x.

.

fY(y)??????f(x,y)dx当y?0或y?2时，fY(y)?0；当0?y?1时，fY(y)??1dx?1?y21y2. 由于当(x,y)?{0?x?1,0?y?2x}时，

f(x,y)?fX(x)?fY(y)，

且区域{0?x?1,0?y?2x}的面积不为0，所以，X与Y不相互独立.

4. 设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

?cxy20?x?1,0?y?1， f(x,y)??其他?0求常数c，并判断X与Y是否相互独立。

9

解：1???????????1c?f?x,y?dxdy????cxy2dy?dx?,?0?0?6从而，c1?6。 求X的边缘密度：当

fX?x???????f?x,y?dy。

x?0或x?1时，fX?x??0；

当0?x?1时，

fX?x??fY?106xy2dy?2x??。

求Y的边缘密度函数： 当

?y?????1f?x,y?dx。

y?0或y?1时，fY?y??0；

fY?y??0?y?1时，

当

由于对任x，y，有

?06xy2dx?3y2。

f?x,y??fX?x?fY?y?。所以，X与Y相互独立。

?1?y/2?e,fY(y)??2??0,y?0． y?025．设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,1）内服从均匀分布，Y的概率密度为

（1）求X与Y的联合概率密度；（2）设关于a的二次方程为 a?2Xa?Y?0，求此方程有实根的概率。

?1,?0,f(x)解：由X~U(0，1)知X的密度为：X=?由X与Y独立知，(X,Y)的一个联合密度为：

y?1?2?e,x(?f)Yy(?)?2?0,?0?x?1;其他.

f(x,y)?fX0?x?1,y?其他.0; 方程有实跟的概率为：

22P(4X?4Y?0)?P(X?Y?0)??0 11(?x20x1?21?edy)dx?1?e2dx?02 y2?1?2?(? 12???e?x22dx??012???e?x22dx)?1?2?(?(1)??(0)0.482??)1?7。 习题2-6 随机变量函数的分布

1．设随机变量X的分布列为

X

-2 -1 10

0 1 pk 1/6 21/3 1/6 1/3 试求：(1)Y?2X?1，(2)Z?X解：

的分布列。

2．设

随机变量

Y?2X?1 ?5 pk ?3 13 ?1 1 Z?X2 pk 0 1 4 16 14 15 16 23 16 Y?eX的密度函数。 X?U(0,，试求1)??1,0?x?1,f(x)??xX0,其他.?X?U(0,1)y?g(x)?e?Y?e解：由知其密度函数为设，函数. 则

??min{g(??),g(??)}?0，??max{g(??),g(??)}???.所以，当y?(0,??)时，fY(y)?f(lny)111?f(lny)fY(y)?yy.从而，当0?lny?1，即1?y?e时，y。 ?1?x?0,0?x?2,试求Y?X2的密度函数fY(y)。 其他.?1?2,??13．设连续型随机变量X的密度函数为 f(x)??,?4?0,??2F(y)F(y)?P(Y?y)?P(X?y). YYY解：先求的分布函数，在对其求导数.

y当y?0时，FY(y)?0，故fY(y)?0；当y?0时，1FY(y)??dx?2?y0yFY(y)?P(?y?X?y)??y?f(x)dx. ?y??1，即0?y?1时，当?y??1且当?013dx?y4401?3fY(y)?FY?(y)?y28，故，； yy?2，即1?y?4时，1FY(y)??dx?2?1?0111dx??y424，故，1?1fY(y)?FY?(y)?y28； 当

?y??1且y?2，即4?y时，FY(y)?1，故fY(y)?0. ?2(1?x),?0,0?x?1， 求函数Y?2X?3 的密

其它4. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??度函数fY(y)。

11

解： 解法一： FY(y)?P(Y?y)?P(2X?3?y)?P(X?y?3) 2?0??y?3? ???22(1?x)dx0??1??y?3?02y?30??1 2y?3?12?1?(5?y)3?y?5所以：fY(y)?FY?(y)??2 ?其他?0解法二：y?2x?3的反函数为：x?y?31，其导数：x?? 22y?3?1?1?2*(1?)3?y?5?(5?y)3?y?5??2代入公式：fY(y)?? 22??0其他其他??0

习题3-1 数学期望

1．填空题

（1）设二维随机变量(X,Y)?N(10,2,1,1,0)，则E(?2XY?Y?5)? 33 。 （2）设随机变量X?P(2)，Y?U(0,6)，若Z?2X?3Y?3，则E(Z)? -8 。 2．设X的分布列为：

X P 1 1 2 211111 366124-1 0 2求（1）E(X)；（2）E(?X?1)；（3）E(X)。

111111(1)E(X)?(?1)????1??2??3261243， 解：(2)E(?X?1)??E(X)?1?23， 1111135(3)E(X2)?(?1)2??()2??12??22??32612424。 E(X)?1?故14484432481?2??3???25625625625664。 3．设连续型随机变量X的密度函数为

12

0?x?1?x,?f(x)??2?x,1?x?2，

?0,其他?求（1）EX，（2）E|X?EX|。

解：

E(X)??????xf(x)dx??x?xdx??x(2?x)dx?101??1212，

E(X?EX)??

??x?1f(x)dx??0(1?x)xdx??1(x?1)(2?x)dx?13。 4．设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布列为

Y X 0 1 0 0.3 0.2 1 0.4 0.1 求：（1）E(X),E(Y)；（2）E(X?2Y),E(3XY)。 解：（1） X 0 0.5 1 0.5 pk E(X)?0. 5

Y 0 0.7 1 0.3 pk E(Y)?0. 3(2) E(X?2Y)?1?0.4?(?2)?0.2?(?1)?0.1??0.1，

?3E(XY?) E(3XY)?3?10.?1。

5．设(X,Y)服从在A上的均匀分布，其中A为x轴、y轴及直线x?y?1?0所围成的区域，求（1）E(X); （2）E(?3X?2Y) ;（3）E(XY)。 解：由题意知(X,Y)的联合密度为：

?2f(x,y)???0

（1）(x,y?)A其他0

0E(X)???????????xf(x,y)dxdy??(??1?x?12xdy)dx??13。 （2）E(?3X?2Y)??3E(X)?2E(Y)?1?2E(Y)

13

?1?2?????0?????0yf(x,y)dxdy

?1?2?(??1?1?y2ydx)dy?13。 （3）E(XY)???????????1xyf(x,y)dxdy?(?xy?2dy)dx12=?1?1?x=。 00

习题3-2 方差

1. 填空题

（1）设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1~U(0,6)，X2~N(0,4)，X3服从参数为3的泊松分布，记Y?X1?2X2?3X3，则D(Y)? 46 。

（2）已知X~U(?2,2)，Y?2X?1，则E(Y)?___113_____，D(Y)?__25645_______。

22X?Y?5)?（3）设二维随机变量(X,Y)?N(1,2,1,1,0)，则D(?分布为____N(5,5)______。

2. 设连续型随机变量X的分布函数为

Z??2X?Y___5_____，

0,x??1??21?F(x)??arctanx?,?1?x?1，

2??1,x?1??求（1）X的密度函数；（2）E(X),D(X)。

?21?f(x)???1?x2???0解：(1)由f(x)?F(x)知 E(X)????1?1?x?1其他 （2）????12xx2422xf(x)dx??dx?0E(X)?xf(x)dx?dx??1???1?1?x2???1?1?x2?，，2D(X)?E(X2)?(E(X))2?

4??1。 3．设随机变量X?P(?)且E[(X?1)(X?2)]?1，随机变量Y?B(8,)且X与Y相互独立，试求E(X?3Y?4)及D(X?3Y?4)。

222X?P(?)E(X)??D(X)??E(X)?D(X)?(E(X))????解：由知，. 所以，. 又

12 14

E(X)?1，D(X)?1. 1?E[(X?1)(X?2)]?E(X2)?3E(X)?2??2?2??2，故??1. 所以，1Y?B(8,)2，故E(Y)?4，D(Y)?2. 所以， 由于E(X?3Y?4)?E(X)?3E(Y)?4??15.

由于X与Y相互独立，故D(X?3Y?4)?D(X)?9D(Y)?19。

?12y2,0?y?x?14．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??,试求D(X)及D(Y)。

0,其它?E(X)??????解： ?????xf(x,y)dxdy??(?x?12y2dy)dx?001x1x45, 23, E(X2)???????????x2f(x,y)dxdy??(?x2?12y2dy)dx?00D(X)?E(X2)?(E(X))2? ????275, 1x E(Y)???????yf(x,y)dxdy??(?y?12y2dy)dx?001x35, 25, E(Y2)???????????2y2f(x,y)dxdy??(?y2?12ydy)dx?0023212D(Y)?E(Y)?(E(Y2)?)?(?)5525 。

习题3-3 协方差与相关系数

习题3-4 其他特征数

1．填空题

Y?U(0,6)且?XY?（1）设随机变量X?P(2)，

1X?3Y?3，，若Z?2则D(Z)?___23____。

6（2）设(X,Y)服从二维正态分布，则cov(X,Y)??是X与Y相互独立的 充要 条件。 （3）设(X,Y)服从二元正态分布N(0,1,1,4,0.5)，则E(2X?XY?3)?___4_____。 2. 选择题

（1）设X与Y的相关系数?XY?0，则必有 C 。 (A)X与Y相互独立； (B)X与Y不一定相关；

15

2(C)X与Y必不相关； (D)X与Y必相关

（2）设随机变量X与Y的期望和方差存在，且D(X?Y)?DX?DY,，则下列说法哪个是不正

确的 D 。

(A)D(X?Y)?DX?DY； (B)E(XY)?EX?EY； (C)X与Y不相关； (D)X与Y独立

YX3. 已知二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为 ?101?11/80011/81/81/81/8， 1/81/81/8（1）求协方差cov(X,Y)及相关系数?XY；（2）X与Y是否相互独立？是否不相关？ 解：X及Y的边缘分布列为： X ?1 0 1

Y ?1 0 1 pk 3 8 2 8 38 pk 3 8 28 38 1111(1)E(X)?0,E(Y)?0,E(XY)?1??1??1??1??08888。 故Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?0。所以，?XY?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?0。 P(X??1,Y??1)?(2)由于19?P(X??1)P(Y??1)?864 所以X与Y不独立。但?XY?0,故X与Y不相关。

4．设二维连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数为

2?0?y?x,?3x?2xy,0?x?1，f(x,y)??

其他.??0,试求：（1）相关系数?XY；（2）X与Y是否相互独立？是否不相关？

解：（1）E(X)??110??x014x(3x?2xy)dydx?E(Y)??05，2???x0y(3x2?2xy)dydx??1330， E(X2)??0??x0x2(3x2?2xy)dydx??12E(Y2)??03，??x0y2(3x2?2xy)dydx??14， 16

D(X)?E(X2)?(E(X))2?1214D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2?75，225。 E(XY)??0??x0xy(3x2?2xy)dydx??1313Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?36，900， ?XY?Cov(X,Y)13?21168D(X)D(Y)。 （2）由于

?XY?0，所以，X与Y相关. 从而，X与Y不相互独立.

习题4 大数定律与中心极限定理

1. 用切比雪夫不等式估计下列各题的概率：

（1）废品率为0.03，1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率。

（2）200个新生婴儿中，男孩多于80个且少于120个的概率（假定生男孩和生女孩的概率均为0.5）。

,0.03)， 解 （1）设X表示1000个产品中废品的个数，则X~B(1000所以 E(X)?np?1000?0.03?30, D(X)?np(1?p)?29.1 所求概率 P(20?X?40)?P(?10?X?30?10)?P(|X?30|?10) 在切比雪夫不等式

P(|X?E(X)|??)?1? 中取??10，就有

D(X)?2 P(20?X?40)?1? 29.1?0.709102。 1X~B(200,)2。 （2）设X表示200个新生婴儿中男孩的个数，则所以 E(X)?np?200?0.5?100, D(X)?np(1?p)?50 所求概率 P(80?X?120)?P(|X?100|?20) 在切比雪夫不等式

P(|X?E(X)|??)?1? 中取??20，就有

D(X)?2 17

P(80?X?120)?P(|X?100|?20)?1? 50?0.875220。

2. 已知正常成人男性血液中每毫升含白细胞数的平均值是7300个，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计血液中每毫升血液中细胞数在5200~9400之间的概率。

解 以X表示每毫升含白细胞数，由题设

2E(X)?730,0D(X)?700

而概率

P(5200?X?9400)?P(?2100?X?7300?2100)0210)0 ?P(|X?730|?

在切比雪夫不等式

中，取??2100，此时 1?D(X)?2?1?7002/21002?8/9，知 P(|X?7300|?2100)?8/9?0.8889。

3. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位。问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产。

解 设X表示同时开动机床的台数，则X~B(200, 0.7)

E(X)?np?200?0.7?140, D(X)?np(1?p)?200?0.7?0.3?42 又设同时开动台数不超过N的概率为95%。由中心极限定理

P(X?N)?P( X?npN?140N?140?)??()np(1?p)4242 N?140)?0.9542 ?(由题意要求 N?140?1.64542查表得 得N?150.67，取N?151，应供电能151?15?2265个单位才能满足要求。

4. 在人寿保险公司里有10000个同一年龄的人参加人寿保险。在这一年中，这些人的死亡率为0.6%，参加保险的人在一年的头一天交付保险费12元，死亡时，家属可以从保险公司领取1000元。求

(1)保险公司一年中获利不少于4000元的概率；

18

(2)保险公司亏本的概率。

,0.006)，由题意，保解 设X表示一年中10000个同龄参保人中死亡的人数，则X~B(10000险公司的收益为10000?12?120000元，支出为1000X。由中心极限定理

（1）保险公司一年中获利不少于40000元的概率为

P(120000?1000X?40000)?P(X?80) ?P(X?np60np(1?p)?80?59.64)??(2.59)?0.9952 （2）保险公司亏本的概率为

P(1000X?120000)?P(X?120)

?1?P(X?np?120?60 np(1?p)59.64)?1??(7.77)?0 可见保险公司一般不会亏本。

5. 设随机变量X1,X2,?,X48相互独立且都在[0，1]上服从均匀分布。148X?48?Xi，试用中心极限定理计算P(X?12?0.04)的值。 i?1解 因为

Xi~U(0,1),i?1,2,?48,所以

E(X1 i)?2, D(X1i)?12 从而

E(X)?1 2, D(X)?11148?12?242 于是

?P(|X?1??|?0.04)?P?X?E(X)0.04??2?||??D(X)1? ?242?? ?2?(0.96)?1?2?0.8315?1?0.6630。

习题5—1 数理统计的基本概念 习题5—2 统计量和抽样分布

19

令

解：a) 由题意?1?E(X)??x?x??1dx?01???1x??110????1 ?11n???X??A1??Xi?X?1??1，用ni?11?X. 解之得：代替?1，得?的矩估计： b) 构造似然函数

n??1nnL(x?11,x2,?,xn;?)???xi??(i)?i?1?xi?1

0?xi?1,i?1,2,?,n.

nlnL?nln??(??1)ln两边取对数得

?(xi)i?1

dlnLn?n?ln对?求导并令其等于零,得似然方程 d???(xi)?0i?1， ????nnxi解之得参数? 的最大似然估计值为 ?lni?1， ?nnlnXi与它相应的估计量?i?1，即为? 的最大似然估计量.

4．证明题：设总体X服从泊松分布，即P(X?k)??k?k!e? (k?0,1,2,???)，样本，证明1n?nX2?X是?2i的无偏估计。

i?1证明： P(X?k)??k??k!e， 所以E(X)??,D(X)?? 有E(Xi)??,D(Xi)??

1n?nX2?1?nE(i?X)E(X2i)?E(X)i?1ni?11?n?[D(X2ni)?(E(Xi))]?E(X)

i?1?1n?(???2)????2n

习题 6-2 区间估计

1. 设有一组来自正态总体N(?,?2)的样本观测值：

25

X1、X2、???Xn为

0.497，0.506，0.518，0.524，0.488，0.510，0.510，0.515，0.512， ⑴ 已知??0.01，求?的置信区间（设置信度为0.95）； ⑵ ?未知，求?的置信区间（设置信度为0.95）． 解：由题意x?0.50889（1）??0.01

? 的置信区间为

2

s?0.010881???0.95 [x-u0.025?0n2

,x?u0.025?0n=][0.50889-1.96?0.010.01,0.50889+1.96?]99=[0.50204，0.5154]. （2）?未知

? 的置信区间为

[x-t0.025(n?1)ss0.010880.01088,x?t0.025(n?1)][0.50889-2.306?,0.50889?2.306?]nn=99 =[0.05006，0.5172].

2. 某厂生产一批金属材料，其抗弯强度服从正态分布，现从这批金属材料中抽取11个测试件，测得它们的抗弯强度为（单位：kg）：

42.5 42.7 43.0 42.3 43.4 44.5 44.0 43.8 44.1 43.9 43.7

试求抗弯强度标准差?的置信度为0.90的置信区间。 解： x?43.445s?0.，72 22?0.05(10)?18.3072?0.95(10)?3.94

1???0.90对于

??0.1??所以? 的置信区间为 ： ??n-1n-1s,s22?0.05(10)?0.95(10)??=[0.53，1.15]. 3. 某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱，分别在两条流水线上抽取样本：X1,X2,???,X12 及

2Y1,Y2,???,Y17，算出X?10.6(g),Y?9.5(g),S12?2.4,S2?4.7，假设这两条流水线上灌装的番2茄酱的重量都服从正态分布，且相互独立，其均值分别为?1,?2,（1）设两总体方差?12??2，

求?1??2置信水平为95％的置信区间；（2）求?1/?2的置信水平为95％的置信区间。

22X~N(?,?)Y~N(?,?) 1122解： 总体，

22???12（1）未知，?1??2的置信度为0.95 的置信区间为

22?1111?X?Y?t(n?n?2)S?,X?Y?t(n?n?2)S??/212w?/212w??nnnn?1212? 对于

1???0.95??0.05查表t0.025(27)?2.0518

26

Sw?计算2(n1?1)s12?(n2?1)s2n1?n2?2y,?， x?10.69. 5故?1??2的置信度为0.95 的置信区间为[-0.401，2.601].

(2) ?1，?2 未知

S12/?12F?22~F(n1?1,n2?1)S2/?2 22?/?2的置信度为1-?的置信区间为 所以122??S12/S2S12/S2,?F(n?1,n?1)F???/2121??/2(n1?1,n2?1)? 对于1???0.95??0.05

查表F0.025(11,16)?2.94,F0.975(11,16)?2s?2.4,1又

2s2?4.7

11?F0.025(16,11)3.28 ?12.42.4??,3.28??2.944.7?224.7?/???=[0.128，1.283]. 12故可得的0.95的置信区间为：

习题 6-3 非正态总体均值的置信区间 习题 6-4 单侧置信限

1. 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损试验， 直至轮胎磨损到破坏为止，测得

它们的行驶路程（Km）如下： 41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800 设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N(?,?2)，求： （1）

?的置信度为95%的单侧置信下限；

2（2） ?的置信度为95%的单侧置信上限。 解： x?41215s?（1）方差?未知，对于

21419. 7281???0.95??0.05查表t0.05(9)?1.833

所以参数 ? 的置信度为0.95 的单侧置信下限为

?l?x-t?(n?1)?s1419.728?41215?1.833??40394n10 1???0.95（2） ? 未知，对于

??0.0527

2查表?0.95(9)?3.325

所以参数

? 的置信度为0.95 的单侧置信上限为

?u??

(n?1)s29??1419.728?2342?12??(n?1)3.325 习题 7-1假设检验的基本概念

1. 填空题

（1）设显著性水平为?，当原假设H0正确时，由于样本的随机性，作出了“拒接接受假设”的决

策，因而犯了错误，称为犯了 第一类 错误，犯该错误的概率为?。

（2）假设检验的步骤为（1） 统计假设，作原假设和备择假设 ； （2） 在原假设成立的情况下确定检验统计量及其分布 ；（3）确定拒接域 ；（4）作拒接或接受原假设的判断 。 2. 选择题

（1）在假设检验中，用?和?分别表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，

下列结论正确的是（ B ）。 (A) (C)

?减少?也减少 (B) ?与?其中一个减少时另一个往往会增大 ?增大?也增大 (D) A和C同时成立

习题 7-2-1 正态总体参数的假设检验

1. 选择题

（1）总体X~N(?,?2)，对数学期望?进行假设检验，如果在显著水平??0.05下接受了

，那么在显著水平??0.01下（ A ）。 H0:???0(?0为已知常数）(A ) 必接受H0 (B) 必拒接H0 (C) 可能接受也可能拒接H0 (D) 不接受也不拒接H0

2 已知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布N(4.550,0.1082)，现观测了九炉铁水，其平均含碳量为4.484，如果方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550(α＝0.05)？

解 待检验的假设是H0 : μ＝4.550. 因X＝4.484， X?4.550?1.8330.108故 ｜U0｜＝9. 在H0成立条件下，U～N(0，1)，查表知: P{｜U｜＞1.96}＝0.05. 而｜U0｜＝1.833＜1.96，

故接受H0，即不能否认现在生产的铁水平均含碳量仍为4.550.

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3. 过去某工厂向A公司订购原材料，自订货日开始至交货日止，平均为49.1日，现改为向B公司

订购原料，随机抽取向B公司订的8次货，交货天数为：46 38 40 39 52 35 48 44, 问B公司交货日期是否较A公司为短(α＝0.05)？ 解 待检验的假设是H0 : μ≥49.1. 使用统计量

X?49.1ST＝n， α＝0.05，自由度为7，查t分布临界值表

t0.1(7)＝1.895，故H0在检验水平α＝0.05的拒接域为

?????X?49.1??-1.895??S????8??. 由样本值算得X＝42.75，S2＝32.7832， 因此 T0?S＝5.7257.

42.75?49.15.72578= -3.137＜-1.895， 所以应拒接H0，即可以认为B公司交货日期显著比A公司要短.

4. 用一台自动包装机包装葡萄糖，假定在正常情况下，糖的净重服从正态分布.根据长期资料表明，标准差为15克.现从某一班的产品中随机取出9袋，测得重量为：497 506 518 511 524 510 488 515 512. 问包装机标准差有无变化？(α＝0.05) 解 待检验的假设是H0 : σ2＝152 选取统计量

?2?(n?1)S2?20??(Xi?1ni?X)2. ?02当H0成立时，??2?2(n?1)。

2?2???2(n?1)?17.535α＝0.05，查χ2分布临界值表得临界值

?1??12??2(n?1)?2.18n， 由样本值得X＝509，i?1?(Xi?X)2?950?2?，950?4.2215. 22.18???17.535, 由于

故接受H0，即不能认为标准有显著变化.

5．某市质监局接到顾客投诉，对某金商进行质量调查，现从其出售的标志18K的项链中抽取9件进行检测，检测标准为：标准值18K且标准差不得超过0.3K。检测结果如下：17.3 16.6 17.9 18.2

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17.4 16.3 18.5 17.2 18.1，假定项链的含金量服从正态分布，试问检测结果能否认定金商出售的产品存在质量问题？（显著性水平??0.01）

解： 计算9个数据的均值和标准差：x?17.5，s?0.7416，

检验均值：H0:???0，H1:???0， 检验统计量t?X?17.5??2.0226，查表t0.005(8)?3.355，保留原假设，可以认为商家产品Sn的平均含金量为18k。

检验标准差：H0:???0，H1:???0 检验统计量??2(n?1)S22?02，计算?2?48.89，查表：?0.01(8)?20，拒绝原假设，认为商家产品的标准差过大。

综上分析，尽管由于均值仍可认为是18k，但由于标准差过大，导致产品质量不稳定，故而不合格产品增多。商家应减少产品质量的波动。

习题 7-2-2 两个正态总体参数的假设检验

21. 设用甲、乙两种方法生产同一种药品，其成品得率的方差分别为?12?0.46,?2?0.37.现测得甲

方法生产的药品得率的25个数据，得x?3.81；乙方法生产的药品得率的30个数据，得乙两种方法的药品平均得率是否有显著y?3.56(单位：g/L).设药品得率服从正态分布.问甲、差异？(??0.05)

解 由题意，需要检验的假设为

H0:?1??2,H1:?1??2

U?选取统计量X?Y?12n1?2?2n2 u?其观测值对??0.05，3.81?3.56?1.4260.460.37?2530 u??u0.025?1.9602 u?u0.025，所以接受H0,认为甲、乙两种方法的药品平均得率没有显著差异. 2. 为比较甲、乙两种安眠药的疗效，将20名患者分成两组，每组10人，如服药后延长的睡眠时间

分别近似服从正态分布，其数据如表所示

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a b c 1.1 d e f g h i 0 j 2.0 甲 1.9 0.8 0.1 -0.1 4.4 5.5 1.6 4.6 3.4 乙 0.7 -1.6 -0.2 -1.2 -0.1 3.4 3.7 0.8 问在显著水平??0.05下，两种安眠药的疗效有无显著差异？

解 此题需先检验方差再检验期望，设甲组服药延长的睡眠时间X～N(μ1，σ1)，乙组服药后延长的睡眠时间Y～N(μ2，σ).

待检验的假设是：(1)H0 : σ＝σ，(2)H0 : μ1＝μ2. (1)H0 : σ＝σ 选取统计量

S122S2F＝.在H0成立时，F～F(n1-1，n2-1). 21222122222由n1＝n2＝10，计算X＝2.33，Y＝0.75，S1＝4.009 22S2＝3.20，Sw＝3.605，SW＝1.899.

24.009从而 F0＝3.2＝1.25 在α＝0.05时，查F临界值表，得F0.025(9，9)＝4.03， 1由于 4.03＜1.25＜4.03. 故接受H0. (2)H0 : μ1＝μ2 选取统计量

T?SWX?Y11?n1n2. 在H0成立时，T～t(n1+n2-2).

查α＝0.05，自由度为18的t分布临界值，得 t0.05(18)＝2.101.

T0?2.33?0.75111.899?1010?1.86. 由于｜T0｜＝1.86＜2.101，故接受H0，即不能认为两种安眠药有显著差异.

3. 一家冶金公司需要减少排放到废水中的生物氧需求量（BOD），用于废水处理的活化泥供应商建议，可用纯氧取代空气吹入活化泥以改善BOD（值越小越好）．现从两种处理的废水中分别抽取了容量为10和容量为9 的样本，

空气法 184 194 158 218 186 218 165 172 191 179 氧气法 163 185 178 183 171 140 155 179 175 已知BOD含量服从正态分布，问：

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（1）该公司是否应该采用氧气法来减少BOD含量(??0.05)？ （2）如可以采用氧气法，求减少的BOD含量的95%的置信区间． （建议使用Excel数据分析工具库，或其他统计软件计算）

22（1）H0:?12??2 ;H1:?12??2S12F2?2~F(n1?1,n2?1)

S222计算得：F2?1.8446?F0.025(9,8)?3.38813，所以接受H0，认为?1. ??2 又：H0:?1??2;H1:?1??2

2(n1?1)S12?(n2?1)S2X?Y T?~t(n1?n2?2)，其中Sw?n1?n2?211Sw?n1n2计算：t?2.03843?t0.05(17)?1.7396，拒绝H0，接受H1，即认为氧气法比空气法显著减少了BOD含量．该公司可以采用氧气法降低BOD含量。

2（2）在?12,?2未知且相等的假设下，两个正态总体均值差?1??2的置信度为1-? 的

置信区间为

?1111? X?Y?t(n?n?2)S?,X?Y?t(n?n?2)S??/212w?/212w??n1n2n1n2??计算得：减少BOD含量的置信区间为：[-33.804，0.582]

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