2015高考向量综合题

2.4.2数量积的坐标表示、模、夹角

1、在等腰Rt△ABC中，?A?90，AB?(1,2),AC?(m,n)，则BC?( ) A．(0,?4)或(?2,0) B．(0,4)或(2,0) C．(0,?4) D．(?2,0)

2、定义向量a,b的外积为a?b?absin?，其中?为a与b的夹角，若a?(?1,2),b?(1,1)，则a?b?( ) A．?1 B．1 C．2 D．3

23、点A(?2,0),B(3,0)，动点P(x,y)满足PA?PB?x，则点P的轨迹方程为 . 4、已知a?(2,1)，b?(1,?)，若a与b的夹角为锐角，则?的取值范围是 . 5、已知三点A(2,1)、B(3,2)、D(?1,4).

(1)证明：AB?AD；

(2)若点C使得四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求该矩形对角线所夹的锐角的余弦值.

参考答案

1.A 由AB?AC?0，得m?2n?0，又AB?AC，得m2?n2?5，两式联立解得??n?1m??2或??n??1，

??m?2∴AC?(1,?2)或(?1,2)，有BC?AC?AB?(0,?4)或(?2,0). 2.D可得cos??a?b?1?21a?b?5?2?10，而??0[,]?，∴sni??310，有a?b?abnsi??5?2?3103?3.y2?x?6 由PA?PB?x2，得(?2?x,?y)?(3?x,?y)?x2，即y2?x?6. 4.(?2,1)(122,??) a与b的夹角?为锐角，cos??0且cos??1， 而cos??a?b2??a?b?，∴????且??1???2?????1???，即????且??12. 5.(1)证明：可得AB?(1,1)，AD?(?3,3)，AB?AD?1?(?3)?1?3?0，∴AB?AD； (2)由(1)及四边形ABCD为矩形，得AB?DC，设C(x,y)，则(1,1)?(x?1,y?4)， ∴??x?1?11，得?x?0?y?4??y?5，即C(0,5)；

?∴AC?(?2,4),BD?(?4,2)，得AC?BD?8?8?16，AC?25,BD?25，

设AC与BD夹角为?，则cos??1620?45?0， ∴该矩形对角线所夹的锐角的余弦值45.

1

.

2.5平面向量的应用举例

1、经过点A(?1,2)，且平行于向量a?(3,2)的直线方程是( )

A．2x?3y?8?0 B．2x?3y?8?0 C．3x?2y?1?0 D．3x?2y?1?0

2、一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60?角,且F1,F2的大小分别为２和４,则F3的大小为( )

A.6 B.2 C.25 D.27 3、已知直线ax?by?c?0与圆x2?y2?1相交于A、B两点，且AB?1，则OA?OB? . 4、已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?)(?,??(0,))，且a?b?a?b，则tan??tan?? . 5、如图，菱形ABCD的边长为1，有?D?120，点E、F分别是AD、DC的中点， BE、BF分别与AC交于点M、N. (1)求AC的值； (2)求MN的值.

参考答案

1.A 在直线上任取一点P(x,y)，则AP?(x?1,y?2)， 由APE M A B F N ?2D C a，得(x?1)?2?(y?2)?3?0，即2x?3y?8?0.

1=28. 22.D 可知F1?F2?F3?0,所以F3??(F1?F2),

F3?F1?F2?(F1?F2)2?F12?F22?2F1?F2cos60=22?42?2?2?4?所以,力F3的大小为F3=28?27. 3.

2211 可知△AOB是边长为1的正三角形，∴OA?OB?1?1?cos60?. 22224.?1 由a?b?a?b，得a?b?a?b，∴4a?b?0，即a?b?0，

∴a?b?cos?cos??sin?sin??0，有1?tan??tan??0，即tan??tan???1. 5.解：(1)连接BD交AC于点O，由?ADC?120，得?ADO?60， 而?AOD?90，AD?1，得OD?13，OA?，∴AC?3； 22(2)设AB?a，AD?b，则AM??AC??(a?b)，而B、M、E三点共线， ∴EM?uMB，即AM?AE?u(AB?AM)，∴(1?u)AM?uAB?AE，

2

?(1?u)??u111?u???即???u??(a?b)?ua?b，有?，解得，， 1232(1?u)????2∴AM?1111AC，即AM?AC，同理CN?AC，得MN?AC 3333由(1)得AC?

3，∴MN?133. 即MN?. AC?333平面向量高考题

一、选择题

（x,1）1. 已知平面向量a= ，b=， 则向量a?b ( ) （－x,x2）A平行于x轴 C.平行于y轴 答案 C

解析 a?b?(0,1?x2),由1?x?0及向量的性质可知,C正确.

2.设向量a，b满足：|a|?3，|b|?4，a?b?0．以a，b，a?b的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的 3.圆的公共点个数最多为 ( ) w A．3 B.4 C．5 答案 C

解析 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点,

对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能 实现．

3.已知向量a?(1,2)，b?(2,?3)．若向量c满足(c?a)//b，c?(a?b)，则c? （ ）

A．(,) B．(?答案 D

解析 不妨设C?(m,n)，则a?c??1?m,2?n?,a?b?(3,?1)，对于c?a//b，则有?3(1?m)?2(2?n)；又

D．6

2 B.平行于第一、三象限的角平分线

D.平行于第二、四象限的角平分线

7793777777,?) C．(,) D．(?,?) 393993??77c?a?b，则有3m?n?0，则有m??,n??93

??

3

4.已知向量a?(1,0),b?(0,1),c?ka?b(k?R),d?a?b，如果c//d，那么 A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向 C．k??1且c与d同向 D．k??1且c与d反向 答案 D

( )

解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查. ∵a??1,0?，b??0,1?，若k?1，则c?a?b??1,1?，d?a?b??1,?1?， 显然，a与b不平行，排除A、B.

若k??1，则c??a?b???1,1?，d??a?b????1,1?， 即c//d且c与d反向，排除C，故选D.

5.已知向量a、b不共线，c?ka?b(k?R),d?a?b,如果c//d，那么 ( ) A．k?1且c与d同向 B．k?1且c与d反向 C．k??1且c与d同向 D．k??1且c与d反向 答案 D

解析 本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a??1,0?，b??0,1?，若k?1，则c?a?b??1,1?，d?a?b??1,?1?， 显然，a与b不平行，排除A、B.

若k??1，则c??a?b???1,1?，d??a?b????1,1?， 即c//d且c与d反向，排除C，故选D.

6. 设P是△ABC所在平面内的一点，BC?BA?2BP，则（ ）

A.PA?PB?0 B.PC?PA?0 C.PB?PC?0 D.PA?PB?PC?0 答案 B

解析 :因为BC?BA?2BP，所以点P为线段AC的中点，所以应该选B。 7.已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= 52，则︱b ︱= A.5 B.10 C.5 D.25 答案 C

解析 本题考查平面向量数量积运算和性质，由a?b?52知（a+b）=a+b+2ab=50，

2

2

2

得|b|=5 选C.

4

8.设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则

A.?2 B.2?2 答案 D 解析 ?a?c???b?c?的最小值为 ( )

C.?1 D.1?2 a,b,c是单位向量?a?c?b?c?ab?(a?b)c?c????2

?1?|a?b||c|?1?2cos?a?b,c??1?2. 9.平面向量a与b的夹角为60，a?(2,0)，b?1 则a?2b?0

( )

A.3 B.23 C. 4 D.2 答案 B

解析 由已知|a|＝2,|a＋2b|＝a＋4a·b＋4b＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12

∴a?2b?23 10.已知O，N，P在?ABC所在平面内，且OA?OB?OC,NA?NB?NC?0，且PA?PBP?BPC?PC?PA?则点O，N，P依次是?ABC的 ( ) A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 答案 C

（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）

B.重心 外心 内心

，

2

2

2

D.外心 重心 内心

由NA?NB?NC?0知，O为?ABC的重心 解析由OA?OB?OC知,O为?ABC的外心；PA?PB?PB?PC，?PA?PC?PB?0，?CA?PB?0,?CA?PB,同理，AP?BC,?P为?ABC的垂心，选C.11.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= ( )

A.3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b 答案 B

解析 由计算可得c?(4,2)?3c?b故选B

12.如图1， D，E，F分别是?ABC的边AB，BC，CA的中点，则( ) A．AD?BE?CF?0 B．BD?CF?DF?0

??

ADFCBC．AD?CE?CF?0 D．BD?BE?FC?0 E答案 A 图1

5

解析

AD?DB,?AD?BE?DB?BE?DE?FC,得AD?BE?CF?0.

或AD?BE?CF?AD?DF?CF?AF?CF?0.

13.设非零向量a、b、c满足|a|?|b|?|c|,a?b?c，则?a,b??( )

A．150° B.120° C.60° D.30° 答案 B

解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题。

解 由向量加法的平行四边形法则，知a、b可构成菱形的两条相邻边，且a、b为起点处的对角线长等于菱形的边长，故选择B。

14.在?ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学PA?2PM,则科网PA?(PB?PC)等于( ) A.

4444 B. C.? D. ? 9339答案 A.

解析 由AP?2PM知, p为?ABC的重心,根据向量的加法, PB?PC?2PM则

214AP?(PB?PC)=2AP?PM=2APPMcos0??2???1?

33915.已知a???3,2?,b???1,0?，向量?a?b与a?2b垂直，则实数?的值为( )

A.?11 B. 77 C.?11 D.

66答案 A

解析 向量?a?b＝（－3?－1，2?），a?2b＝（－1,2），因为两个向量垂直，故有（－3?－1，2?）×（－1,2）＝0，即3?＋1＋4?＝0，解得：?＝????1，故选.A. 7??????16.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线， a?c ∣a∣=∣c∣,则∣b ?c∣的值一定等于 ( )

A．以a，b为邻边的平行四边形的面积 B. 以b，c为两边的三角形面积 C．a，b为两边的三角形面积 D. 以b，c为邻边的平行四边形的面积 答案 A

解析 假设a与b的夹角为?，∣b ?c∣=︱b︱·︱c︱·∣cos∣

=︱b︱·︱a︱?∣cos(90??)∣=︱b︱·︱a︱?sin?,即为以a，b为邻边的平行四边形的面积.

6

??0??????????????????????

17. 已知a?1,b?6,a(b?a)?2，则向量a与向量b的夹角是（ ）

A．

? 6 B．

? 4 C．

? 3 D．

? 2答案 C

解析 因为由条件得a?b?a2?2,所以a?b?2?a2?3?a?bcos??1?6?cos?,

1?所以cos??，所以??

2318.已知向量a?(1,1),b?(2,x),若a+b与4b?2a平行，则实数x的值是 （ ） A．-2 答案 D

解法1 因为a?(1,1),b?(2,x)，所以a?b?(3,x?1),4b?2a?(6,4x?2), 由于a?b与4b?2a平行，得6(x?1)?3(4x?2)?0，解得x?2。 解法2 因为a?b与4b?2a平行，则存在常数?，使a?b??(4b?2a)，即

B．0

C．1

D．2

(2??1)a?(4??1)b，根据向量共线的条件知，向量a与b共线，故x?2

19. 函数y?cos(2x?量a可以等于

?6

)?2的图象F按向量a平移到F',F'的函数解析式为y?f(x),当y?f(x)为奇函数时，向

( )

A.(??6,?2) B.(??6,2) C.(?6,?2)

D.(,2)

6?解析 由平面向量平行规律可知，仅当a?(??6,2)时，

F?：f(x)?cos[2(x??6)??6]?2=?sin2x为奇函数，故选D.

B

20.若平面向量a，b满足a?b?1，a?b平行于x轴，b?(2,?1)，则a? . TWT答案 (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1)

解析 a?b?(1,0)或(?1,0)，则a?(1,0)?(2,?1)?(?1,1) 或a?(?1,0)?(2,?1)?(?3,1).

7

A P

C

21.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或

_________.0.w.w.k. 答案 4/3

解析 设BC?b、BA?a则AF?=+，其中，R ，则+=

11b?a ,AE?b?a ,AC?b?a 2224代入条件得??u????u?

3322.已知向量a?(3,1)，b?(1,3)， c?(k,2)，若(a?c)?b 则k= ． 答案 0

解析 因为a?c?(3?k,?1),所以k?0.

23.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD?xAB?yAC， 则 x? ，y?

.

图2

答案 x?1?33,y?. 22解析 作DF?AB,设AB?AC?1?BC?DE?2，

?DEB?60,?BD?6, 233623,y?.??,故x?1?22 222由?DBF?45解得DF?BF?24. 在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐

标为___________. 答案 （0，－2）

解析 平行四边形ABCD中,OB?OD?OA?OC

∴OD?OA?OC?OB＝(－2,0)＋(8,6)－(6,8)＝(0,－2) 即D点坐标为(0,－2)

8

百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2015高考向量综合题在线全文阅读。