习题9 电磁感应与电磁场

习题9

9-1在磁感应强度B为0.4T的均匀磁场中放置一圆形回路，回路平面与B垂直，回路的面积与时间的关系为：S=5t2+3(cm2),求t=2s时回路中感应电动势的大小？ 解：根据法拉第电磁感应定律得

???d?mdS?10Bt ?Bdtdt??8?10?4V

9-2 如题9-2图所示，载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连线与长直导线垂直.半圆环的半径为b，环心O与导线相距a.设半圆环以速度v平行导线平移.求半圆环内感应电动势的大小和方向及MN两端的电压UM－UN.

题9-2

解: 作辅助线MN，则在MeNM回路中，沿v方向运动时d?m?0 ∴ ?MeNM?0 即 ?MeN??MN 又∵ ?MN?所以?MeN沿NeM方向，

大小为

??a?ba?bvBcos?dl??0Iva?bln?0 2?a?b?0Iva?bln 2?a?bM点电势高于N点电势，即

UM?UN?

?0Iva?bln 2?a?b题9-3

9-3 如题9-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电

dI

流方向相反、大小相等，且电流以的变化率增大，求：

dt

(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则

b?ad?a?ln] ?b2πrd2πr2πbdd??0ld?ab?adI?[ln?ln] (2) ???dt2πdbdt(1) ?m?b?a?0Ildr??d?a?0Ildr??0Il[ln

题9-4

9-4 如题9-4图所示，长直导线通以电流I＝5 A，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b＝0.06 m，宽a＝0.04 m，线圈以速度v＝0.03 m/s垂直于直线平移远离.求：d＝0.05 m时线圈中感应电动势的大小和方向.

?解: AB、CD运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA产生电动势

?1??(v?B)?dl?vBb?vbDA????0I 2?dBC产生电动势

?2??∴回路中总感应电动势

CB???(v?B)?dl??vb?0I2π(a?d)

???1??2??0Ibv11(?)?1.6?10?8 V 2πdd?a方向沿顺时针．

9-5 长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B中，B的方向与回路的法线成60°角(如题9-5图所示)，B的大小为B＝kt(k为正常数).设t＝0时杆位于cd处，求：任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向.

题9-5图

??1122解: ?m??B?dS?Blvtcos60??ktlv?klvt

22∴ ???d?m??klvt dt即沿abcd方向顺时针方向．

题9-6图

9-6 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区，B的方向如题9-6图所示.取逆时针方向为电流正方向，画出线框中电流与时间的关系(设导线框刚进入磁场区时t＝0). 解: 如图逆时针为矩形导线框正向，则进入时

d??0,??0； dt题9-6图(a)在磁场中时出场时

9-7 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速ω转动.aO=轴，如题9-7所示.试求：

(1) ab两端的电势差；

(2) a，b两端哪一点电势高？

题9-6图(b)

d??0,??0； dtd??0，??0，故I?t曲线如题9-6图(b)所示. dtl，磁感应强度B平行于转3题9-7图

解: (1)在Ob上取r?r?dr一小段 则 ?Ob?2l30

??rBdr?2B?2l 91B?l2 18同理 ?Oa??l30?rBdr?∴ ?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l2 1896(2)∵ ?ab?0 即Ua?Ub?0 ∴b点电势高．

9-8 北半球某地的磁场为4?10-5T，磁场方向与水平方向成60o,现将一根长1m东西方向水平放置的均匀金属棒自由落下，求t=3s时金属棒中感应电动势大小？ 解：根据动感电动势定义??(v?B)?dl

L????自由下落，速度大小 v?gt，方向与重力加速度方向相同

??????(v?B)?dl??Bvsin300dl

LL当t=3s时，??Bvsin300L?6?10?4V

9-9 两根平行长直导线，横截面的半径都是a，中心相距为d，两导线属于同一回路.设两导线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为l的一段自感为

L=?0ld?aIn. ?a

题9-9图

解： 如题9-9图所示，取dS?ldr 则 ???d?aa(?0I2rπ??0I2π(d?r))ldr??0Il2π?d?aa?Ild?a11d(?)dr?0(ln?ln) rr?d2πad?a??0Ilπlnd?a a∴ L??I??0lπlnd?a a

9-10 两线圈顺串联后总自感为1.0 H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为0.4 H.试求：它们之间的互感. 解： ∵顺串时 L?L1?L2?2M 反串联时L??L1?L2?2M

∴ L?L??4M

M?

L?L??0.15H 4题9-11图

9-11 一矩形截面的螺绕环如题7-11图所示，共有N匝.试求：

(1)此螺绕环的自感系数；

(2)若导线内通有电流I，环内磁能为多少？ 解：如题7-11图示 (1)通过横截面的磁通为 ???磁链 ??N??b

?0NI2rπahdr??0NIh2πbln a?0N2Ih2πbln a∴ L??I??0N2h2πbln a(2)∵ Wm?∴ Wm?12LI 2?0N2I2h4πbln a

9-12 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为I.求：导线内部单位长度上所储存的磁能. 解：在r?R时 B??0Ir2πR2

?0I2r2B2∴ wm? ?2?08π2R4取 dV?2πrdr(∵导线长l?1) 则 W??R0wm2?rdr??R?0I2r3dr4πR40??0I216π

9-13 圆柱形电容器内、外导体截面半径分别为R1和R2(R1＜R2)，中间充满介电常数为ε的电介质.当两极板间的电压随时间的变化为处的位移电流密度.

dU=k时(k为常数)，求介质内距圆柱轴线为rdt

解：圆柱形电容器电容 C?2??l R2lnR1q?CU?2??lU R2lnR1D?q2??lU?U?? S2?rlnR2rlnR2R1R1∴ j??D??t?kRrln2R1

9-14 试证：平行板电容器的位移电流可写成Id=CdU.式中C为电容器的电容，U是电容dt器两极板的电势差.如果不是平板电容器，以上关系还适用吗？ 解：∵ q?CU

D??0?CU S∴ ?D?DS?CU

不是平板电容器时 D??0仍成立 ∴ ID?CID?d?DdU?CdtdtdU还适用． dtdE=1.0?1013V/(m·s).求两极板间的位移电流，并计算电容器内dt?D?E??0 ?t?t

9-15 半径为R＝0.10 m的两块圆板构成平行板电容器，放在真空中.今对电容器匀速充电，使两极板间电场的变化率为

离两圆板中心联线r(r＜R)处的磁感应强度Br以及r＝R处的磁感应强度BR. 解: (1) jD?ID?jDS?jD?R2?2.8A

????(2)∵ ?H?dl??I0??jD?dS

lS取平行于极板，以两板中心联线为圆心的圆周l?2?r，则

H2?r?jD?r2??0∴ H?dE2?r dtrdE?0 2dt??rdEBr??0H?00

2dt当r?R时，BR?

?0?0RdE2dt?5.6?10?6 T

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