广东历年高考函数与导数大题

历年广东高考之——函数与导数大题

历年广东高考之——函数与导数大题

1、(2007年第21题 本小题满分l4分)

已知a是实数，函数f(x)?2ax2?2x?3?a．如果函数y?f(x) 在区间[?1,1]上有零点．求a的取值范围． 【解析】当a=0时，函数为f (x)=2x -3，其零点x=

3不在区间[-1，1]上。 2当a≠0时，函数f (x) 在区间[-1，1]分为两种情况： ①函数在区间[─1，1]上只有一个零点，此时

???4?8a(?3?a)?0 ? f 1 ) f ( 1)?(a?5)(a?1)?0 (?????4?8a(?3?a)?0?或? 1?1???1?2a?解得1≤a≤5或a=

?3?7 2②函数在区间[─1，1]上有两个零点，此时

a?0a?0?????8a2?24???8a2?24a?4?0a?4?0????11?1???1?1???1 ? 或?

2a2a??f?1??0f?1??0????f?1?0f??1??0????解得a?5或a<

?3?7 2综上所述，如果函数在区间[─1，1]上有零点，那么实数a的取值范围为

(-∞, ? 3 ? 7 ]∪[1, +∞).

2

1

历年广东高考之——函数与导数大题

2、（2008年第17题.本小题满分12分）

某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560+48x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用）

建筑总面积【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f（x）元，则

?4x8 f?x???560?? f??x??48?216?01000010800?x?10,x?Z?5?60x?48??

2000xx10800, 令 f??x??0 得 x?15 2x 当 x?15 时，f??x??0 ；当 0?x?15时，f??x??0

因此 当x?15时，f（x）取最小值f?15??2000； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。

2

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3、（2009年第21题――本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m?0).设函数f(x)?g(x) x(1)若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2) k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点. 【解析】（1）设g?x??ax2?bx?c，则g??x??2ax?b；

又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 又g?x?在x??1取极小值， ? ?g??1??a?b?c1?2? f?x??b??1 ， b?2 2 c?m； ?c?m，1?g?x?m?x??2， 设P?xo,yo? xx22 则PQ?x0??y0?2?2?m?m222?x0??x0???2x0?2?2?22m2?2

x0?x0?2 ?22 m??m2?2?4 （2）由y?f?x??kx??1?k?x?22；2w.w.w..s.5.u.c.o.m

m?2?0， x 得 ?1?k?x?2x?m?0 ?*?

mm，函数y?f?x??kx有一零点x??； 221 当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1?，

m 当k?1时，方程?*?有一解x?? 函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m?1?k?2?1?k??1?1?m?1?k?k?1；若m?0，

k?1?1?2?4?4m?1?k?1?1?m?1?k?，函数y?f?x??kx有两个零点x?； ?m2?1?k?k?1 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1?k??0, k?1?1, 函数mx?y?f?xx??k有一零点

1k?1w.w.w..s.5.u.c.o.m

3

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4、（2010年第20题――本小题满分14分）

已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)?kf(x?2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间

?0,2?上有表达式f(x)?x(x?2).

（1）求f(?1)，f(2.5)的值；

w_w w. #s5_u.c o*m

（2）写出f(x)在??3,3?上的表达式，并讨论函数f(x)在??3,3?上的单调性； （3）求出f(x)在??3,3?上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.

w_w*w._s_5 u.c*o*m

20．解：（1）∵f(x)?kf(x?2)，且f(x)在区间[0,2]时f(x)?x(x?2)

∴f(?1)?kf(?1?2)?kf(1)?k?1?(1?2)??k

1f(x) k113∴f(2.5)?f(0.5?2)?f(0.5)??0.5?(0.5?2)??

kk4k由f(x)?kf(x?2)得f(x?2)?（2）若x?[0,2]，则x?2?[2,4]

111f(x)?x(x?2)?[(x?2)?2][(x?2)?4] kkk1 ∴当x?[2,4]时，f(x)?(x?2)(x?4)

k f(x?2)?若x?[?2,0)，则x?2?[0,2) ∴f(x?2)?(x?2)[(x?2)?2]?x(x?2) ∴f(x)?kf(x?2)?kx(x?2) 若

x?[?4,?2)，则

x?2?[?2,0) ∴

f(x?2)?k(x?2)[(x?2)?2]?k(x?2)(x?4)

∴f(x)?kf(x?2)?k(x?2)(x?4) ∵(2,3]?[2,4],[?3,?2)?[?4,?2)

2?k2(x?2)(x?4),x?[?3,?2)?kx(x?2),x?[?2,0)?∴当x?[?3,3]时，f(x)?? x(x?2),x?[0,2]?1?(x?2)(x?4),x?(2,3]?k2∵k?0,∴当x?[?3,?2)时，f(x)?k(x?2)(x?4)，由二次函数的图象可知，f(x)为

增函数；

当x?[?2,0)时，f(x)?kx(x?2)，由二次函数的图象可知，当x?[?2,?1)时，

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历年广东高考之——函数与导数大题

f(x)为增函数，当x?[?1,0)时，f(x)为减函数；

当x?[0,2]时，f(x)?x(x?2)，由二次函数的图象可知，当x?[0,1)时，f(x)为减函数；当x?[1,2]时，f(x)为增函数；

当x?(2,3]时，f(x)?1(x?2)(x?4)，由二次函数的图象可知，f(x)为增函数。 k（3）由（2）可知，当x?[?3,3]时，最大值和最小值必在x??3或?1,1,3处取得。（可画图分析）

∵f(?3)??k2，f(?1)??k，f(1)??1，f(3)??∴当?1?k?0时，ymax?f(3)??1 k1,ymin?f(1)??1; k当k??1时，ymax?f(?1)?f(3)?1,ymin?f(?3)?f(1)??1; 当k??1时，ymax?f(?1)??k,ymin?f(?3)??k2.

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5、（2011年第19题――本小题满分14分）

设a?0，讨论函数f(x)?lnx?a(1?a)x2?2(1?a)x的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(0,??)

12a(1?a)x2?2(1?a)x?1f?(x)??2a(1?a)x?2(1?a)?

xx令g(x)?2a(1?a)x2?2(1?a)x?1

??4(1?a)2?8a(1?a)?12a2?16a?4?4(3a?1)(a?1)

① 当0?a?1?a?(3a?1)(a?1)1时，??0，令f?(x)?0，解得x? 32a(1?a)1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1)或x?时，f?(x)?0

2a(1?a)2a(1?a)则当0?x?当1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1)时，f?(x)?0 ?x?2a(1?a)2a(1?a)1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1))，(,??)上单调递

2a(1?a)2a(1?a)则f(x)在(0,增，在(1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1),)上单调递减

2a(1?a)2a(1?a)1?a?1时，??0，f?(x)?0，则f(x)在(0,??)上单调递增 3② 当

③ 当a?1时，??0，令f?(x)?0，解得x?1?a?(3a?1)(a?1) 2a(1?a)∵x?0，∴x?1?a?(3a?1)(a?1)1?a?(3a?1)(a?1) 则当0?x?时，

2a(1?a)2a(1?a)1?a?(3a?1)(a?1)时，f?(x)?0

2a(1?a)f?(x)?0 当x?则f(x)在(0,1?a?(3a?1)(a?1))上单调递增，

2a(1?a)在(1?a?(3a?1)(a?1),??)上单调递减.

2a(1?a) 6

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6、（2012年第21题——本小题满分14分）

2设0?a?1，集合A?x?Rx?0，A?x?R2x?3(1?a)x?6a?0，D?A?B．

????(1) 求集合D（用区间表示）；

(2) 求函数f(x)?2x3?3(1?a)x2?6ax在D内的极值点． 解：（1）集合B解集：令2x2?3(1?a)x?6a?0

??[?3(1?a)]2?4?2?6a?3(3a?1)(a?3)

(1):当

1??0时，即：?a?1时，B的解集为：{x|x?R}

3此时D?A?B?A?{x?R|x?0) （2）当??0时，解得a?1,(a?3舍去) 32此时，集合B的二次不等式为：2x?4x?2?0，

(x?1)2?0，此时，B的解集为：{x?R,且x?1}

故：D?A?B?(0,1)?(1,??) （3）当??0时，即0?a?此时方程的两个根分别为：

1(a?3舍去） 3x1?（31?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a) x2?

4413很明显，0?a?时,x2?x1?0 故此时的

D?A?B?(0,x1)?(x2,??）?(0,（31?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a))?(,??)44131?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a)时,D?(0,（)?(,??)

344

综上所述： 当0?a?当a?当

1时，D?A?B?(0,1)?(1,??) 31?a?1时，D?{x?R|x?0) 37

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(2) 极值点，即导函数的值为0的点。f?(x)?0

f?(x)?6x2?6(1?a)x?6a?0即x2?(1?a)x?a?0

(x?a)(x?1)?0此时方程的两个根为： x1?a,x2?1

（ⅰ）当0?a?1时,D?(0,x1)?(x2,??) 3（31?a)?3(1?3a)(3?a)（31?a)?3(1?3a)(3?a)即：D?（0，）?(,??)

443?a?3(1?3a)(3?a)4将分子做差比较：x1?a?（3?a)2?3(1?3a)(3?a)?8a(3?a)

1?0?a?3?8a(3?a)?0?x1?a故当x?a，是一个极值点

x1?1?

（31?a)?3(1?3a)(3?a)(3a?1)?3(1?3a)(3?a) ?1?442分子做差比较： (3a?1)?3(1?3a)(3?a)?8(3a?1)?0 所以x1?1

又x2?1?（31?a)?3(1?3a)(3?a)3(1?3a)(3?a)?(1?3a)?1?

442分子做差比较法：3(1?3a)(3?a)?(1?3a)故x2?8(1?3a)?0，

?1,故此时x?1时的根取不到，

?1161) 时，D?A?B?(0,1)?(1,??)，此时，极值点取不到x=1极值点为(,?3327（ⅱ）当a（ⅲ）当

1?a?1时，D?{x?R|x?0),极值点为：1 和a 31a, 总上所述：当0?a?时, f(x)有1个极值点31时，f(x)有2个极值点分别为1 和a 当?a?13

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7、（2013年第21题——本小题满分14分） 设函数f(x)?x3?kx2?x ?k?R?． (1) 当k?1时,求函数f(x)的单调区间；

(2) 当k?0时,求函数f(x)在?k,?k?上的最小值m和最大值M． 【解析】：f'?x??3x2?2kx?1

'(1)当k?1时f?x??3x2?2x?1,??4?12??8?0

?f'?x??0,f?x?在R上单调递增.

（2）当k?0时，f'?x??3x2?2kx?1，

k1? ，且过?0，3其开口向上，对称轴x?2（i）当??4k?12?4k?3???k?3??0，即

k k3'?3?k?0时，f?x??0，f?x?在?k,?k?上单调递增，

从而当x?k时，f?x? 取得最小值m?f?k??k , 当x??k时，f?x? 取得最大值

-k x?M?f??k???k3?k3?k??2k3?k.

（ii）当??4k?12?4k?3即k??3时，令f'2???k?3??0，

?x??3x2?2kx?1?0

22k?k?3k?k?3,注意到k?x?x?0,

解得：x1?,x2?2133(注：可用韦达定理判断x1?x2?合图像判断)

12k?k,从而k?x2?x1?0；或者由对称结，x1?x2?33?m?min?f?k?,f?x1??,M?max?f??k?,f?x2??

?f?x1??f?k??x13?kx12?x1?k??x1?k??x12?1??0

?f?x?的最小值m?f?k??k,

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32?f?x2??f??k??x2?kx2?x2???k3?k?k2?k?=?x2?k?[?x2?k??k2?1]?0

2?f?x?的最大值M?f??k???2k3?k

综上所述，当k?0时，f?x?的最小值m?f?k??k,最大值M?f??k???2k?k

3解法2（2）当k?0时，对?x??k,?k?，都有

f(x)?f(k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x2?1)(x?k)?0，故f?x??f?k?

f(x)?f(?k)?x3?kx2?x?k3?k3?k?(x?k)(x?2kx?2k?1)?(x?k)[(x?k)?k?1]?02222

故f?x??f??k?，而 f(k)?k?0，f(?k)??2k3?k?0 所以 f(x)max?f(?k)??2k3?k，f(x)min?f(k)?kks5u

【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知x?k 时最小，x??k时最大，只需证f?k??f?x??f??k?即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.

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