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2011年五校教学调研数学试卷 （理科）
班级 姓名
一、填空题（56分）
x?0}，1.已知集合M?{x|x?N?{y|y?3x22?1,x?R}，则M?N等于 。
答:[1,2) ；
?32.若sin???5，则行列式cossin?725sin?cos?= 。
；
3.已知a?R，若(1?ai)(3?2i)为纯虚数，则a的值为 。?3； 24.若(n??a?1)6的展开式中的第五项等于15，则2的值为 。1 ；
nlim(a?a2?????an)5.已知等比数列{a}的公比为正数，且a?a39?2a52，
a2?1，则a= 。22；
1?16.设f(x)的反函数f(1,2)(x)，若函数f(x)的图像过点
，且f?1(2x?1)?1，则x= 。1 2开始7.甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达2
到标准的概率分别是0.8，0.6，0.5，则三人中至少有一人达标的概率是 。
2124???解:p?1??1?0.8??1?0.6??1?0.5??1?1. 55225)，C是曲8.在极坐标系中，已知点A(2,?)，B(2,?2线
上任意一点，则?ABC面积的最小值等于 。
3?2；
9. 程序框图所示，将输出的a的值依次记为a,a,???a，
那么数列{a}的通项公式为a= 。 9、 2?3(n?N,n?2010)
10. 在北纬45东经30有一座城市A，在北纬45东经120有一座城市B，设地球半径为R，则
??2cos?12nnnn?1*????A、B两地之间的距离是 。10、?3R 11. 已知点Q(202,0)及抛物线
x2y?4上一动点P(x,y)，
00则y?|PQ|的最小值为 。11、2
12.若函数y?f(x)的图像是开口向下的抛物线，且对任意x?R，都有f(1?x)?f(1?x)，设向量
3
?a?(log1m,?1)2，
?b?(?1,2)，则满足不等式
??f(a,b)?f(?1)的
实数m的取值范围 。 解:设f(x)??a?x?1??l(a?0).
2又a?b??log12m?2
?12??2?log由题意有f?a?b??f??1??f???m???f??1??
????l??4a?l??a??3?logm1??2??????4?3?log1m?2???3?logm1??22???log1m??1orlog1m??52222
?0?m?2orm?3213.设[x]表示不超过x的最大整数，如
[1.5]?1,[?1.5],??2，若函数
axf(x)?(a?0,a?1)1?ax，则
1??1??g(x)??f(x)????f(?x)??2??2??的值域为 。
解:{-1,0}.
14.已知数列A:a,a,???,a(0?a?a?????a,n?3)具有性质P：对任意i,j(1?i?j?n)，a?a与a?a两数中至少有一个是该数列中的一项，现给一下四个命题： ① 数列0，1，3，5，7具有性质P；② 数列0，2，4，6，8具有性质P；
③ 数列A具有性质P，则a?0； ④ 若数列
12n12njiji14
具有性质P，则a?a?2a。
其中真命题有 。 14、②③④ 解:①依题意a?1,a?3,?a?a?4?{a},a?a?2?{a},所以数列不具有性质P;
a1,a2,a3,a4,a5(0?a1?a2?a3?a4?a5)1322323n32n②
0?0?0,0?0?0,0?2?2,2?0?2,2?4?6,4?2?2,4?6?A,6?4?2,8?6?2
因此0,2,4,6,8,具有性质P.
③?A?{a,a,?,a}(0?a?a???a,n?3)具有性质P,所以a?a与a?a中至少有一个属于A. 由于0?a?a???a,?a?a?a?a?a?A. 从而0?a?a?A,故a?0.
?0?a?a???a,?a?a?a?a?a?A?k?2,3,?,n?. 由A具有性质P可知a?a?A(k?1,2,3,?,n). 又?0?a?a?a?a?a?a???a?a?a?a, ?0?a?a?a,a?a?a,?,a?a?a,a?a?a. 从而有?a?a???a?a?????a?a???a?a??a?a???a?a,
12n12nnnnn12nnnnnnnn112nknnknnknnnn?1nn?2n2n1nn1nn?12n2n?1n1nnnnn?1n2n112n?1n?nan?2?a1?a2???an?1?an??an?2?a1?a2???an?n.
④由③可知,当n=5时,有a?a?a,a?a?a?a?a?a?2a . ?0?a?a?a?a?a,
?a?a?a?a?a?a?a?A,由A具有性质P,可知
54253352431234534245345
a4?a3?A.
,且0?a
3由a2?a4?2a3?a4?a3?a3?a2?A?a2?a3,
?a4?a3?a3?a2?a2.?a5?a4?a4?a3?a3?a2?a2?a1?a2.12345即0?a,a,a,a,a
是首项为0,公差为a的等差数列. 同步训练:
(2009北京卷20题共13分） 已知数集A??a,a?,a???1a?a??an?,?具有性2质P；对任意的
212n12ni,j?1?i?j?n?，aa与a两数中至少有一个属于A. ijiajw.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）分别判断数集?1,3?,与是否具有4?1,2,?3,6性质P，并说明理由；
?a（Ⅱ）证明：a?1，且aa?a11?112?12???an?an?1???an2345；
（Ⅲ）证明：当n?5时，a,a,a,a,a成等比数列..k.s.5. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法．本题是数列与
1
6
不等式的综合题，属于较难层次题. （Ⅰ）由于3?4与4均不属于数集?1,3,4?，3∴该数集不具有性质P.
61236,,,,,都 由于1?2,1?3,1?6,2?3,6231236属于数集?1,2,3,6?，
∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵A??a,a,?a?具有性质P，∴
12nanan与a中至少有一个属于A， ann由于1?a?a???a，∴aaaa?A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
12nnnnn?an，故
. 从而
1?an?Aan，∴
a1?1w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∵1?a?a???a， ∴aa?a，
故aa?A?k?2,3,?,n?.
由A具有性质P可知
12nknnknan?A?k?1,2,3,?,n?ak.
nn又∵aa∴
?anaa???n?nan?1a2a1，
，
anaaa?1,n?a2,?n?an?1,n?ananan?1a2a17
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
从而aa∴
nn?ananan?????a1?a2???an??1anan?1a2a1a1?a2???an?an?1?1a1?1?a2???an， . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m a（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n?5时，有a54?a2,a5?a3a3，
即a?aa?，a ∵1?a?a2524312???a5，∴a3a4?a2?a4，∴aa?A， a34由A具有性质P可知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由aa4a3??a2a3a22a4?Aa3. a4?2a3a，得a32?a4?Aa3a，且1?a32?a2，∴
，
54a∴a?a4a3a2???a2a3a2a1，即a,1a2,a3,a4,a是首项为1，
公比为a成等比数列..k.s.5.
2
二、选择题（20分）
15. a?3是直线ax?2y?3a?0与直线3x?(a?1)y?a?7平
8
行的 （ C ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
16. 下列四个命题中真命题是 （ B ） A.同垂直于一直线的两条直线互相平行 B.过空间任一点与两条异面直线都垂直的1-10直线有且只有一条；
C.底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱；
D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个； 17. 随机变量?概率分布律如下，其中a、b、
c为等差数列，若E(?)?1，则D(?)的值为（ B ） 3452A.9 B.9 C.1 D. 33解:首先复习数学期望与方差的概念与性质: 一般地,若离散随机变量?的概率分布列为 ? x x … x … P p p … p … 则称E??xp?xp???xp??为?的数学期望。 期望的性质：
若??a??b，则E?a??b??aE??b。
对于离散型随机变量?，如果它有可能的值
12i12i1122nn9
是x,x,?,x,?，且取这些值得概率分别是 p,p,?,p,?，那么
D???x?E???p??x?E???p????x?E???p??称为随机变量?的方差，简称为方差。 方差的性质： （1）D?a??b??aD?； （2）D??E???E??
方差D?的算术平方根D?叫做随机变量的标准差记作??。
12n12n2221122nn2221?1?1614???1?D????1??a??0??b??1??c?a?b?c3?3?999???3?1?a?,??6?a?b?c?1,?1????2b?a?c.??b?,3??11??a?c??c?.3??2?2222
221?1?1614???1?D????1??a??0??b??1??c?a?b?c3?3?999???3?16111415???????9693929
18.设函数f(x)的定义域为D，若存在非零常数T，使得对于任意x?M(M?D)都有f(x?T)?f(x)，则称f(x)为M上高调函数，T是一个高调值。现给出下列命题：
)为R上的高调函数； ② 函数① 函数f(x)?(12x10
为R上的高调函数；
③ 若函数f(x)?x?2x为(??,1]上的高调函数，则高调值T的取值范围是(??,?4]
其中正确的命题个数是 （ D ）
A．0个 B. 1个 C.2个 D.3个
三．解答题（74分）
19. 已知复数z?sin2x??i，z?m?(m?3cos2x)i (?,m,x?R)，且z?z.
⑴ 若??0且0?x??，求x的值；
⑵ 若??f(x)，求f(x)的最小正周期和单调递减区间.
f(x)?sin2x21212解：⑴ ?z?z，
12??sin2x?m??????m?3cos2x ???sin2x?3cos2x
若??0则sin2x??0?x??3cos2x?0得tan2x?3，
4??2x??x?或, ?0?2x?2? ?2x??,或， 3362?3
?1?3???f(x)?sin2x?3cos2x?2??2sin2x?2cos2x????⑵
?2(sin2xcos??cos2xsin)?2sin(2x?)333?? ?函数的最小正周
期为T=?
11
?3?5?11?k?Z得k??k?Z ?2x??2k???x?k??由2k???，，2321212?f(x)5?11??k?Z 的 单调减区间为?，k??,k????1212??
20. 如图，已知四棱柱P?ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD?底面ABCD，E,F分别是棱BC、AD的中点.
⑴ 若PD?1，求异面直线PB和DE所成角的大小； ⑵ 若二面角P?BF?C的大小为arccos66，求四棱
P锥P?ABCD的体积.
20、解：⑴ 证明：∵E,F分别为BC,AD中点，ABCD为正方形，∴DF//BE,DF?BE
∴ PB,DE所成的角是?PBF或其补角，?PBF中，BF?5,PF?2,PB?3
DCFEAB12
∴ cos?PBF?25，∴PB,DE所成的角?PBF?arccos25。 ⑵ 以D为原点，射线DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间坐标系，设PD?a，则
????????P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)，PF?(1,0,?a),FB?(1,2,0)，
?设平面PFB的一个法向量n?(x,y,z)， P则
???????PF?n?0?x?az?0??????????FB?n?0?x?2y?0
DCEB令x?1，则
?11n?(1,?,)2a，
FA平面ABCD的一个法向量为二面角
P?BF?D??m?(0,0,1)
66的大小为?，??arccos，则
???m?n6cos??|???|?6|m|?|n|
P?ABCD解得
a?2，∴ 四棱锥。
的体积为
18V??4?2?33
21. 某地区的农产品A第x天(1?x?20,x?N)的销售价格p?50?|x?6|（元/百斤），一农户在第x天(1?x?20,x?N)农产品A的销售量q?a?|x?8|（百斤）（a为常数），且该农户第7天销售农产品A的销售收入为2009元.
⑴ 求该农户在第10天销售农产品A的销售
**13
收入是多少？
⑵ 这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？为多少？
21、解：⑴ 由已知第7天的销售价格p?49，销售量q?a?1得
第7天的销售收入W?49?(a?1)?2009（元）。?a?40 第10天的销售收入W?46?42?1932（元）
10⑵ 设第x天的销售收入为W,则
x??44?x?(48?x)?Wx??2009?(56?x)(32?x)?
1?x?6x?78?x?20
x当1?x?6时， W?(44?x)(48?x)?((44?x)?(48?x)2)?21162（当
且仅当x?2时取等号） ?当x?2时取最大值W?2116
2当8?x?20时，Wx?(56?x)(32?x)?((56?x)?(32?x)2)?19362（当
且仅当x?2时取等号） ?当x?12时取最大值W?1936
12由于W?W?W , ?第2天该农户的销售收入最大.
答：⑴ 第10天销售收入1932元 ⑵ 第2天该农户的销售收入最大且最大为2116元。
271214
22. 已知点M(?2,0)，N(2,0)，动点P满足|PM|?|PN|?22，记动点P的轨迹为?. ⑴ 求?的方程；
⑵ 过N(2,0)作直线l交曲线?于A，B两点，使得|AB|?22，求直线l的方程；
⑶ 若从动点P向圆C:x?(y?4)?1作两条切线，
????????切点为A、B，令|PC|?d，试用d来表示PA?PB，
????????并求PA?PB的取值范围。
22、解：⑴ 由||PM|?|PN||?22,知点P的轨迹是以M(?2,0),N(2,0)为焦点，
实轴长为22的双曲线。即2a?22,2c?4?a?2,c?2,b?2
22所以?的方程为x?y?2 ⑵ 若斜率k不存在，即x?2时，可A(2,2),B(2,?2)得，|AB|?22满足题意；
若k存在，可设直线l的方程为 y?k(x?2)
22y?k(x?2)联立??(1?k)x?x?y?222?22?4k2x?4k2?2?0
8k2?81?k2?222|1?k|由题意知
?k?0?l?k2?0?k?R???0?且k??1，即 ，即l:y?0， 综合：直线l的方
15
程为x?2或y?0
???????????????????⑶ PA?PB?|PA|?|PB|cos?APB?(d = 又d则
222?1)(1?2sin2APC)
12?(d2?1)(d2?2)?(d?1)?1?2()??d?d2?
?x2?(y?4)2?y2?2?(y?4)2?2y2?8y?18?2(y?2)2?10?10????????(d2?1)(d2?2)22PA?PB??d??3d2d22?32d ?d2?10
f(d)?d2?在[10,??)236?3?是增函数， ?f(d)?10?10 5则所求的
????????PA?PB36?的范围为?,???。 ?5??23. 已知数列{a}和
n{bn}a满足：a??，
1n?1?2an?n?43，
，其中?为实数，n为正整数.
⑴ 对任意实数?，证明：数列{a}不是等比数列；
⑵ 证明：当???18时，数列{b}是等比数列； ⑶ 设0?a?b（a、b为实常数），S为数列{b}的前n项和，是否存在实数?，使得对任意正整数n，都有a?S?b成立？若存在，求?的取值范围；若不存在，说明理由。
解：⑴ 假设存在一个实数?，使{a}是等比数列，则有a?aa，
bn?(?1)n(an?3n?21)nnnnnn2213
16
??3)即(23n2444??(??4)??2?4??9??2?4??9?0999不成立
，
所以{a}不是等比数列. ⑵ 因为 b当
?n?1n?12?(?1)[a?3(n?1)?21]?(?1)(an?2n?24)n?1n?1322??(?1)n(an?3n?21)??bn33
，由上可知
bn?0???18时，
b1??(??18)?0bn?12??(n?N*)bn3故当???18时，数列{b}是以?(??18)为首项，?2为3n公比的等比数列
⑶ 由⑵知 ，当???18时，b?0,S满足题意
nn?0 ， 不
当???18时，b要使a?Snn2??(??18)?(?)n?13，Sn32??(??18)[1?(?)n]53?b对任意正整数n都成立，只要
（ n?N）
*32a??(??18)[1?(?)n]?b53即
3b??(??18)?2251?(?)n1?(?)n33na ………………(*)
5),则当n为正奇数时，1?f(n)?，令f(n)?1?(?2当n为335?f(n)?1 正偶数时，9?f(n)5f(n)的最小值为f(2)?，的最大值为f(1)?5， 3917
33a??(??18)?b??b?18????3a?18 于是，由(*)式得9555当a?b?3a时，由?b?18??3a?18，不存在实数?满足
题意；
当b?3a?0时，存在实数?，使得对任意正整数n，都有a?S?b
且?的取值范围是(?b?18,?3a?18)。 补充例题：
（09四川22题满分14分） 设数列?a?的前n项和为S，对任意的正整数n，
nnn都有an?5Sn?1成立，记bnn?4?an(n?N*)1?an。
（I）求数列?b?的通项公式； （II）记c?b?b(n?N)，设数列?c?的前n项和为
*n2n2n?1nTn，求证：对任意正整数n都有Tnn?32；
（III）设数列?b?的前n项和为R。已知正实数?满足：对任意正整数n,R??n恒成立，求?的最小值。
（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
nn解：（Ⅰ）当n?1时，a?5a?1,?a??1 411118
又
?Qan?5an?1,an?1?5an?1?1
1?an?1?an?5an?1,即an?1??an4n
1数列?a?成等比数列，其首项a??1，公比是414q??
……………………………………..3
1?an?(?)n414?(?)n4?bn?11?(?)n4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn?4?5(?4)n?1
5525?16n?cn?b2n?b2n?1?2n??4?142n?1?1(16n?1)(16n?4) =
125?16n25?16n25??nn2nn2(16)?3?16?4)(16)16?134,?c1?33
又b?3,b2
当n?1时，T?3 21当n?2时，Tn?4111?25?(2?3?K?n)3161616
11n?1[1?()]2416??25?16131?1612469316??25???......................7分134821?16
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（Ⅲ）由（Ⅰ）知bnn?4?5(?4)n?1
一方面，已知R??n恒成立，取n为大于1的奇数时，设n?2k?1(k?N) 则R?b?b?K?b
1111??KK?? ) ?4n?5?(4??14?14?14?111111??[?(??K)K?(? ?4n?5 )]14?14?1?41?41?4*n122k?1123k?21123k2k?21 >4n?1
??n?Rn?4n?1,即（??4）n??1对一切大于1的奇数n
恒成立
???4,否则，（??4）n??11只对满足n?4?的正奇数n?成立，矛盾。
另一方面，当??4时，对一切的正整数n都有R?4n
事实上，对任意的正整数k，有
nb2n?1?b2n?8?5(?4)2k?1?1(?4)2k?1?5
4
??8?520?(1k6?)1k?(16)k15?1?640?8?k?8k(16?1)(16?4)
*当n为偶数时，设n?2m(m?N) 则R?(b?b)?(b?b)?K?(b?b)
n12342m?12m20
<8m?4n
当n为奇数时，设n?2m?1(m?N) 则R?(b?b)?(b?b)?K?(b?b)?b <8(m?1)?4?8m?4?4n
?对一切的正整数n，都有R?4n
综上所述，正实数?的最小值为4………………………….14分
（2009重庆21题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
设m个不全相等的正数a,a,?,a(m?7)依次围成一个圆圈．
（Ⅰ）若m?2009，且a,a,?,a是公差为d的等差数列，而a,a,a,?,a是公比为q?d的等比数列；数列a,a,?,a的前n项和S(n?m)满足：S?15,S?S?12a，求通项a(n?m)；
（Ⅱ）若每个数a(n?m)是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：a???a?a???a?maaa；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （21）（本小题12分） 解：（I）因a,a,a,???,a是公比为d的
等比数列，从而a?ad,a?ad 由
S?S?12得aa?a?1，故2a*n12342m?32m?22m?1n12m121005120092008100612mn3200920071nn16272m12m1200920081006220001200812009200812008
21
解得d?3或d??4（舍去）。因此d?3 又 S?3a?3d?15。解得a?2 从而当n?1005时， a?a?(n? n3?11)d?2?3n(?1)?311n1n?20 当100?6时，由a,d的等比数列得 a?ad?ad(1006?n?2009)
1a20,0a,29???008,a是公比为
2009?(n?1)2010?nn11因此an?3n?1,n?1005??2009?n,1006?n?2009?2?32n
得
（II）由题意a2222222?an?1an?1(1?n?m),am?am?1a1,a1?ama2 ① ?an?an?1an?1(1?n?m),??am?am?1a1 ②?a?aa ③m2?1
有①得a3?a2a11,a4?,a5?,a6?1a3a1a2a212n ④
2n由①，②，③得aa???a?(aa???a)，
故aa???a?1. ⑤
1212n又aar?6?r?3?ar?2ar?111???(1?r?m?3)ar?1arar?1ar，故有
1?ar(1?r?m?6)ar?3.⑥
下面反证法证明：m?6k 若不然，设m?6k?p,其中1?p?5 若取p?1即m?6k?1，则由⑥得a得amm?a6k?1?a1，而由③
?a1a,故a1?1,a2a2
22
得aa6?2?1,由②得am?1?am,从而a6?a6k?am?1,a1而
（1?n?m）与题
a1,故a1?a2?1,由a2④及⑥可推得an?1设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得a?1（1?n?m）与题设矛盾,因此m?6k为6的倍数 由均值不等式得
na1?a2?a3?K?a6?(a1?aa11)?(a2?)?(2?1)?6a1a2a1a2
由上面三组数内必有一组不相等（否则
，故a?a?a?1，从而a?a?K?a?1与题设矛盾）
等号不成立，从而a?a?a?K?a?6 又m?6k，由④和⑥得
12345m1236222222a7?K?am?(a7?K?a12)?K?(a6?K?ak?56k)2 ＝（k-1) (a12?K?a6)
＝（k-1) (a12?１１１22＋a?＋a?)?６(k-1)２３22a12a２a３因此由⑤得
22a1?a2?a3?K?a6?a7?K?am?6?6(k?1)?6k?m?ma1a2a3Kam
23
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