中科大组合数学试卷

2011年1月13日组合数学

1、有n个正整数组成序列S:x1,x2,...,xn，求证：该序列中一定存在连续的一段

S1:xi,...,xj(1?i?j?n)，使得该子序列的和能够被n整除：n|?k?ixk

kkk?12、写出如下等式的组合含义：C0?C1k?...?Cn?Cn?1

j

3、 A、B两个玩家轮流拿n个硬币，每人每次可以拿1个或2个。问：第一次和最后一次都是A拿的方案书是多少？

4、 求满足如下方程正的解的个数：x1?x2?x3?x4?18，其中，1?xi?8，xi?Z*

5、 求

（1）n位十进制整数中不出现1或2或3的个数

（2）直线x+ky=n在第一象限与坐标轴围出的区域中覆盖的整数点的个数（在线上和坐标轴上的点也包括在内）

6、 A、B两种球各2个放在2个盒子中，问在如下两种情况下各有杜少中放法？ （1）2个盒子不同 （2）2个盒子相同

7、 在一条直线上放N个k中颜色的球，问在如下两种情况下放球的方案数： （1）颜色数最多k种 （2）颜色数恰等于k

2012-2013年第一学期

一、（10分）设a1,a2,...,a100是由数字1和2组成的序列，已知从任一数开始的顺序10个数的和不超过16，即ai?ai?1?...?ai?9?16,1?i?91，则存在h和k，k > h，使得

ah?1?...?ak?39

二、（12分）

（1）是否存在参数为b=12,k=4,v=16,r=3的BIBD？

（2）设样品是4?4棋盘上的16个方格，定义区组如下：对于每个给定的方格，取与其在同一行或同一列的6个方格（但不包括该方格本身）。因此棋盘上的16个方格中的每个方格

都以这种方式确定一个区组。证明折是一个BIBD。 三、（16分）令S?{1,2,...,n?1},n?2，T?{(x,y,z)|x,y,z?s,x?z,y?z}，证明： （1）|T|??kk?1n2

?n?1??n?1?（2）|T|????2??

23????

四、（16分）设长为n个三元序列（即用0,1,2组成序列）中1与2的个数之和为奇数的序列个数为an。

（1）试建立{an}的递归关系（不同求解）

（2）用生成函数法求出an（要求：不能使用第1小题建立的递推关系）

五、（8分）一个项链由7颗珠子装饰成的，其中两颗珠子是红色的，3颗是蓝色的，其余两颗是绿色的，问有多少种装饰方案？ 六、（8分）四位十进制a b c d，试求a+b+c+d=31的数的数目。 七、（14分）

（1）在有5个0，4个1组成的字符串中，出现01或10的总次数为4的字符串，有多少个？

（2）在有m个0，n个1,组成的字符串中，出现01或10的总次数为k的字符串，有多少个？ 八、（16分）来自n个国家的5n个人站在一排，每个国家5个人。证明： （1）求每个国家的5个人都站在一起的排列个数。

（2）证明：使得每一个人都挨着他的一个同胞而站的排列个数为：

?n??n?n?n?120[(2n)!???(2n?1)!???(2n?2)!?...?(?1)??n!] ?1??2??n?n

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