不等式基本关系和基本性质(新)

不等式基本事实和基本性质

a?b?0?a?b事实1 两个实数差的符号（三种）a?b?0?a?b两个实数的大小关系（三岐性）

a?b?0?a?b事实2 符号运算法则：正数+正数=正数，负数+负数=负数， 正数×正数=正数，负数×负数=正数，正数×负数=负数，平方数不小于0 性质1 a?b?b?a 性质2

a?b?c?b? ?a?c???c?a

b?c?b?a?性质3 a?b?a?c?b?c a?b?c?a?c?b 性质4 a?b?ac?bc(c?0) a?b?ac?bc(c?0) 性质5

a?b???a?c?b?d c?d?a?b?0?性质6 ??ac?bd

c?d?0?性质7 a?b?0?an?bn,(n?N,n?1) 性质8 a?b?0?na?nb,(n?N,n?2) 性质7、8其实就是：a?b?0?as?bs,(s?Q*) 不等式问题的解决依据： 一、以上基本事实和基本性质

二、基本函数性质（单调性）：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、正切函数（耐克函数和三次函数需要先证明） 三、重要不等式：

1．a2?b2?2ab（当且仅当a?b时取等号）

a?b?ab(a,b?0)（当且仅当a?b时取等号） 22．a3?b3?c3?3abc(a,b,c?0)（当且仅当a?b?c时取等号）

a?b?c3?abc(a,b,c?0)（当且仅当a?b?c时取等号） 33. (a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2（当且仅当a:b?c:d时取等号） 这是柯西不等式，可以扩充为n元的情形。 第三章不等式补充

1.（1）比较(x?3)(x?7)和(x?4)(x?6)的大小 （2）已知a?b?0,c?d?0,求证

ab ?dc2.（1）已知a,b?R,求证a2?b2?2ab （2）已知a,b?0,求证

a?b?ab 2（3）已知a,b,c?R,求证a2?b2?c2?ab?bc?ca 3（1）已知a,b,c,d?R,求证(a2?b2)(c2?d2)?(ac?bd)2 （2）已知a,b?0,求证a3?b3?a2b?ab2 4.（1）已知a,b,m?0,a?b求证

a?ma? b?mb（2）已知a,b?0,求证aabb?abba

11.

x2?5x?1x2?5x?422??

12.

??

x?y?S,xy?P

其实 (x?y)2?4xy?(x?y)2

S2S2x?y?S为定值，xy?P?，x?y时,xymax?Pmax?

44(x，y差距愈小，xy?P愈大)

xy?P为定值，x?y?S?2P，x?y时,(x?y)min?Smin?2p

x?y?S愈小) (x，y差距愈小，

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