《群论基础》习题

《群论基础》习题

1．讨论以下集合是否构成群：

（1）除0以外的全体偶数集合对数的乘法； （2）1的任何次根（n1?ei2k?n，k＝0，1，?，n-1）的全体复数集合对于乘法；

i?（3）绝对值等于1的全体复数集合（e，0???2?）对于乘法；

（4）m?n矩阵的集合对于矩阵加法（m?n）；

2．回答问题：

（1）什么是群中的“类”，请证明阿贝尔群中所有元素都自成一类。 （2）什么是“特征标”，群中同类元素的特征标有何特点。 （3）什么是“群表示”和“群的不可约表示”。

（4）不可约表示特征标有何特点？如何判断一个表示是否可约？

（5）什么点群的分子既有偶极距又有旋光性？具有偶极距或旋光性的分子其分子对称性有何特点？

3. 从下列点群中补充或减少指定的对称元素，将得到什么点群？ (1) C3加i (2) C3加S6 (3) C5v加σh (4) S6减i (5)S4加i (6) D3d减S6 (7)C3v加i (8)Td加i

4．一个正方体，如果把互相错开的顶角都锯掉同样的一个小正三棱体，得到的多面体属于

哪一个点群。

5．确定以下分子所属点群：

（1）1，3-二氯代丙二烯 （2）乙二醇 （3）8-羟基喹啉 （4）肼

（5）对称三氮杂苯 （6）对称三氯代苯

（7）六氯代苯（相邻的C-Cl上下交错地偏离苯环平面12°） （8）环戊二烯 （9）环丁烷 （10）六氯乙烷 （11）丁二烯 6．构成点群C2h的乘法表，并将群元素分类。

7．构成点群C2h的特征标表，并标出它的不可约表示。 8．利用C2h的特征标表说明：

（1） 将C2轴看做是Z轴，?h为xy平面，在C2h点群中x、y和z属于哪一种表示。 （2） dxy，dxz和dyz属于哪一种表示。

9．试对H2O分子中氧原子的d轨道进行对称性分类。 10．约化下列可约表示： C2h E C2 i σ C3v E 2C3 3σv C2v E C2 σv σv’ 3 1 -3 -1 6 0 -2 3 -3 1 -1 ?a ?c ?e 8 0 6 2 9 0 -1 17 3 -13 1 ?b ?d ?f

11．对D6h群，写出下列直积表示的特征标，并确定组成它们的不可约表示： A1g ? B1g A1u ? A1u B2u ? E1g E1g ? E2u E1g ? B2g A2u ? E1u 12．用对称性匹配函数的方法造出环丁二烯的分子轨道。（D2点群）

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