北师大版数学八年级上册全套精品教案-导学案

第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理

一、问题引入：

（1）观察下面下图，若每个小正方形的面积为1，则

第①个图中，SA= ，SB= ，SC= . 第②个图中，SA= ，SB= ，SC= . 三个正方形A、B、C的面积之间有什么关系？以上结论与三角形三边有什么关系？ 通过这种关系你发现了什么？

勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方. 二、基础训练：

1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为 .

（1） （2）

2、如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x= ，y= . 3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）

A.6 B.8 C.10 D.12 三、例题展示：

例1:在△ABC中，∠C=90°，

（1）若a=3，b=4，则c=_____________； （2）若a=9，c=15，则b=______________；

1

CABBAC例2:如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？（提示：用数学符号去表示线段的长）

四、课堂检测：

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝13，BC＝5，则AC的长为（ ）

A.5 B.12 C.13 D.18

2、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a?b?14cm，c?10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）

A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2

3、若△ABC中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a∶b =3∶4， c =10，则a = ，b = .

4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 . （?不取近似值）

5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.

6、（选做题）一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？

725第4题图

2

第一章 勾股定理 1.2 一定是直角三角形吗

一、问题引入：

1、 分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?

(1)3, 4, 5 (2)6, 8, 10

2、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？

3、如果三角形的三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 4、满足a2+b2=c2的三个 ，称为勾股数.

二、基础训练：

1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（ ）

A. 5，6，7

B. 1，4，9 C. 5，12，13

D. 5，11，12

2、下列几组数中，为勾股数的是（ ）

A. 4，5，6 B. 12，16，20 C. 10，24，26 D. 2.4，4.5，5.1

3、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（ ） A.42

B.52

C.7 D.52或7

4、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D .都有可能

三、例题展示：

例1：一个零件的形状如下左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都是直角，工人师傅量得某个零件各边尺寸如下右图所示，这个零件符合要求吗？

3

例2：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？请说出你的判断理由.

四、课堂检测：

1、三角形的三边分别等于下列各组数，所代表的三角形是直角三角形的是（ ）

A. 7，8，10 B. 7，24，25 C. 12，35，37 D. 13，11，10

2、若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（a2＋b2－c2）＝0，则△ABC是（ ）

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）

A. b2 =c2－a2 B. a∶b∶c=3∶4∶5 C.∠C =∠A+∠B D.∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶4

4、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为 三角形.

5、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 . 6、如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，∠B与∠C相等吗？为什么？

7、（选做题）若△ABC的三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c

根据条件判断△ABC的形状.

4

第一章 勾股定理 1.3 勾股定理的应用

一、问题引入：

1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .如果用a，b和c表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .

2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a，b，c满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 二、基础训练：

1、在△ABC中，已知AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，则△ABC的面积等于（ ）

A.108cm2 B.90cm2 C.180cm2 D.54cm2

2、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）

72520242524202425207242025(D)15715(A)7(B)1515(C)

三、例题展示：

例1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(π的值取3)。

(1)如图2,将圆柱侧面剪开展开成一个长方形,从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? (2) 蚂蚁从点A出发，想吃到点B处的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是什么？

5

A B

例2：如图，是一个滑梯示意图，若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长.

四、课堂检测：

1、△ABC中，若AC2＋AB2= BC2，则∠B＋∠C= .

2、已知一个三角形的三边长分别是8cm，15cm，17cm，则这个三角形的面积为 . 3、如果一个三角形的两条直角边之比是3∶4，且最小边的长度是6，最长边的长度是________. 4、在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为______cm.

5、如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个

相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 .

（第5题图） BA2023 A B （第6题图）

6、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（??3）

在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约（ ）

A. 10cm B. 12cm C. 19cm D. 20cm 7、如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm， 点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？

6

5BCA15第7题图

第一章 勾股定理单元检测

一、选择题：

1、下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（ ）

A．6、8、10 B. 5、12、13 C. 12、18、22 D. 9、12、15 2、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是( )

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形

3、如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( ) A. 12米 B. 13米 C. 14米 D. 15米 4、等腰三角形的一腰长为13,底边长为10,则它的面积为（ ）

A.65 B.60 C.120 D.130

5、已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（ ）

A.80m B.30m C.90m D.120m 6、等边三角形的边长是10，它的高的平方等于（ ）

A.50 B.75 C.125 D.200

7、直角三角形的两直角边分别为5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）

A.6厘米 B.8厘米 C.

第4题图

6080厘米 D.厘米

1313C. 48cm2

D. 60cm2

8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A. 24cm2 二、填空题：

9、△ABC中，若AC2＋AB2= BC2，则∠B＋∠C= .

10、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为 三角形.

11、如图（1），∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°， AB=BC=CD=1，OA=2，则OD2=____________. 12、 如图（2）， 等腰△ABC的底边BC为16, 底边上的高AD为6，则腰AB的长为____________. 13、如图（3），某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B 300m，

结果他在水中实际游了500m，求该河流的宽度为___________m.

B. 36cm2

7

三、解答题：

14、如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，

已知BC=10厘米，AB=8厘米，求FC的长.

15、如图所示，四边形ABCD中，∠ABC＝90０，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求四

边形ABCD的面积.

16、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8:00甲先出发，他以6千米/时的速度向正

东行走。1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向正北行走.上午10：00，甲、乙二人相距多远?

8

第二章 实 数

2.1认识无理数

一、问题引入：

1、 ______和______ 统称有理数，它们都是有限小数和无限______（填循环或不循环）小数.

2、(1)在右图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面

积是多少？

(2)设该正方形的边长为b，则b应满足什么条件？ (3)b是有理数吗？

3、请你举出一个无限不循环小数的例子，如： ，并说出它的整数部分是 ， 小数部分是 ，请指出它的十分位、 百分位、千分位…….

4、 称为无理数，请举两个例子 . 二、基础训练：

1、x2=8,则x______分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 2、在0.351，－

2，4.969696…，0，－5.2333,5.411010010001…，?中， 3不是有理数的数有_____ . 3、长、宽分别是3、2的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？ 三、例题展示：

下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段.（你能再连接其它的两个顶点，使连接它们的线段的长度是无理数吗？）

9

四、课堂检测：

1、下列说法正确的是（ ）

A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限不循环小数

?是分数 3222、实数：3.14，2π，0.315315315…，，0.3030030003…中，无理数有 个．

7C.无限小数都是无理数 D.

3、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？

2???，0.351，－,4.96，3.14159，－5.2323332…，0，0.1234567891011112131…（小

3数部分由相继的正整数组成）在下列每一个圈里填入适当的数.

4、如图，是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形[来源:学.科.网Z.X.X.K]

边长是无理数的正方形有________个

5、如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？

10

第二章 实 数

2.2平方根(一)

一、问题引入：

1、x2=2，y2=3，z2=4，w2=5，已知幂和指数，求底数，你能求出来吗？

2、什么叫做算术平方根？一个数a的算术平方根记作 ，读作 。 3、一个负数有算术平方根吗？为什么？ 二、基础训练：

1、0的算术平方根等于_________.

2、因为2.52=_________，所以______的算术平方根是______，记作：_________. 3、9的算术平方根是（ ）

A. ±3 B.3 4、

C. ±3

D.

3

4的算术平方根是（ ） 922A. ± B.

33 C. ±

2 3

2 D. -

35、若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________. 三、例题展示：

例1 ： 求下列各数的算术平方根： （1）400； （2）1； （3）

144 ； （4）17． 25（提醒学生格式不是：“解：原式＝”） 解：

例2：如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？ 解：

四、课堂检测：

11

1、

916的算术平方根是 . 2、正数_________的平方为4964.

3、0.04=_________.

4、(56)0的算术平方根为_________. 5、81的算术平方根为_________. 6、 (－1.44)2的算术平方根为_________.

7、一个数的算术平方根为a，比这个数大2的数是（A.a?2 B.a－2 C.a+2 D.a2?28、求下列各数的算术平方根：

(1)2.25 ； （2）10?4 ； (3)214 ；

12

(4)(7.4)2 . ）

第二章 实 数 2.2平方根(二)

一、问题引入：

1、一般地，如果一个 x的 等于a，即 ，那么这个 x就叫做a的平方根. 叫做开平方.

2、正数a的平方根是 ，读作 ，它们是互为 . 3、算术平方根与平方根的区别与联系是 .

4、一个正数有 个平方根，0有 个平方根，负数 （填有或没有）平方根.

5、平方与开平方是互为逆运算吗？. 二、基础训练：

1、16的平方根是（ ）

A.±4

B.24 C.±2

D.±2

2、16的平方根是（ ）

A.4

B.－4 C.±4

D.±2

3、7的平方根是____________. 4、判断下列各数是否有平方根？并说明理由.

(1)(－3)2； (2)0； (3)－0.01； (4)－52； (5)－a2.

三、例题展示：

1、求下列各数的平方根.（注意格式）

49(1) 81； (2) ； (3) 0.0009； (4) (－225)2； (5) 5.

121

2、解下列方程：

（1）x2－49=0 （2）4x2－25=0

13

四、课堂检测： 1、

4121的平方根是_________. 2、若a?1有意义，则a能取的最小整数为____． 3、若3是x的一个平方根，则x?1=________.

4、已知｜x?4｜+2x?y=0,那么x =________,y =________. 5、判断题

（1）－0.01是0.1的平方根.( ) （2）－52的平方根为－5.（ ） （3）0和负数没有平方根.（ ）

（4）正数的平方根有两个，它们是互为相反数.（ ） 6、下列各数中没有平方根的数是（ ）

A. －(－2)3

B. 3-3 C. a0

7、求下列各数的平方根.

(1)121； (2)0.01； (3)279； (4)(－13)2.

8、解方程：4x2－36=0

14

D.－（a2+1）

第二章 实 数

2.3立方根

一、问题引入：

1、一般地，如果一个 x的 等于a，即 ，那么这个 x就叫做a的立方根.用根号表示一个数a的立方根为 .

2、你能用开立方运算求某些数的立方根吗？开立方与立方是互为逆运算吗？

3、立方根的性质：正数a的立方根是 ，0的立方根是 ，负数的立方根是 .

4、能归纳立方根与平方根的不同点是 二、基础训练：

1、8的立方根是（ ）

A．2 B．?2 C．4 D．?4 2、下列说法中正确的是（ ）

A.－4没有立方根 B.1的立方根是±1 C.

11的立方根是 D.－5的立方根是3?5

636 .

3、下列说法中，正确的是（ ）[来源:学&科&网Z&X&X&K]

A.一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个有理数的立方根，不是正数就是负数 C.负数没有立方根

D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－1，0，1

三、例题展示:

1、求下列各数的立方根：（注意格式）

125(1)0.001； (2) －； (3)343； (4)－9.

216

2、求下列各式的值：

(1)3?8； (2)30.064； (3)－3

15

8； (4)(39)3 . 125

四、课堂检测：

1、64的立方根是________，－2、3?27的立方根为 . 81=________， (38)3=________. 271的算术平方根之积为_______. 44、下列运算正确的是（ ）．

3、－8的立方根和

A．?3???3 B．?3?3 C．?3??3 D．?3?3?3 5、判断下列说法对不对？

（1）－4没有立方根； （ ） （2）1的立方根是±1； （ ）

11（3）的立方根是； （ ）

636（4）－8的立方根是－2； （ ）

（5）64的算术平方根是8 （ ）

6、求下列各数的立方根.

817（1）729； （2）－4； （3）（－5）3 ； （4）.

12527

7、 解方程：2x3-250=0

8、已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.

16

3333333 第二章 实 数

2.4 估算

一、问题引入：

1、勾股定理用式子表示为 . 2、平方根与算术平方根的概念是 . 3、某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个以环保为主题的公园，已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000平方米.

(1)公园的宽大约是多少？它有1000米吗？

(2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ (3)该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800平方米，你能估计它的半径吗？(误差小于1米)

二、基础训练：

1、估算50? （误差小于0.1）. 2、下列计算结果正确的是（ ）

A.30?5.5 B.135?14.5 C.

38540?25 D.31200?11.6

5 1. 23、通过估算，比较下列各数的大小41 6.233；

4、估算0.00048的算术平方根在（ ）

A. 0.05与0.06之间 B. 0.02与0.03之间 C. 0.002与0.003之间 D. 0.2与0.3之间

三、例题展示：

1、水房盖好后，要架梯子粉刷外墙，根据生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙

1的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定。现在有一个长度为6米的梯子，当梯子稳定摆

3放时，它的顶端能达到5.6米高的墙头吗？ 解：

2、在公园两侧分别有一柱状花塑，高度分别是矮。你是怎么样想的？与同伴交流。 解：

17

15?1米与米，通过估算，试比较它们的高

22四、课堂检测：

1、在无理数5，6，7，8中，其中在2.5与3.5之间的有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个 D. 4个

2、一个正方体的体积为28360立方厘米，正方体的棱长估计为（ ）

A. 22厘米 B. 27厘米

C. 30.5厘米

D. 40厘米

3、大于－317且小于310的整数有______个. 4、化简(21?5)2的结果为（ ）

A.

21－5 B. 5－21

C. －21－5 D. 不能确定

5、|2－1|=______,|3－2|=______. 6、通过估计，比较大小.

（1）

7、一片矩形小树林，长是宽的3倍，而对角线的长为44000米，每棵树占地1米2，这片

树林共有多少棵树？小树林的长大约是多少米？（结果精确到1米）

18

91017?1与 （2）10与 1035第二章 实 数

2.5 用计算器开方

一、问题引入：

怎样用计算器求一个数的平方根和立方根？你是如何操作的？

二、基础训练：

91、的平方根是________.

162、任何一个正数的平方根之和是________.

3、4是________的一个平方根，16的平方根是________. 4、用计算器求下列各式的值（结果精确到0.001）

334（1）－39.247 （2）41.83 （3）12.4 （4）71800

三、例题展示：

1已知某圆柱体的体积V=πd3(d为圆柱的底面直径)

6（1）用V表示d.

（2）当V=110 cm3时，求d的值.(结果精确到0.01)

四、课堂检测：

1、用计算器求3.489结果为（结果精确到0.001）（ ）

A.12.17

B. ±1.868

C. 1.868

D. －1.868

2、将2,33,55用不等号连接起来为（ ） A. C.

32<33<55

B.

55< 5<

33< 2<

32

3<2<55

D.

53

3、一个正方形的草坪，面积为658平方米，这个草坪的周长是（ ） A. 6.42 B. 2.565 C. 25.65 D. 102.6

34、计算：0.973?1=________.

5、一个长方体的长为5 cm，宽为2 cm，高为3 cm，而另一个正方体的体积是它的3倍，求这个正方体的棱长(结果精确到0.01 cm).

6、用计算器求下列各数的算术平方根（精确到0.0001），并观察这些数的算术平方根有什么规律.

(1)78000, 780, 7.8, 0.078, 0.00078. (2)0.00065, 0.065, 6.5, 650, 65000.

19

第二章 实 数 2.6 实 数

一、问题引入：

1、了解实数的意义： 和 统称实数，

即实数可以分为 和 .

2、实数有正负之分吗？所以实数还可以分为 、 和 . 3、数轴上的点与实数是 关系，你能在数轴上找到2对应的点吗？ 4、有理数的运算法则、运算律有哪些？这些运算法则、运算律在实数范围内仍然适用吗？ 二、基础训练：

1、在实数3.14,－0.36,－

26,0.13241324…,39 ,－π,中，无理数的个数是______.

362、－6的相反数是______，绝对值等于______. 3、下列说法中正确的是（ ）

A.和数轴上一一对应的数是有理数 B.数轴上的点可以表示所有的实数 C.带根号的数都是无理数 D.不带根号的数都是无理数

4、在实数中，有（ ）

A.最大的数

B.最小的数

D.绝对值最小的数

C.绝对值最大的数

三、例题展示：

在数轴上找出2和-2对应的点 解：

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