题组层级快练(十三)
1．方程log3x＋x－3＝0的解所在的区间是( ) A．(0,1) C．(2,3) 答案 C
解析 设f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32－1<0，f(3)＝log33＋3－3＝1>0. ∴f(x)＝0在(2,3)内有零点．
又f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴f(x)＝0的零点在(2,3)内． 2．(2015·衡水调研卷)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( ) A．1 C．3 答案 B
解析 (数形结合法) ∵a>0，∴a2＋1>1.
而y＝|x2－2x|的图像如图，
B．2 D．4 B．(1,2) D．(3,4)
∴y＝|x2－2x|的图像与y＝a2＋1的图像总有两个交点．
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??lnx－x＋2x ?x>0?，
3．函数f(x)＝?的零点个数为( )
?2x＋1 ?x≤0??
A．0 C．2 答案 D
B．1 D．3
解析 依题意，在考虑x>0时可以画出y＝lnx与y＝x2－2x的图像，可知两个函数的图像有两个交点，当x≤0时，函数f(x)＝2x＋1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点．故选D.
4．(2014·湖北文)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( )
A．{1,3} C．{2－7，1,3} 答案 D
B．{－3，－1,1,3} D．{－2－7，1,3}
解析 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x) ＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；
当x<0时，由f(x)是奇函数，得－f(x) ＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3，得x＝－2－7(正根舍去)．故选D.
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5．(2015·浙江嘉兴测试)已知函数f(x)＝()x－cosx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
4A．1 C．3 答案 C
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解析 函数f(x)＝()x－cosx的零点个数为()x－cosx＝0?()x＝cosx的根的个数，即函数
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h(x)＝()x与g(x)＝cosx的图像的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为3，故选C.
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B．2 D．4
6．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上( ) A．有两个零点 C．仅有一个零点 答案 C
解析 由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)． 令f(x)＝0，得x＝－1,1.
因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．
7．函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内( ) A．没有零点 C．有且仅有两个零点 答案 B
B．有且仅有一个零点 D．有无穷多个零点 B．有三个零点 D．无零点
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解析 原函数f(x)＝x－cosx可理解为幂函数x与余弦函数的差，其中幂函数在区间[0，
2＋∞)上单调递增、余弦函数的最大值为1，在同一坐标系内构建两个函数的图像，注意到余弦从左到右的第2个最高点是x＝2π，且2π>1＝cos2π，不难发现交点仅有一个．正确选项为B.
8．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根 C．有且仅有两个根 答案 C
解析 求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图像如图所示．显然有两交点，即原方程有且仅有两个根．
B．有且仅有一个根 D．有无穷多个根
9．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－2,2) C．(－∞，1) 答案 A
解析 只需f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0， 故a∈(－2,2)．
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10．(2015·东城区期末)已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，
1－x＋∞)，则( )
A．f(x1)<0，f(x2)<0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 答案 B
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解析 设g(x)＝，由于函数g(x)＝＝－在(1，＋∞)上单调递增，函数h(x)＝
1－x1－xx－12x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f(x)＝h(x)＋g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在(1，＋∞)上只有唯一的零点x0，且在(1，x0)上f(x1)<0，在(x0，＋∞)上f(x2)>0，故选B.
B．f(x1)<0，f(x2)>0 D．f(x1)>0，f(x2)>0 B．[－2,2] D．(1，＋∞)
11．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) C．(1，＋∞) 答案 C
解析 当a＝0时，函数的零点是x＝－1. 当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1.
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若Δ＝0，即a＝－，函数的零点是x＝－2，故选C.
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12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝log2x－2的零点依次为a，b，c，则( ) A．a 解析 在同一平面直角坐标系中分别画出函数y＝2x，y＝－x，y＝log2x的图像，结合函数y＝2x与y＝－x的图像可知其交点横坐标小于0，即a<0；结合函数y＝log2x与y＝－x的图像可知其交点横坐标大于0且小于1，即0 13．(2015·东营模拟)已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x0 2 是函数f(x)＝lnx－的零点，则[x0]等于________． x 答案 2 ?2x，x≤0，? 14．设函数f(x)＝?函数y＝f[f(x)]－1的零点个数为________． ?logx，x>0，?2 B．[1，＋∞) D．(2，＋∞) B．c 答案 2 解析 当x≤0时，y＝f[f(x)]－1＝f(2x)－1＝log22x－1＝x－1，令x－1＝0，则x＝1，表明此时y＝f[f(x)]－1无零点．当x>0时，分两种情况：①当x>1时，log2x>0，y＝f[f(x)]－1＝f(log2x)－1＝log2(log2x)－1，令log2(log2x)－1＝0，即log2(log2x)＝1，log2x＝2，解得x＝4；②当0 15．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为________． 答案 7 解析 当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝0， 得x＝0或x＝1，∵f(x＋2)＝f(x)， ∴y＝f(x)在[0,6)上有6个零点． 又f(6)＝f(3×2)＝f(0)＝0， ∴f(x)在[0,6]上与x轴的交点个数为7. 2 16．判断函数f(x)＝4x＋x2－x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由． 3答案 有一个零点 27 解析 ∵f(－1)＝－4＋1＋＝－<0， 33213 f(1)＝4＋1－＝>0， 33∴f(x)在区间[－1,1]上有零点． 91 又f′(x)＝4＋2x－2x2＝－2(x－)2， 229 当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤， 2∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数． ∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点． 17．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1仅有一个零点，求m的取值范围，并求出零点． 答案 m＝－2，零点是x＝0 解析 方法一：令2x＝t，则t>0，则g(t)＝t2＋mt＋1＝0 2 ?Δ＝m－4＝0，? 仅有一正根，而g(0)＝1>0，故?m ??－2>0. ∴m＝－2. 方法二：令2x＝t，则t>0. 原函数的零点，即方程t2＋mt＋1＝0的根． t2＋11 ∴t＋1＝－mt.∴－m＝＝t＋(t>0)． tt 2 有一个零点，即方程只有一根． 11 ∵t＋≥2(当且仅当t＝即t＝1时)， tt∴－m＝2即m＝－2时，只有一根． 注：方法一侧重二次函数，方法二侧重于分离参数． 1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在区间为( ) 1 A．(－，0) 411C．(，) 42答案 C 1111 1111 解析 因为f()＝e4＋4×－3＝e4－2<0，f()＝e2＋4×－3＝e2－1>0，所以f(x)＝ex＋4x 4422 1 B．(0，) 413D．(，) 24 11 －3的零点所在的区间为(，)． 42 2．函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( ) A．0 C．2 答案 B 解析 由已知得f′(x)＝ex＋3>0，所以f(x)在R上单调递增．又f(－1)＝e－1－3<0，f(1)＝e＋3>0，因此f(x)的零点个数是1，故选B. 3．(2015·郑州质检)[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f(x)＝x－[x](x∈R)，g(x)＝log4(x－1)，则函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数是( ) A．1 C．3 答案 B 解析 作出函数f(x)与g(x)的图像如图所示，发现有两个不同的交点，故选B. B．2 D．4 B．1 D．3 x ??2－1，x≤1， 4．已知函数f(x)＝?则函数f(x)的零点为( ) ?1＋log2x，x>1，? 1 A.，0 2 B．－2,0 1C. 2答案 D D．0 解析 当x≤1时，由f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，由f(x)＝1＋log2x＝0，解得1 x＝.又因为x>1，所以此时方程无解．综上函数f(x)的零点只有0.故选D. 2 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库【高考调研】2016届高三理科数学一轮复习题组层级快练13含答案在线全文阅读。
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