物理训练4

大学物理方法讲义

大学物理方法讲义物理竞赛基本训练题及解答（四）

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试 题

（给出常数：

普朗克恒量h?6.6.?10?34J?s

玻耳兹曼恒量k?1.38?10?23J?K?1 电子电量e?1.6?10?19C 电子质量me?9.1?10?31kg）

一、选择题（共32分，每小题4分）

1．在一根线密度为??1/gm的弦上形

2．飞机以350km/hr的速度飞行，在北纬（ ）的飞机上的人可以看见太阳不动地停在空中.

（a）约78?由东向西飞行； （b）约12?由东向西飞行； （c）约78?由西向东飞行； （d）约12?由西向东飞行.

3．质点以加速度a??f(t)作直线减速运动，经历时间T后停止，在这段时间质点运动的距离为（ ）

（a）?TT0tf(t)dt （b）??0tf(t)dt （c）

1TTT2?0tf(t)t2dt （d）?0?t?f(t)dtdt? 4．假设某一循环由等温过程和绝热过程

成驻波，弦的张力为T?10N.若入射波与反

射波分别为x?Acos????t?y?1v??,x2?Acos?

???t?y?v??，波的频率v?50Hz，则在t?1/3s时的波形曲线为（ ）

组成（如图），可以认为（ ）

（a）此循环过程违反热力学第一定律； （b）此循环过程违反热力学第二定律； （c）此循环过程既违反热力学第一定律，也违反热力学第二定律.

5．有一个边长为10cm的立方体容器，内盛处于标准状态下的He气，则单位时间内

34 原子碰一个器壁面的次数的数量级为（ ） （a）1020s?1;（b）1026s?1;（c）1032s?1. 6．真实气体在气缸内以温度T1等温膨胀.推动活塞作功，活塞移动距离为L.若仅考虑分子占有体积去计算功，比不考虑时为（ ）；若仅考虑分子之间存在作用力去计算功，比不考虑时为（ ）. （a）大；（b）小；（c）一样.

7．用X射线射测定普通金属的晶格常数，X光管的加速电压的最小量级为（ ）. （a）103V；（b）104V；（c）105V （d）106V.

8．现有用来验证欧姆定律的电路，若只能进行一次测量，则A表选用（ ），B表选用（ ）最为精确.设下列表头精确度是一样的

（a）1mA表头，量程为3V，100分度. （b）1?内阻表头，量程为50mA，100分度.

（c）2.5?内阻表头，量程为30mA，100分度.

（d）10mA表头，量程为30V，100分度.

二、填空题（共44分，每小题4分） 1．如图所示的加料斗，靠皮带输送砂子.皮带的质量为M，第秒要运质量为m的砂量，如皮带的速率为v，则砂子作用在皮带上的水平力为 .

2．质量为m的质点在水平光滑面上，两侧各接一弹性系数为k的弹簧，如图，弹簧

大学物理方法讲义 另一端被固定于壁上，L为两弹簧自然长度，如使m向右有一小位移后，静止释放，则质点每秒通过原点的次数为 .

3．设小船在无阻力的水面上静止飘浮，小船质量为M，长为L，有一质量为m的人以相对船为a的加速度在船板上步行，则船相对水面的加速度为 .

4．一大气压下，27?C时空气分子的平均动能是 . 5．当前我国科学家研究超导材料的转变温度已达 K. 6．已知0?C的大块冰融解为0?C水时质量增加了1kg，则该冰块为 kg. 7．如下图，直角三角形金属框架abc放在均匀磁场B中，B平行于ab边，当金属框绕ab边以角速度?转动时，abcd回路中的感应电动势?? ，如果bc边的长度为l，则a、c两点间的电位（势）差Ua?Uc= .

8．如下页左上图所示形状的导线，通电流I，放在一个与均匀磁场B垂直的平面上，则此导线受到磁场力的大小为 ，方向为 .

大学物理方法讲义 35

9．功率为P朝各方向均匀发光的点光源，发出波长为?的单色光，在距光源为d处，每秒钟落在垂直于光线的单位面积上的光子数为 .若??6.63Ao则每个光子动量为 kg?m/s，质量为 kg.

10．氢原子的电离能为136.eV，赖曼线系前两条谱线的频率为 Hz， Hz.

11．电子在阱宽为1Ao的一维无限深势阱中运动，用测不准原理估算其最小能量为 J.

三、计算与回答（共64分） 1．（12分）在光滑水平桌面上，整齐地互相平行的排列着一组长为l，质量为m的均匀细杆，杆间距离是足够大的，今有一质量为M的小球以垂直于杆的速度V0与细杆一端作弹性碰撞，随着细杆的旋转，此杆的另一端又与小球弹性相碰，而后小球相继再与第二杆、第三杆、??相碰.问当

Mm为何值时，M才能仍以V0速度穿出细杆阵列？

2．（9分）有n摩尔的理想气体，经历如

图所示的准静态过程，图中P0、

V0是已知量，ab是直线，求

①气体在该过程中对外界所作的功和所吸收的热量，

②在该过程中温度最高值是什么？量低值是什么？并在p?V图上指出其位置.

3．（10分）已知两个同心金属球壳的内径分别为a、b，（b?a），中间充满电导率为?的材料 ，?是随外电场变化的，且?= KE，其中K为常数，现将两球壳维持恒定电压，求两球壳间的电流.

4．（12分）一半径为R1的球体均匀带正电，体电荷密度为?，球内有一半径为R2的小球形空腔，空腔中心O?点与球心O点相距为a，如图所示. ①求空腔内P点外的电场强度E. ②画出空腔内电力线的分布. ③求空腔中心O?处的电势.

5．（6分）杨氏双缝干涉中，当每一缝宽a略大于波长?，且两缝中心间距d比a大几十倍时，则远方屏幕上的干涉光强分布如图所示，O为屏幕中心.现令两缝皆以自己的缝中心为平衡位置，作彼此相互接近和远离的简谐振动，振幅与a同数量级.振动频率为100Hz.试在光强分布图上画出人眼所见的光强分布略图.

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6．（9分）用旋转的检偏镜对某一单色光进行检偏，在旋转一圈的过程中，发现从

大学物理方法讲义 检偏镜出射的光强并无变化.先让这一束光通过一块?/4波晶片，再通过旋转的检偏镜检偏，则测得最大出射光强是最小出射光强的2倍，试问：入射的是什么偏振态的光，其中自然光光强占总光强的百分之几？

7．（6分）试说明如何应用一般文具和最小格值为mm的米尺去测量一束激光的波长的大约值.

答案及参考解法

一、选择题（共32分，每小题4分） 1．（a） 简要说明：

驻波x?x1?x2?2Acos?cos

其纬度为?，地球近似为球体，半径为R，自转角速度为?，则： ???Rcos?

co?s?2?y?? ?R??T???100m/s

?0.208 ??78? 3．（a）和（d） 简要说明：

位移x??0vdt???0v0??0f(t)dtdt? 考虑到t?T质点停止，即 v0??0f(t) dt代入上式得到：x??0dt??t?f(t)dt 此即（d）式.

由数学中二重积分的公式，上式可变为 x??0d?t?0TTTTT ???100v501001 t?s时 ?t?2?vt??

33100 ?此时x?2Acos?cos?y

3 ??Acos?y正与图形（a）相

符.

2．（a）

简要说明：

若飞机在地心参照系中静止，则飞机上人看太阳将几乎不动地停在空中.此时飞机速度（相对地球）应与该点地球自转速度大小相等方向相反，即飞机应自东向西飞行.设

?2m

TT?t??f(t?)d?t0Ttf (t)dt此即（a）式.

4．（b） 简要说明：

按如图曲线做一个正循环，相当于从单一热源吸热完全转为功而没有其他变化，所以违反热力学第二定律.但是这样的循环不以见得违反热力学第一定律，如果从外界吸收的热量等于对外界作的净功的话. 5．（b） 简要说明：

单位时间内碰一个器壁面的分子数为：

大学物理方法讲义

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??1nvA?1?PA8RT66kT?? ?PNA23??RT 1?150?6?1203?120??14 ?03

2??2?1?03?.831?2

73 ?7.49?1025/s 6．（a）；（b） 简要说明：

可用范德瓦尔斯气体代表真实气体来粗略讨论分子体积及分子间引力的影响.1mol范氏气体在T1温度下等温膨胀，作功为：

W??V2V2?RT1a?VpdV??V???V?bV?dV

112? ?RTV2?b?11?1lnV?a???V? 1?b2V1? 只考虑分子体积影响时，可取a?0，由于lnV2?bV?lnV2，?分子体积的影响是使1?bV1作功增加.

只考虑分子之间引力的影响，可取

b?0，由于a??11V????0，?分子之间引

?2V1?力的影响是使作功减少. 7．（b） 简要说明：

在电场中加速的电子打到靶上，激发靶原子内层电子，外层电子向空缺电子层跃迁，从而产生一系列X光辐射.电子的动能要大于或等于最短波长的X光子能量，即： eV?hc?

min 金属的晶格常数为A量级.由乌利夫一布喇格公式，检测的X光最短波长也应是A量级.

?Vhc6.63?1?38 k??e?04??3101?1?010?.1?6?110 9 ?1.24?14V0 实际应用中常用的Cr、Fe、Cu、Ni、Ca靶的临界电压（最小电压）为6—9kV. 8．（a）（c） 简要说明：

首先估计电阻电压?3V，电流?3mA. 电压表可选（a）、（d），二者的内阻大致相等（?3000?），但用前者测量，读数接近满量程，读数精度高.由于各表头精度相同而（d）的量积大、所以（d）的绝对误差比（a）大，综合以上三点，应选（a）. 由流表可选（b）、（c）.由于不知道二个表头的满刻度电流Ig，所以无法比较二者的内阻.二者表头精度相同，所以（c）表绝对误差比（b）小，而且用（c）表测量时接近满量程，读数精度高.考虑以上二点，应选（c）表.

二、填空题（共44分，每小题4分） 1．mv 简要说明：

dt时间内，mdt质量砂子落到皮带上，其水平速度由0变为v，由动量定理，皮带对该质量砂子的水平冲量Fdt应满足：

Fdt?(md?t?v0)?mvd?t, Fm 由牛顿第三定律，砂子作用在皮带上的水平冲力为mv.

2．12k?m 简要说明：

当质点离开其平衡位置位移为x时，所受合力为?2kx.由牛顿定律，其自由振动方程为：mx??2kx 即：x?2kmx?0 ?其自由振动频率为12k2?m 在振动中，质点每运动一个周期，通过原点二次，所以质点每秒通过原点为12k?m次.

此题也可将二个弹簧折合成一个弹簧考

v

38 虑，也可以从能量角度考虑，即找出其势能，再与标准形式对比得到振动频率.

3．mm?Ma

简要说明：

开始人、船静止，且不考虑水的阻力，所以人、船的质心静止不动.设人的坐标为x船的坐标为X，则有

mx?MX?常数，mx?MX?0 由相对运动关系，x?a?X代入上式得

到X??mm?Ma.答案中只考虑大小，不计符

号.

4．1.04?10?20J

简要说明：

空气主要由氮气、氧气构成，可看作双原子分子.室温下振动自由度未激活，分子的自由度为5，所以一个分子的平均动能为：

52kT?52?1.38?10?23?300 =1.04?10?20J

5．略 简要说明：

1992年5月25日北京国际高温超导会上宣布，我国研制的高温超导材料转变温度达127.5K（原答案要求当年5月24日前见报的最新数据）. 6．2.69?1011kg 简要说明：

由爱因斯坦质能关系式：

E?mc2

由题，m质量冰吸收融解热m?后增加质量?m，??mc2?m? ?m??mc2?1?32?1016?3.34?150 ?2.69?1011kg 7．0,?1?Bl22

简要说明：

大学物理方法讲义 金属框架abc中的磁场始终为零，所以abcd回路中的感应电动势为零.由于整个回路感应电动势为零，而且导线ab不切割磁力线?ab?0，所以?ca??bc?0 ??ca???b?c??cbv?B?d l ???l?lbdl??12?Bl20

又由于回路中无电流

?U2a?Uc??c?a?12?Bl 8．BI(l?2R) 简要说明：

可以证明，在均匀磁场中闭合电流回路所受磁场力之和为零：F??Idl?B?I

??dl??B?0

设想添上ca、dc导线，使abca及cd弧dc线分别构成两闭合回路 ?Fab?Fbc?Fca?0

F弧cd?Fdc?0

?Fab?Fb?cF弧cd???F?caF? dc 其中Fab表示导线ab所受磁场力，其他

类似.

?Fdc?Fc a ??aa?dIdl?B??IB?ddlk ??IB(l?2R? )k（k?为沿纸面竖直向上的单位矢量） ?力的大小为IB(l?2R)，方向为沿纸面竖直向上. 9．

?P4?d2hc;1?10?24kg?m/s; 3.33?10?33kg

简要说明：

大学物理方法讲义 39

每秒落在半径为d的单位球面积上能量为P?14?d2，相当于n个光子，每个光子能量为

hc?，

?n?P?4?d2 光子动量=h6.63?10?34??6.63?10?10?1.00?10?24 kg?m/s

光子质量=Ehvhc2?c2?c? ?1.00?10?24 3?108

?3.33?10?33kg

10．2.46?1015Hz;2.92?1015Hz

简要说明：

氢原子赖曼系光谱为v?RC??1??1?n2??n

?2

E?19 其中：RC?vi13.6?1.6?10??h?6.63?10?34 ?3.28?1015Hz

n?2v?v?1?3???1?4???4v?

?2.46?1015Hz

n?3v?v?1?8???1?9???9v?

?2.92?1015Hz

11．6?10?19J（或2.41?10?19J） 简要说明：

用测不准原理做定性估计时，常取???p?或?x??p?h，此处取?x?1Aox

? 10?10m

?E(?p2)min??E?k2m 若取?p??x则

Emin?h24?2?2m?(?x)2?6.11?10?19J 若取?p?h?x?2??x则 E?19min?4?2?6.1?110?.2?41?117 J0三、计算回答：（共64分） 1．（12分）解：

先考虑小球M与杆1碰撞的过程，对M与m系统，由于系统所受合外力为零，所以该系统碰撞前后的动量应相同. 碰前系统动量为MV0 碰完系统动量为

MV?mVc

图中C为杆的质心，应注意杆m非质点,

其动量以mVc表之.碰完杆除平动外还有转动，以?表示其转动角速度，即杆可以看成以V速度平移，加上绕C以角速度?转动.系统动量守恒，以式子表示

MV0?MV?mc V 按题意，杆的另一端稍后与M相碰.在m的质心参照系中看，杆只有转动，而小球能与杆的另一端相碰，必须在m的质心参照系中静止才行.这样小球M碰后在地面参照系中的运动速度必是Vc，即 V?Vc 代入上式，有 MV0??M?m?cV 即

VMc?M?mV0 （1）

由于碰撞过程，M、m系统所受合外力力矩为零，故系统角动量守恒.

l2MVl0?2MV?Jc?

而J1c?12ml2，代入得

40

l2MV?l2MV?101ml22? 化简后，再考虑到V?Vc，有

MV0?McV?16m?l （2） 又碰撞是弹性的，所以动能守恒

12MV2111?1?0?2MV2?2mV2c?2??12ml2???2 化简后得

MV2?MV2?mV2120c?12ml? 2（3）

由式（1）、（2）可解得 mVc?16m?l 即

6Vc?l? 代入式（3），得 MV220??M?m?V2c?3612mVc ??M?4m?V2c 将式（1）代入，有

M2 MV20??M?4m?(M?m)2V20 解出

Mm?12 其它杆与小球碰撞与之完全相同，这样小球能仍以速度V0穿出细杆阵列. 2．（9分）解：

① 由图知 PaVa?PbB b ?Ta?Tb，?U?0

由图知曲线下面积，即气体对外作功为

W?12(3P0?P0)(3V0?V)0

?4PV00

由热力学第一定律，知 Q??U?W?4PV00

② 由于PV?nRT，所以写出过程方程，代入上述状态方程，然后求出T的极值，就可以知温度的极值.

从图可知过程方程即ab直线的方程为

P??P0VV?40P （1）0大学物理方法讲义 代入状态方程 T?PVnR??P04PVnRVV2?0 （2） 0nR

dT2P04dV??nRVV?P0 0nR 极值处dTdV?0 可解得 V?2V0

代入式（1）

P??P0V2V0?4P0 0 ?2P0

?该处为温度极大值，将P?P0,V?V0代入式（2），得最高温度为 Tmax??P0nRV4V24P0?0nR2V0 0 ?4PV00nR 由于该直线上温度T只有一个极值，且已经知道它是极大值，所以温度最低值一定在端点a或b.但PVaa?PVbb，故两端温度相同，都是最小值.将P?3P0、V?V0（或P? P0、V?3V0）代入状态方程，即得可最低温度

TPVmin?nR ?3PV00nR

故最高温度在（2P0、2V0）点，即P-V图上ab线的中点；最低温度在（3P0、V0）点及（P0、3V0）点，即P、V图上ab线的两端

a及b点. 3．（10分）解： 由j??E,??KE得

j?KE2

在两金属球壳间作一半径为r的球面S，

大学物理方法讲义 41

则穿过此面的电流. I?jS

?KE24?r2 可知 E?I4?K/r

而两金属球的电压 V??baE?d l ??bIaEdr?4?Klnba ?2 ?I????V??4?K

??lnba?? 4．（12分）解：

整个有空腔的带电体可以看成半径为R1的均匀带正电荷（体密度为?）的无腔球体及半径为R2的均匀带负电荷（体密度为??）的球体叠加而成（带负电荷的球体球心在O?）.

P为空腔内任一点，令OP?r,O?P?r?, OO??a，则r??r?a

①对无空腔的均匀带正电球体，由高斯定理可知

4?r3? ?E1?dS?3?

(s)0式中E1为此无空腔球体产生在P点的场强，S为过P点的以O为球心、r为半径的假想球面，等式左边为E21?4?r，这样可求得 E?1?3?r 0写成矢量式E1??3?r 0 再考虑均匀带负电的球体（处于空腔位置）在P点产生的场强E2，由高斯定理，同样可得 E??2?3?r? 0将两者叠加就可得有空腔时P点的场强E， E?E1?E?2?3??r?r????a 03?0即空腔内为均匀电场，其大小为

?a3?，方向0沿矢量a方向.

②空腔内电力线为一组平行于OO?的线，方向与a相同，如图所示.

③对于任一点电势，同样应为均匀带电体密度为?的大球与均匀带电体密度为一?的小球（小球处于空腔位置）分别在该点产生电势的叠加.

先求半径为R的均匀带电球体，在球内任一点的电势.我们已知在球内的场强为 E?1内?3?r （r?R1） 0由高斯定理、不难求得球体外的场强为 E?R31?1外3?r r?R 0r3所以球内距球心为r处的电势为 UR1?1??rE1内?dr??RE11外?dr ??R1?r??R31r3?dr??0R13?2dr 0r42 ???R21r22?3????R1? 0?22? ??6??3R21?r2? 0 同理，可求得均匀带电体密度??的小

球在球内距球心为r?处的电势为

U??2?6??3R222?r?? （2） 0对O?点，r?a，r??0分别代入式（1）、式（2）并叠加，可得 VO??V1O??U2O?

??6??3R2?a2???16??3R22?0? 00 ??3R26??1?3R22?a2? 0 5．（6分）解

我们知道双缝干涉条纹中两个亮纹中心（或两个暗纹）之间的距离为 ?x?Dd? 式中D为屏幕与双缝的距离，d为两缝中心间距，?为单色光波长.

现在双缝间距d作“大小大”的周期性变化，导致干涉条纹间距作“窄宽窄”的周期性变化，其变化周期为0.01s.人眼响应时间为0.1s，远大于条纹“振动”的周期，故对屏上任一点只能觉察到光强周期变化的平均效果.在干涉级次稍高处，各时刻的干涉光强极大必将填满原来缝不振时两干涉极大间的空间，造成干涉条纹消失.所以人眼看到仅中央处有少数干涉条纹，且对比度亦不大，稍

大学物理方法讲义 远处将是光强为2I0的一片均匀照度，如图虚线所示. 6．（9分）解

检偏镜旋转一圈，出射光强无变化，则入射光可以是自然光或圆偏振光或两者的混合，过

?4波片后，再通过检偏镜旋转检偏，无光强为零的情况，可见入射光非单纯圆偏

振光，因为圆偏振光经

?4波片后将成为线偏振光.入射光亦非自然光，因为自然光经?4波

片后仍是自然光.这样入射光只能是自然光和圆偏振光的混合.

设入射总光强为1，其中自然光强为x，则圆偏振光强为(1?x).自然光过?4波片后，光强为x，过检偏镜后光强为

x2.圆偏振光过?4波片后，光强为(1?x)，过检偏镜后光强最大值(1?x)，最小值为零.按题意出射光强的最大值为最小值的2倍，故

x2?(1?x)?2(x2?0) 解得：

32x?1,x?23?66.7% 此即自然光光强占总光强的百分比. 7．（6分）解： 用刀片刻纸片成单缝，缝宽约

110mm数量级，用激光垂直纸片入射，在离缝约5~10m远的墙上用尺测量单缝衍射图样相邻极小值间的距离，求出平均值?x，则由单缝衍射极小公式可知

?x?L?a ???a?xL

可以估计各量数量级，?为10?7m，L为100m，a为10?4m，这样?x为10?3m数量级，可用最小格值为mm的尺去测量.

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