新课标九年级数学竞赛辅导讲座 第二讲 判别式——二次方程根的检

第二讲 判别式——二次方程根的检测器

为了检查产品质量是否合格，工厂里通常使用各种检验仪器，为了辨别钞票的真伪，银行里常常使用验钞机，类似地，在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：

利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；

运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围； 通过判别式，证明与方程相关的代数问题；

借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题． 【例题求解】

【例1】 已知关于x的一元二次方程(1?2k)x2?2k?1x?1?0有两个不相等的实数根，那

么k的取值范围是 ． 思路点拨 利用判别式建立关于k的不等式组，注意1?2k、k?1的隐含制约．

注：运用判别式解题，需要注意的是：

(1)解含参数的二次方程，必须注意二次项系数不为0的隐含制约；

(2)在解涉及多个二次方程的问题时，需在整体方法、降次消元等方法思想的引导下，综合运用方程、不等式的知识．

【例2】 已知三个关于y的方程：y2?y?a?0，(a?1)y2?2y?1?0和(a?2)y2?2y?1?0，若其中至少有两个方程有实根，则实数a的取值范围是( )

A．a?2

B．a?14或1?x?2 C．a?1 D．

14?a?1

思路点拨 “至少有两个方程有实根”有多种情形，从分类讨论人手，解关于a的不等式组，综合判断选择．

【例3】 已知关于x的方程x2?(k?2)x?2k?0，

(1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；

(2)若等腰三角形△ABC的一边长a＝1，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

思路点拨 对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分b与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出b、c的值．

注：（1）涉及等腰三角形的考题，需要分类求解，这是命题设计的一个热点，但不一定每个这类题均有多解，还须结合三角形三边关系定理予以取舍．

（2）运用根的判别式讨论方程根的个数为人所熟悉，而组合多个判别式讨论方程多个根(三个以上)是近年中考，竞赛依托判别式的创新题型，解这类问题常用到换元、分类讨论等思想方法．

?c或b、c中有一个

【例4】 设方程x2?ax?4，只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根． 思路点拨 去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．

【例5】已知：如图，矩形ABCD中，AD＝a，DC＝b，在 AB上找一点E，使E点与C、D的连线将此矩形分成的三个三角形相似，设AE＝x，问：这样的点E是否存在?若存在，

这样的点E有几个?请说明理由．

思路点拨 要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，点E必须满足∠AED+∠BEC＝90°，为此，可设在AE上存在满足条件的点E使得Rt△ADE∽Rt△BEC，建立一元二次方程的数学模型，通过判别式讨论点E的存在与否及存在的个数．

注：有些与一元二次方程表面无关的问题，可通过构造方程为判别式的运用铺平道路，常见的构造方法有：

(1)利用根的定义构造； (2)利用根与系数关系构造；

[来源学科网] (3)确定主元构造．

学力训练

1．已知

a?4?b?1?0，若方程kx2?ax?b?0有两个相等的实数根，则k= ．

[来源学科网]

2．若关于x的方程x2?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．

3．已知关于x方程x2?2k?4x?k?0有两个不相等的实数解，化简

?k?2?k2?4k?4= ．

4．若关于x的一元二次方程(m?2)2x2?(2m?1)x?1?0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( ) A．m?34[来源学科网ZXXK][来源学科网]

34 B．m? C．m?34且m?2 D．m?34且m??2[来源学科网]

5．已知一直角三角形的三边为

a(x2a、

b、

c

，∠B＝90°，那么关于

x的方程

?1)?2cx?b(x2?1)?0的根的情况为( )

A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定

6．如果关于

mx2x的方程(m?2)x2?2(m?1)x?m?0只有一个实数根，那么方程

的根的情况是( )

?(m?2)x?(4?m)?0 A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根

7．在等腰三角形ABC中，∠ A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，已知a关于x的方程x2?mx?2?12m?0?3

，b和c是

的两个实数根，求△ABC的周长．

8．已知关于x的方程x2?2(2?m)x?3?6m?0

(1)求证：无论m取什么实数，方程总有实数根；

(2)如果方程的两实根分别为x1、x2，满足x1=3x2，求实数m的值． 9．a、b为实数，关于x的方程x2?ax?b?2有三个不等的实数根．

(1)求证：a2?4b?8?0；

(2)若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证该三角形必有一个内角是60°；

(3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

10．关于的两个方程x2?4mx?2m?3?0，x2?(2m?1)x?m2?0中至少有一个方程有实根，则m的取值范围是 ．

11．当a= ，b= 时，方程x2?2(1?a)x?(3a2?4ab?4b2?2)?0有实数根．

12．若方程x2?5x?a有且只有相异二实根，则a的取值范围是 ． 13．如果关于

(m?5)x2x的方程mx2?2(m?2)x?m?5?0没有实数根，那么关于

的实根的个数( )

x的方程

?2(m?2)x?m?0 A．2 B．1 C．0 D．不能确定

14．已知一元二次方程x2?bx?c?0，且b、c可在1、2、3、4、5中取值，则在这些方程中有实数根的方程共有( )

A12个 B．10个 C． 7个 D．5个

15．已知△ABC的三边长为a、b、c，且满足方程ax2?(c2?a2?b2)x?b2?0，则方程根的

情况是( )

A．有两相等实根 B．有两相异实根 C．无实根 D．不能确定

1212

16．若a、b、c、d>0，证明：在方程

12x2x2?2a?bx?cd?0①；x2?2b?cx?ad?0②；

?2c?dx?ab?0③；

12x2?2d?ax?bc?0④中，至少有两个方程有两个不相等

的实数根． 17．已知三个实数a、b、c满足a?b?c?0，abc＝1，求证：a、b、c中至少有一个大于·

2318．关于x的方程kx2?(k?1)x?1?0有有理根，求整数是的值． 19．考虑方程(x2?10x?a)2?b①

(1)若a=24，求一个实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式．

(2)若a≥25，是否存在实数b，使得恰有3个不同的实数x满足①式?说明你的结论． 20．如图，已知边长为a的正方形ABCD内接于边长为b的正方形EFGH，试求围．

ba的取值范

参考答案

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