概率论与数理统计第一章总习题答案

10．将四个球任意地放到四个盒子中去，每个盒子中容纳球的个数不限，如果已知前两个球放在不同的盒子中，试求有一个盒子中恰好放有三个球的概率.

解：设A表示“前两个球放在不同的盒子中”，B表示“有一个盒子中恰好有两个球”，

2111则所求概率为P?BA?.样本空间含样本点总数为44,A含样本点总数为C4C2C4C4211个，AB含样本点总数为C4C2C2个,故

211P?AB?C4C2C2441P?BA???21114?.

P?A?C4C2C4C448

11．设M件产品中有m件不合格品，从中任取两件.

（1）在所取的两件产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；

（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是合格品的概率.

i2?iCM?mCm解：设Ai表示“取出的两件产品中有i件合格品”，则P?Ai???i?0,1,2?. 2CM（1）PA0A0?A1??P?A0?A0P?A0A1??A1?02CMC?mm2P?A0?m?1CM???. 2CP?A0A1?2M?m?11?M2?mCM或P?A0A0?A1??P?A0?A0?A1??P?A0?P?A0? ??P?A0?A1?P?A0?A1?P?A0??P?A1?02CMC?mm2CMm?1. ?0?211CM?mCmCM?mCm2M?m?1?22CMCM（2）PA1A1

?A2??P?A1?A1A2??P?A1??P?A2?P?A1?2m??. P?A1??P?A2?M?m?112．口袋中有20个球，其中两个是红球，现从袋中取球三次，每次取一个，取后不放回，求第三次才取到红球的概率.

解：设Ai表示“第i次取得红球?i?1,2,3?”，则所求概率为：

6

111C18C17C2PA1?A2?A3?PA1PA2A1PA3A1?A2?1?1?1?0.089

C20C19C18????????

13．12个乒乓球全是新的，每次比赛时取出3个用完后放回去.

（1）求第三次比赛时取到的三个球都是新球的概率；（2）问在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到几个新球的概率最大？

解：设事件Ai,Bi,Ci分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球?i?0,1,2,3?. （1）由全概率公式，P?C3???P?Bi?P?C3Bi?.

i?03i3?i3C9C3C9其中：P?Bi???i?0,1,2,3?，P?C3Bi??3?i?i?0,1,2,3?. 3C12C12i3?i3C9C3C9?i故P?C3???P?Bi?P?C3Bi?????0.146. 33C12C12i?0i?033（2）由贝叶斯公式，

P?B0C3??P?B2C3??P?C3B0?P?B0?P?C3?P?C3B2?P?B2?P?C3?P?C3B1?P?B1?151284?;P?B1C3???; 7056P?C3?7056P?C3B3?P?B3?16803780?;P?B3C3???.. 7056P?C3?7056故在第三次取到的三个球都是新球的条件下，第二次取到两个新球的概率最大.

14．（有关经济的忠告）美国总统常常从经济顾问委员会寻求各种建议.假设有三种不同经济理论的顾问A,B,C，总统正在考虑采取一项关于工资和价格控制的新政策，并关注这项政策对失业率的影响，每位顾问就这种影响给总统一个个人预测，预测是以失业率将减少、保持不变或上升的概率来给出的，见下表.

7

A B C 失业率下降 0.1 0.6 0.2 失业率不变 0.1 0.2 0.6 失业率上升 0.8 0.2 0.2 用字母A,B,C分别表示顾问A,B,C的经济理论是正确的事件，根据以往总统与这些顾问一起工作的经验，总统已经形成了关于每位顾问正确的经济理论可能的一个估计，分别为：P?A??111，P?B??，P?C??.假设总统采取了所提出的新政策，一年后，632失业率上升了，总统应如何调整他对其经济顾问的理论的正确的估计？

解：设D表示“失业率上升”，则A,B,C构成了样本空间的一个划分.由全概率公式有

P?D??P?A?P?DA?P?P?B?P?DB??P?C?P?DC?

?111?0.8??0.2??0.2?0.3. 6321P?A?P?DA?6?0.84由Bayes公式得：P?AD????，

P?D?0.3911?0.2P?B?P?DB?3P?C?P?DC?2?0.232P?BD????，P?CD????.

P?D?0.39P?D?0.39即总统调整他对其经济顾问的理论的正确的估计为：

423P?A?D?,P?B?D?,P?C?D?.

999

1115．设一枚深水炸弹击沉一艘潜水艇的概率为，击伤的概率为，击不中的概率为

321，并设击伤两次会导致潜水艇下沉，求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.（提6示：先求出击不沉的概率.）

解：设A表示“施放4枚深水炸弹击沉潜水艇”，依题意击不沉一艘潜水艇只有以下两种互斥情形：“4枚深水炸弹全击不中潜水艇”记为事件B,“4枚深水炸弹中1枚击伤潜水艇而另3枚击不中潜水艇”记为事件C,由于各枚深水炸弹能袭击潜水艇是独立

?1?11?1?的，故有P?B????,P?C??C4????,又B,C互斥，从而

2?6??6?3??1?41?133?1?. P?A??1?PA?1??PB?PC??1??C??1???????4????4??6?6?2???6???43??

8

16．设有五个独立工作的元件1,2,3,4,5,它们的可靠性均为p.将它们按本题图的方式连接（称为桥式系统），试求出该系统的可靠性. 解：

12345设Ai表示“第i个元件可靠?i?1,2,3,4,5?”，A表示“系统正常工作” 则所求概率为：

P(A)?P?A1A2?A4A5?A1A3A5?A4A3A2??P?A1A2??P?A4A5??P?A1A3A5? ?P?A4A3A2??P?A1A2A3A5??P?A1A2A4A5??P?A1A2A3A4??P?A1A3A4A5?

?P?A1A2A3A4A5??P?A2A3A4A5??4P?A1A2A3A4A5??P?A1A2A3A4A5?.

?2p2?2p3?5p4?2p5

另解 ：按元件3处于正常工作与失效两种状态，用全概率公式

P(A)?P?AA3?P?A3??PAA3PA3

P?AA3??P??A1P?A1P?A2????A4??A2A5??，PAA3?P?A1A2??A4A5?.

A4??P?A1??P?A4??P?A1A4??2p?p2, A5??P?A2??P?A5??P?A2A5??2p?p2,

P?AA3??P??A1PAA3?P?A1A2A4??A2A5???P?A1A4?P?A2A5???2p?p22?

??A4A5??P?A1A2??P?A4A5??P?A1A2A4A5??2p2?p4.

故P(A)?PAA3P?A3??PAA3PA3?2p?p???????22?p??2p2?p4??1?p?

?2p2?2p3?5p4?2p5.

17．（下赌注问题）17世纪未，法国的De Mere爵士与人打赌，在“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”的情况下他赢了钱，可是在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情况下却输了钱，从概率论的角度解释这是为什么？

解：应分别求出“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”和“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的概率，比较这两个概率的大小即可作出解释.

设A“一颗骰子连续掷四次至少出现一次六点”，B“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”；再设Ai“第i次抛掷时出现六点?i?1,2,3,4?”，Bk“第k次抛

9

掷时出现双六点”，则

P?A??PA1A2A3A4?1?PA14?A2A3A4?1?PA1?A2?A3?A4

????5??1?PA1PA2PA3PA4?1????0.518.

?6?此概率大于0.5，故赢钱的可能性大.

????????B2P?B??P?B1B24??1?PB1?35??1????36?24?B2B24?1?PB1?B2????B24

??1?PB1PB2?PB24???????0.491.

此概率小于0.5，故赢钱的可能性小.

请注意，在“两颗骰子连续掷二十四次至少出现一次双六点”的情形中，当抛掷次数n?25时，这时的概率大于0.5，且抛掷次数超过25次越多越有利，这是因为

??35?n?lim?1?????1. n?????36???

18．要验收一批100件的乐器，验收方案如下：自该乐器中随机地取3件测试（设3件乐器的测试是相互独立的），如果3件中至少有一件被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95，而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01，如果已知这100件乐器中恰好有4件音色不纯的，试问这批乐器被接收的概率是多少？

解：设Hi表示“随机取出的三件乐器中有i件音色不纯?i?0,1,2,3?”，A表示“这批乐

312213C96C3C96C4C96C4器被接收”，则P?H0??3，P?H1??3，P?H2??，P?H3??3，3C100C100C100C1003223P?AH0???0.99?，P?AH1???0.99??0.05，P?AH2??0.99??0.05?，P?AH3???0.05?.

于是，由全概率公式得：

P?A???P?Hi?P?AHi??0.8574?0.0055?0?0?0.8629.

i?03

19 （1）若PAB?PAB，试证PBA?PBA.

???????? 10

(2)设0?P(B)?1,试证A与B独立的充要条件是PAB?PAB.

????P?AB?PABP?A??P?AB???证明（1）因P?AB??PAB即

P?B?1?PB??PB??????展开P?AB???1?P?B????P?B???P?A??P?AB???

P?AB??P?B?P?AB??P?A?P?B??P?B?P?AB?

化简得 P?AB??P?A?P?B?

从而有 P?AB??P?A?P?AB??P?A?P?B??P?A?P?AB?

??1?P?A???P?AB??P?A???P?B??P?AB???

PAP?AB??P?A?PAB

P?AB?PAB?即P?BA??PBA.

P?A?PA??????????P?AB?PABP?A??P?AB???（2）证充分性：由P?AB??PAB.可得

P?B?1?PB??PB??????P?AB???1?P?B????P?B???P?A??P?AB???

P?AB??P?B?P?AB??P?A?P?B??P?B?P?AB?

化简得 P?AB??P?A?P?B?，所以A与B独立.

证必要性：因为A与B独立，所以A与B也独立，从而PAB?P?A??PAB..

???? 11

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