材力第8章习题解

第8章 杆类构件的强度和刚度设计

8-1 螺旋压紧装置如图所示。现已知工作所受的压紧力为F = 4kN，旋紧螺栓螺纹的内径d1 = 13.8mm，固定螺栓内径d2 = 17.3mm。两根螺栓材料相同，其许用应力[?]= 53.0MPa。试校核各螺栓之强度是否安全。 16080

AB

FAFB4kN 解：?MB?0，FA = 2kN ?Fy?0，FB = 6kN ?A?习题8-1图

(a)

FA20002000?4???13.8MPa?[?]，安全。 AAπ2π?13.82?10?6d14F6000?4 ?B?B??25.5MPa?[?]，安全。

ABπ2?6?17.3?104

8-2 现场施工中起重机吊环的每一侧臂AB和BC，均由两根矩形截面杆组成，连接处A、B、C均为铰链，如图所示。已知起重载荷FP = 1200kN，每根矩形杆截面尺寸比例为b/h = 0.3，材料的许用应力[?]= 78.5MPa。试设计矩形杆的截面尺寸b和h。

解：由对称性得受力图（a） ?Fy?0，4FNcos??FP FP FN??4cos?1200?1039609602?4202?3.275?10N

5

习题8-2图

FP B2FN??2FN4?FNFN ?? h?FNF?N2?[?] A0.3hFN?0.3[?]3.275?1050.3?78.5?106?0.118m

b?0.3h?0.3?0.118?0.0354m?35.4mm （a） ∴ h = 118mm，b = 35.4mm

8-3 图示结构中BC和AC都是圆截面直杆，直径均为d = 20mm，材料都是Q235钢，其许用应力[?]= 157 MPa。试求该结构的许可载荷。（有人说：根据垂直方面的平衡条件，有FNBCcos30??FNACcos45??FP，然后将FNBC?(πd2/4)[?]，FNAC?(πd2/4)[?]代入后即可得许可载荷，这种解法对吗？为什么？） 解：?Fx?0，FB?2FA ?Fy?0， ∴ FP?（1） （2） （3）

习题8-3图

23FA?FB?FP?0 221?3FB 2π FB?[?]?d2

4FP?1?3π2?d[?]24

FA 45?30?FB

1?3π??202?10?4?157?106` 24?67.4kN?（4）

CFP(a)

由（1）、（2）得：

— 46 —

2(1?3)2(1?3)πFA??[?]d2?90.28kN（5） 224 比较（4）、（5）式，得 [FP] = 67.4 kN

讨论：习题中所给“有人说”的解法不对，因为保持平衡时，两杆内应力并不是正好都同时达到许用应力。

8-4 图示的杆系结构中杆1、2为木制，杆3、4为钢制。已知各杆的横截面面积和许用应力如下：杆1、2为A1 = A2 = 4000mm2，[?w]= 20MPa，杆3、4为A3 = A4 = 800mm2，[?s]= 120MPa。试求许可载荷 FP?[FP]。

5FP 344 ?Fx?0，F1??F3??FP

5344 图（b）?Fx?0，F4?F3?FP

535 ?Fy?0，F2??F3??FP

3 |F1|?|F2|

解：图（a）?Fy?0，F3?

习题8-4图

F3F1|F| 1?[?w]

A14FP?A1[?w] 333 FP?A1[?w]??4000?10?6?20?106?60kN

44 F3?F4

?B

FP(a)

F4

C

F3?[?s] A3F2F3

5(b) FP?[?]A3 333 FP?[?]A3??120?106?800?10?6?57.6kN

55∴ [FP] = 57.6 kN

8-5 图示杠杆机构中B处为螺栓联接，螺栓材料的许用切应力[?]= 98.0MPa，且不考虑螺栓的挤压应力。试确定螺栓的直径。

50kND ?45A 40 80C B45? FRBFP

习题8-5图

(a)

50 解：?MC?0，FRB??35.36kN

2 FRB d?2?πd2?[?]（螺栓与杠杆两面接触）

44FRB?2π[?]4?35.36?103?0.01516m?15.2mm

2??98.0?106

8-6 图示的铆接件中，已知铆钉直径d = 19mm，钢板宽b = 127mm，厚度?= 12.7mm，铆钉的许用切应力[?]= 137 MPa，挤压许用应力[?c]= 314 MPa；钢板的拉伸许用应力[?]= 98.0 MPa，挤压许用应力[?c]= 196 MPa。假设4个铆钉所受剪力相等。试求此连接件的许可载荷。

解：钢板轴力图（a）

— 47 —

?I?FP

?(b?d) FP??I?(b?d)?98?106?12.7?108?10?6?134.4kN ?II3FP4? ?(b?2d) FP?44?(b?2d)?II??12.7?89?98?147.7kN 33习题8-6图

πd2π [F?]?[?]??137??192?38.84kN

44F P?[F?]，FP?4?38.04?155.4kN

4 [Fc]?[?c]?d??314?19?12.7?75.8kN FP?4[Fc]?303.2kN 比较上述结果得： [FP] = 134 kN

1FP41FP41FP41FP4FP

8-7 两块钢板的搭接焊缝如图所示，两钢板的厚度?相同，?= 12.7mm，左端钢板宽度b = 127mm，轴向加载。焊缝的许用切应力[?]= 93.2MPa；钢板的许用应力[?]= 137MPa。试求钢板与焊缝等强度时（同时失效称为等强度），每边所需的焊缝长度。 解：[FP] =b?[?]

FPb?[?]b[?] ?????[?]

2?lcos45?2?lcos45?2l l?FNx3FP4FPx(a)

?132mm

2[?]2?93.2根据设计规范，应在强度计算结果上加2?，所以取 l = 158mm。

习题8-7图

8-8 木接头结构受力如图所示。已知木材的许用切应力[?]= 6.5MPa。试校核木接头剪切强度是否安全。

FQ7?103 解：????6.14MPa?[?]，安全。

A76?15?10?6

习题8-8图 习题8-9图

8-9 直径为12.7mm的钢杆AB，固定在木构件的端部圆孔内，受力如图所示。试： 1．若木构件端C虚线所示的剪切面上最大切应力不得超过0.62MPa，确定b值； 2．计算木构件中的挤压应力。

FQ 解：1．???[?]

A?

b[?]127?1374.5?1032?196?10?6?0.62?106，b?0.191m?191mm

— 48 —

2． ?c?FPc4500??18.65MPa A19?12.7?10?6

8-10 木梁由柱支承如图所示，测得柱中的轴向压力为FP = 75 kN。已知木梁所能承受的许用挤压应力

[?c]= 3.0 MPa。试确定柱与木梁之间垫板的尺寸。 解：?c?

FP?[?c] A75?103b?140?10?6?3.0?106，b?178.6mm

习题8-11图

习题8-10图

8-11 图示承受轴向压力FP = 40 kN的木柱由混凝土底座支承，底座静置在平整的土壤上。已知土壤的挤压许用应力[?c]= 145 kPa。试： 1．确定混凝土底座中的平均挤压应力； 2．确定底座的尺寸。 解：1．?c? 2．

FP120?100?10?6?40?103120?100?10?6FP[?c]??3.33MPa

?0.525m?525mm

FPb2?[?c] b?40?103145?103，

8-12 等截面木杆受轴向载荷FP作用如图所示，杆由A、B两部分用斜面胶接而成。已知胶接缝的许用切应力[?]= 517 kPa，许用拉伸应力[?]= 850kPa。试确定木杆的许可载荷。

F 解：?x?P

A ??70??

?x2??x2cos[2?(?70?)]?[?]

FP1()[1?cos140?]?850?10?3 214?8.9 FP?905.4N

|??70?|?|

?x2习题8-12图

sin[2?(?70?)]|?[?]

FP1?sin140??517?10?3 214?8.9 FP?200.4N ，∴ [FP] = 200 N

8-13 塑料板条A和B由两块厚3mm、形状如图所示的板用胶粘接成一体。结合面胶层的剪切强度 F

(a) 习题8-13图

极限?b= 900 kPa，所加的轴向载荷FP = 1.5 kN。试求工作安全因数。

— 49 —

解：

3F1.5?10P ????0.5MPa= 500 kPa ?6A2?(15?60?20?30)?10 nb??b900??1.8 ?500

8-14 木构件A和B由两片层合板用胶粘接在一起，承受轴向载荷作用，如图所示。已知A和B的空隙为8mm；板宽b = 100mm；胶层的许用切应力[?]= 800 kPa。试确定层合板的长度l。

F 解：?[?]

A

24?103?800?103

b(l?8)?2?10?62 l?8?习题8-14图 ?300

100?800?10?3∴ l?308mm

8-15埋入混凝土中的钢筋，承受轴向载荷作用，如图所示。已知钢筋直径d，钢筋的拉伸许用应力[?]，钢筋与混凝土之间的许用切应力[?]。若不计二者之间的正压力，试求使外加载荷达到最大值时钢筋需埋入混凝土的长度l（用d、[?]和[?]表示）。

24?103

解：[FP]?[?]A1?[?]

4 [FP]?[?]A2?[?]?πd?l

πd2 ∴ πdl[?]?[?]

4d[?] l?

4l

习题8-15图

8-16 图示结构中BCDE为刚性梁，连杆AB为钢制，其强度极限?b= 450 MPa，工作安全因数nb = 3.5；A、B、D三处销钉的许用切应力[?]= 50MPa。已知AB角度、载荷和尺寸如图所示。试： 1．计算连杆AB所需的横截面面积； 2．设计A、B、D三处销钉的直径。 解：?MB?0

?20?0.4?8?1.2?0.6?FRD?0.8?0 FRD = 17.2 kN

?Fy?0，FABsin35??FRD?20?8?1.2?0 FAB?29.6?17.2?21.6kN

sin35??d2FAB450?106 ?A3.5 A?3.5?21.6?103450?106习题8-16图

?0.000168m2 = 168 mm2

FAB FAB = A[?]? d1?πd124[?]

38kN/m35?4FAB?π[?]4?21.6?10π?50?106?0.02345m?23.5mm

2?d2BCDE ∴ dA = dB = 23.5 mm；FRD?A2[?]? d2?4FRD?π[?]4?17.2?103π?50?1064[?]

20kNFRD(a)

?0.02093m?20.9mm

— 50 —

8-17 图示结构中，C处销钉直径dC = 8 mm，B和D处的销钉直径dB = dD = 12 mm。已知三处销钉的剪切强度极限均为?b=100 MPa，连杆BD的强度极限?b=250 MPa，各部分安全因数均要求nb = 3.0。试求结构的许可载荷[FP]。

解：按连杆BD强度 TBD?AAFPBFBDC

习题8-17图

FRC

(a)

（1）

nb 按B、D销钉剪切强度

?π2π100 FBD?dD?2?b??122?10?6?2??106?7.54kN（2）

4nb43.0 按C处销钉剪切强度

?π2π100 FRC?dC?2?b??82?10?6?2??106?3.35kN （3）

4nb43.0 由图（a）：?MA?0，FRC?380?FRD?180

380FRC?7.074kN （4） 180 比较（1）、（2）、（4），FRD = 7.074 kN ?Fx?0，FP?FBD?FRC?3.72kN

8-18 关于弯曲问题中根据?max?[?]进行强度计算时怎样判断危险点，有如下论述，试分析哪一种论

?b?20?8?2?10?6?250?106?26.667kN 3.0 FRD?述正确。

（A）画弯矩图确定Mmax作用面。

（B）综合考虑弯矩的大小与截面形状；

（C）综合考虑弯矩的大小、截面形状和尺寸以及材料性能； （D）综合考虑梁长、载荷、截面尺寸等。

正确答案是 C 。

8-19 悬臂梁受力如图所示，若截面可能有图示四种形式，中空部分的面积A都相等，试分析哪一种形式截面梁的强度最高。

正确答案是 A 。

习题8-19图

8-20 铸铁T字形截面悬臂梁，受力如图所示，其中力FP作用线沿铅垂方向。若保证各种情况下都无扭转发生，即只产生弯曲，试判断图示四种放置方式中哪一种使梁有最高的强度。 正确答案是 B 。

— 51 —

习题8-20图

8-21 图示四梁中q、l、W、[?]均相同。试判断下面关于其强度高低的结论中哪一个是正确的。 （A）强度：图a＞图b＞图c＞图d； （B）强度：图b＞图d＞图a＞图c； （C）强度：图d＞图b＞图a＞图c； （D）强度：图b＞图a＞图d＞图c。 正确答案是 B 。

1解：Mamax?ql2

812ql Mbmax?401 Mcmax?ql2

2习题8-21图 7ql2 Mdmax?100 8-22 图示四梁中FP、l、W、[?]均相同，不考虑轴力影响。试判断关于它们强度高低的下述结论中

1哪一个是正确的。

4M/FPl （A）强度：图a＝图b＝图c＝图d； （B）强度：图a＞图b＞图d＞图c；

AB （C）强度：图b＞图a＞图c＞图d；

1 （D）强度：图b＞图a＞图d＞图c。

4 正确答案是 B 。 (a-1) 解：Mamax?Mbmax?Mdmax?Mcmax 1 ∴选 (B)。

习题8-22题

8-23 铸铁制简支梁承受集中力偶M0如图所示。试判断四种截面（截面面积均为A）形状中，哪一种可使许可外力偶矩M0最大。

正确答案是 C 。 解：截面面积相同时 IA?IB?IC?ID

My ??I4M02M0?? ?Cy2， ?C?y2 max?max3IC3ICM/FPl3105BA15(b-1)

12M/FPl310

AB

(c-1)

M/FPl23

13(d-1)

习题8-23题

2M(Mo)3AB — 52 —

13(a)

??Dmax?2M04M0y2， ???y2 Dmax3ID3ID由于铸铁抗压强度高于其抗拉强度，故正确答案选：C。

8-24 图示承受集中力的细长简支梁，在弯矩最大截面上沿加载方向开一小孔，若不考虑应力集中影响时，并于小孔对梁强度和刚度的影响，有如下论述。试判断哪一种是正确的。 （A）大大降低梁的强度和刚度；

（B）对强度有较大影响，对刚度的影响很小可以忽略不计； （C）对刚度有较大影响，对强度的影响很小可以忽略不计； （D）对强度和刚度的影响都很小，都可忽略不计。 正确答案是 B 。

M1 解：??maxymax，Mmax?Fpl，Is?2Ih，故有孔时

I4强度下降一半。 wmax?，最大挠度与整个梁各种截面I有关，因48EI习题8-24图

绝大部分截面I不变，故刚度影响很小，可以忽略不计。

8-25 普通钢制简支梁受集中力如图所示。为提高梁的刚度，试采取如下哪一种措施：

（A） 改用高强度钢； （B）采用等强度梁； （C）将梁中心部分挖去；

（D）在总载荷不变的前提下，将集中载荷变为分布载荷；在横截面面积不变的条件下，将梁制成空心梁。 正确答案是 D 。

解：改成分布载荷，可使最大弯矩降低；制成空心截面

习题8-25图 My知，应选：D。 梁，可提高惯性矩，则由??I

8-26 T形截面外伸梁，受力与截面尺寸如图所示，其中C为截面形心，Iz?2.136?107mm4。梁的材料为铸铁，其抗拉许用应力[?]?= 30MPa，抗压许用应力[?]?= 60MPa。试校核该梁是否安全。 解：1．?MB?0，FRA = 37.5kN（↑） 1 MB???50?12??25kN·m

2 FQ?FRA?qx?0

Fpl3 x?FRA37.5??0.75m q5012qx?14.1kN·m 2FRA MC?FRA?x? 2． C截面

FRB

习题8-26图

M14.1?103? ?max?C?0.130??0.130?85.8MPa?[?]?， ?525Iz21.36?10 不安全

3． B截面

MBC25?103?0.05??A?[?] ?max?MPa ?0.050??58.5xDIzB21.36?10?6MB? ?mMPa?[?]? ?0.130?152ax?Mz(kN.m)14.1Iz

∴ 不安全。

( a)

8-27 加固后的吊车主梁如图所示。梁的跨度l = 8m，许用应力[?]= 100MPa。试分析当小车行走到什么位置时，梁内弯矩最大，并计算许可载荷（小车对梁的作用可视为集中力）。

— 53 —

解：1．小车行至梁中间时，梁内弯矩最大。

F M1?P?4?2FP

2 Iz1?1.10755?108?2( Wz1?75?63?75?6?1632)?1.3467?108mm4 12Iz1?8.113?105mm3?8.113?10?4m3 1662FPM1 ?100?106 ?[?]，即?4Wz18.113?10 FP?40.56kN

（1）

2．小车行至离两端1.4 m处

F(8?1.4)?1.4?1.155FP M2?P8 Wz1?6.922?10?4m3

1.155FPM2?100?10?6 ?[?]，即?4Wz26.922?10 FP?59.9kN

比较（1）、（2），得 [FP] = 40.56 kN

（2）

8-28 为了起吊重W = 300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车及一根辅助梁AB，如图所示。已知钢材的[?]= 160MPa，l = 4m。试分析和计算：

1．设备吊在辅助梁的什么位置（以至150kN吊车的间距a表示），才能保证两台吊车都不会超载？ 2．若以普通热轧工字型钢作为辅助梁，确定工字型钢型号。 解：1．?MA?0 150l?W(l?a1) 150?4?300(l?a1) a1 = 2m ?MB?0 200l?Wa2

200l200?4??2.667m W300 ∴ 2m?a?2.667m 2． a1 = 2m时

M1max?150?2?300kN·m

a2?M ??1max?[?]

W1M1max300?103 W1? ?[?]160?106 W1?18.75?10?4m3

a 2 = 2.667m时

M2max?200?(4?2.667)?266.6kN·m?M1max

故由W1值选工字钢型号为：No.50a，其W = 1860cm3

|W?W1|15 ??0.8%，误差不大，故取No.50a工字钢。

W11875

— 54 —

习题8-28图

8-29 支承楼板的木梁如图所示，其两端支承可视为简支，楼板受均布面载荷p = 3.5kN/m2的作用。已知木梁跨度l = 6m，楼板间距a = 1m；木材的[?]= 10MPa，木梁截面尺寸b/h = 2/3。试求b和h各为多少。

解：木梁受力图（a）

ql1 FRA??pal

22l1l1 Mmax?FRA??q()2?pal2 a a ?? 2228 1 pal22M9pal ?max?max?8??[?] 3 2W28hh?h习题8-29图 36 h?39pal239?3.5?103?1?62??0.242m 8[?]8?10?106q?paAB = 242 mm FRBFRA 取h = 242 mm l2 ∴ b?h?161mm 3(a)

8-30 简支梁受力如图所示。采用普通热轧工字型钢，且已知[?]= 160MPa。试确定工字型钢型号，并按最大切应力准则对梁的强度作全面校核。 解：1．FRA = FRB = 180kN（↑）

1 MC?MD?180?0.5??10?0.52?88.75kN·m

21 ME?Mmax?180?2?160?1.5??10?22?100kN·m

2 FQC?180?0.5?10?175kN ?maxM?max?[?]

WFQ(kN)

习题8-30图

Mmax100?103 W???6.25?10?4m3 6[?]160?10 查型钢表，选工字钢No.32a：

W = 692.2 cm2，Iz = 11075.5 cm4

I z?27.46cm

Sz E截面：

18017515AED15CBM ?max?max?144.5MPa

W ?r3??1??3?144.5MPa?[?]

＋－

2． A、B截面：

FQSz180?103 ?max???69MPa

dIz9.5?10?3?27.26?10?22 ?r3?4?max?2?max?138MPa?[?]

ACE175DB180 88.75MkN-m88.75100

(a)

－＋

3．C、D截面： ?x?88.75?103?145?10?31.10755?10?8*FQC?Sz?116.2MPa

?xy? ?dIz

175?103?130?15?152.5?10?99.5?10?3?1.10755?10?8?49.46MPa — 55 —

22 ?r3??x?4?xy?152.6MPa?[?]

∴ 选No.32a工字钢安全。

8-31 厚度?= 8mm的箱形截面梁，受力如图所示。已知[?]= 150Mpa，试设计截面宽度b，并用形状改变比能准则对梁的强度作全面校核。 解：1．FRA = FRB = 37.5kN（↑） MC?37.5?0.4?15kN·m FQC = 37.5 kN

MD?37.5?0.8?25?0.4?20kN·m FRA FQD = 12.5 kN

M 2． ?Dmax?D?0.08?[?]

Iz

20?10?0.08333FRB (a)

b?160?(b?16)?144?10?1212 b?72.28mm

?150?106

FQ(KN)FQ (kN) 37.512.5 取b = 72.28 mm时，算得Iz?10.6673?10?6m4 此时，?Dmax?150MPa

?r4?[?]安全，一般取b = 72 mm即可。 3． D截面G点：

M ?G?D?0.072?135MPa

Iz ?G?*FQD?SzEACD12.5B37.5

(b)

?Iz?12.5?103?43946?10?916?10?3?10.6673?10?6ACDE?3.22MPa

B ?r4??2?3?2?1352?3?3.222?135.1MPa?[?] 4． C截面G点：

M ?G?C?0.072?101MPa

Iz ?G?*FQC?Sz1515M(kN?m)20

(c)

?Iz?37.5?103?43946?10?916?10?3?10.6673?10?6?9.66MPa

?r4??2?3?2?102.4MPa?[?]

故取b = 72 mm。

8-32 图示4.5m长的四根小梁，一端支承在长10.5m的大梁AB上，另一端支承于混凝土墙上。每根小梁上承受集度为q = 16 kN/m的均布载荷。已知材料的[?]= 165 MPa，且大、小梁均采用普通热轧工字型钢。试选择用于大梁和小梁的最小型号，并应用形状改变比能准则对大梁AB的强度作全面校核。 解：1．小梁CE，图（a）

Ml1 Mmax?MG()?ql2，max?[?]

28W11?16?103?4.52Mmax8 W1???245?10?6m3 6[?]165?10 选工字钢No.20b，其W = 250 cm3 2． 大梁AB，图（b）

Mmax?MC?MD?4.5q?3.5?252kN·m FQC = 4.5q = 72 kN

先按C截面上最大正应力粗选：

M ??max?[?]

W2 W2?

习题8-32图

qCMmax252?103??1.5273?10?3m3 6[?]165?10— 56 —

·Gl= 4500(a)

E

（1）初选No.45c工字钢，W = 1570 cm3，Iz = 35280 cm4 C截面上翼缘与腹板交界点上应力：

MC252?103?207?10?3?3 ??(225?18)?10??147.86MPa

Iz35280?10?8 ??*FQC?Sz4.5q4.5q?Iz?72?103?154?18?216?10?915.5?10?3?35280?10?83

A?7.88MPa

CDB ?r4??2?3?2?148.5MPa?[?]

（2）若选用No.45b工字钢，其W = 1500 cm，Iz = 33760 cm

4

35003500(b)

3500

Mmax252?103??168MPa W1500?10?6??[?]3 max??100%?1.8%?5%，工程上是允许的。

[?]165 此时C截面翼缘和腹板交界点的应力： ?max? ?? ??Mmax252?103?0.207?0.207??154.5MPa Iz33760?10?8*FQC?Sz?Iz?72?103?152?18?216?10?313.5?10?3?33760?10?8?9.336MPa

?r4??2?3?2?155MPa?[?]

故可选No.45b工字钢。

8-33 边长为a的正方形截面杆受力与支承如图中所示。已知材料的[?]= 50 MPa，试求边长a。

解：?Fx?0

FBx?3cos30??2.598kN ?MA?0

1 3??60?120FBy

2 FBy = 0.75 kN

FM?max?Bx?CAW 2.598?1030.75?60???[?]a2a362598270 ?3?50?106 2aa

习题8-33图

3kNA

FRA(a)

50?10a?2598a?270?0 a?0.01853m?18.53mm

6330?BFBxFBy

8-34 No.32a普通热轧工字钢简支梁受力如图所示。已知F = 60 kN，[?]= 160 MPa。试校核梁的强度。 解：危险截面位于FP作用处，危险点在截面的左下角点或右上角点。 由型钢表：

Wy = 70.758 cm3，Wz = 692.2 cm3

其左下角点：

11Fsin5??2FPcos5??2PMyMz22?max????WWWWzyzy sin5?cos5??FP(?)WyWz

习题8-34图

— 57 —

sin5?cos5??) ?670.758?10692.2?10?6?160.25MPa?[?]故安全。

8-35 图示柱子为直径d变化的等强度实心回转体，载荷FP不变。试将d表示为d0、x、l的表达式。 解：固定端：M = FPl

?60?103( ?? x截面：

M32FPl ?3Wπd0（1）

M(x)32FPx ?W(x)πd3 由（1）、（2）等强度要求：

32FPl32FPx ?3πd0πd3 M(x)?1（2）

x ∴ d?d0()3

习题8-35图 l

8-36 承受均布载荷q的简支梁如图所示，梁为直径d变化的等强度实心回转体。试将d表示为d0、x、l的函数。

11 解：M(x)?qlx?qx2

22 W(x)?πd3 32 ?max(x)?M(x)16q(lx?x2) ?3W(x)πd4ql2l ?max()? 32πd0

习题8-36图

l ?max(x)??max()

2

16q(lx?x2)πd3?4ql23πd01]3

d?d0[4(lx?x2)l2

8-37 轴受力如图所示。已知FP = 1.6kN，d = 32mm，E = 200GPa。若要求加力点的挠度不大于许用挠度[w]= 0.05mm，试校核轴是否满足刚度要求。 解：查表6－1得

FbawC?P(l2?a2?b2)6lEI

1.6?103?0.246?0.048?(2942?482?2462)?10?6?64?6(246?48)?10?3?200?109?π?324?10?12 ?2.46?10?5m?0.0246mm?[w]，安全。

习题8-37图

8-38 图示一端外伸的轴在飞轮重量作用下发生变形，已知飞轮重W = 20 kN，轴材料的E = 200GPa，轴承B处的许用转角[?]= 0.5°。试设计轴的直径。 解：由表6－1查得：

Fal180??B?P?3EIπ Wal180???3EIπ20000?1?2?64180???3?200?109?πd4π

?0.5?习题8-38图

— 58 —

d?0.1117m，取d = 112mm。

8-39 图示承受均布载荷的简支梁由两根竖向放置普通槽钢组成。已知q = 10kN/m，l = 4m，材料的[?]= 100MPa，许用挠度[w]= l/1000，E = 200GPa。试确定槽钢型号。 解：1．强度：

1 Mmax?ql2

8M ??max?[?]

WzMmax10000?42 Wz???2?10?4m3 6[?]8?100?10W 每根槽钢 Wz1?z?100cm3

2 选No.16a槽钢，其Wz = 108.3 cm4 2．刚度： wmax? Iz? Iz1?

习题8-39图

5ql4l ?384EIz1000384?200?1095?10000?43?1000?0.41667?10?4m4

Iz?2083.3cm4 2 选No.22a槽钢，其Iz = 2393.9 cm4

故最后选定两根No.22a槽钢。

8-40 图示普通热轧工字型钢制的简支梁，在中点承受集中载荷。FP力作用线与y轴夹角10°。已知FP = 22kN，l = 4m，材料的[?]= 160MPa，单位长度内的许用挠度[w]/l= 1/400，E = 200GPa。试确定工字型钢型号。

11FPsin10??2FPcos10??2MyMz22????[?] 解：?max?WyWzWyWz ?max22?103sin10?22?103cos10????160?106 （1）

WyWz 1． 试选工字钢No.25a，其：

Wy = 48.283 cm3，Wz = 401.88 cm3 代入（1）左边：

?max?133MPa?[?]

2．再选No.22b，其

Wy = 42.7 cm3，Wz = 325 cm3 代入（1）：

?max?156MPa?[?]，强度仍满足。

刚度：梁中点的挠度，Iz?3570?10?4m4，Iy?239?10?8m4 wy?FPyl348EIz?FPcos10??l3?4.046?10?3m

48EIz

习题 8-40图

FPzl3FPsin10??l3??10.656?10?3m wz?48EIy48EIy?2?3 w?w2y?wz?11.4?10m

w11.4?10?3[w]1 ??0.00285??l4l40010.00285?400?14%，误差太大，不安全。

1400 故再改选为No.25a，其

— 59 —

Iy = 280.046 cm4，Iz = 5023.54 cm4 wy? wz?22000?43cos10?48?200?10?5023.54?109?8?2.875?10?3m

22000?43sin10?48?200?10?280.046?109?8?9.094?10?3m

2?3 w?w2y?wz?9.538?10m

w1，安全。 ?2.384?10?3?l400 故最后选定No.25a工字钢。

8-41 为了使由No.28b普通热轧工字型钢制成的AB主梁能够承受FP = 240kN的集中载荷，在其上设置副梁CD，如图所示。已知主、副梁的许用应力均为[?]= 165MPa，l0 = 5m。试求： 1．保证主梁不超载的副梁最小长度l； 2．副梁所需的工字型钢型号。

解：1．No.28b工字钢的W1 = 534.29cm3

M ?[?]

W1

FP(l0?l)?[?]

4W1240?103(5?l)?165?106，l?3.531m，取l = 3.531m

A习题8-41图

C4?534.29?10?6 2． 副梁中：

M1 Mmax?FPl，max?[?]

4W2DBMM240?103?3.531 W2?max??1283.89?10?6m3 (a) 6[?]4?165?10 选No.45a工字钢作副梁。 3． 讨论：

本题副梁比主梁粗，未必符合实际，若将主梁选为No.40a工字钢，其W = 1090cm3，则l = 2m，此时副梁选No.32b工字钢，其W = 726.33cm3。（由计算结果所知。）

8-42 矩形截面梁有图示四种可能承载方式。试确定截面F上的最大正应力与最大切应力，并将四种情形下所得到的结果加以比较。

??Ma(F)?2?0.4?0.8kN?m 解：图（a）?

??FQa?0??Mb(F)?2?0.2?0.4kN?m 图（b）?

F?0?Qb?FP(lo?l)4

??Mc(F)?2?0.3?0.6kN?m 图（c）?

F??2kN?Qc???Md(F)?2?0.7?1.4kN?m 图（d）?

??FQd?2kN20?502 W??10?9?8.333?10?6m3

6?0 ∴ （a）：?axma ?amax （b）：?bxma

习题8-42图

M0.8?103?a??96MPa W8.333?10?6?0

Mb?48MPa W ?bmax? — 60 —

3FQc3?2?103 （c）：?cmax???3MPa

2A2?20?50?10?62kNM ?cmax?c?72MPa BWM aFG2kN3FQd （d）：?dmax??3MPa

2A(a-1)

Md ?dmax??168MPa

W

2kN FFQCAM M cBMdGF bFQ D2kNF2kN2kN

(b-1) (c-1) (d-1)

8-43 图示正方形截面上受弯矩Mz、扭矩Mx和剪力FQy作用，进行强度计算时，其截面上可能的危险点是：

（A）点a和点b； （B）点b和点c； （C）a、b、d三点；

（D）b、c、d三点。 正确答案是 A 。

3FQyMx 解：?a?0,?a?； ?2h20.208h3Mx6M ?b?3z,?b?； h

h0.208h3 3FQyMx ?c?0,?c?； 习题8-43图 ?2h20.208h36M ?d?3z,?d?0。

h比较后知：a比c点危险，b比d点危险，故选：A。 ?a?b?da?ccb d b?b d (a) (c) (b) (b)

8-44 图示矩形截面上受弯矩My、Mz（且Mz＞My）、扭矩Mx和剪力FQz作用，其截面上可能危险点是： （A）点a和点c；

（B）点a、点b和点d； （C）点a、点d和点c； （D）a、b、c、d四点。 正确答案是 D 。

MhM6Mzh???z???z3??? 解：?a

Iz2b1h2b1h212

Myb1Myb16My习题8-44图 ?????????? ?a 32Iy2hb12hb112??6Mz6My??a?????bh2hb2 ∴?1?1????a?0??? ?a

?a

?bb?b

(b)

— 61 —

(a)

6Mz????b?b1h2? ?

3F?cMQz????1x?b2b1hchb211?6My???c?hb12? ?

M???x?cchb211?c?c?d

?c(c)

d(d)

?6Mz6My???d? ?b1h2hb12

???0?d比较后，a，b，c，d四点都可能是危险点。

8-45 图示圆截面轴的危险面上，受弯矩My、Mz（My＝Mz）和扭矩Mx作用，其危险点是： （A）点a、b、c、d；

My （B）点c； （C）点f、g； bef（D）点e、f、g。 正确答案是 C 。

acMz 解：∵My?Mz

bc?ar3??r3??r3

??dr3??22Mz?Mx

d d

(a)

g

W222Mz?Mx

习题8-45图

W ∴点f，g为危险点。

8-46 图示圆截面轴的危险面上受弯矩My、扭矩Mx和轴力FNx作用，关于危险点的应力状态有下列四种，试判断哪一种是正确的。

正确答案是 B 。

MyFNx 解：?a?（沿x正向） ?WAMyFNx? ?b?? WAM ?a??b?x

Wp ?a沿y负向，?b沿y正向。

∴危险点在a点（图a） 正确答案选：B。

?rf3??rg3??ra3yz?a?w??w?bb ??N??Nb b (b)

（图中微元上平行于纸平面的面对应着轴的横截面）

习题8-46图

8-47 圆截面轴的危险面上，受弯矩My、Mz、扭矩Mx和轴力FNx作用，其最大切应力设计准则为

222My?Mz?MxFNx??[?]； （A）AW

（B）(My?Mz2FNx2M)?()?4(x)2?[?]； AWWP — 62 —

（C）

My2FNxMM?()?(z)2?4(x)2?[?]； AWWWP22My?MzFNxM （D）(?)2?4(x)2?[?]。

AWWP正确答案是 D 。

8-48 钢制正方形截面轴，其危险截面上受弯矩My、扭矩Mx作用。若弯曲截面系数为W，则强度设计准则有以下四种，试判断哪一种是正确的。

MyM （A）??（?，?为危险点的正应力和切应力）； ?[?]，??x?[?]，

2WW （B）

22My?MxW?[?]；

（C）?2?4?2?[?]，（?，?为危险点的正应力和切应力）； （D）(MyW)2?4(Mx2)?[?]。 2W正确答案是 C 。

8-49 图示电动机功率P = 9kW，转速n = 715r/min，皮带轮直径D = 250mm。电动机轴外伸长度l = 120mm，轴的直径d = 40mm，已知[?]= 60MPa。试用最大切应力准则校核轴的强度。 解：电机产生力矩：

P Mx?9549?120.2N·m

nD Mx?(2FP?FP)

22Mx FP??961.58N

D1 危险面：W?πd3

32 M?3FP?l?346.168N·m Mx = 120.2 N·m ?r3?M?MW22x习题8-49图

?58.3MPa?[?]，安全。

8-50 传动轴受力如图示。若已知材料的[?]= 120MPa，试设计该轴的直径。 解：T = FPr

yT FP??5000N FPrTT 受力图（a）横放 CA1DB FAy?FCy?FP?2500N

2zFCyFAy 危险面B： Mx = 500N·m (a) Mz?FCy?0.15?375N·m 不计剪力影响 ?r3?

22Mz?Mx

习题8-50图

Wπd3?[?]

MxA323752?5002?120?106

d?0.037575m

取 d = 37.6mm

— 63 —

BA500N?m375N?mDMzCBA

8-51 直杆AB与直径d = 40mm的圆柱焊成一体，结构受力如图所示。试确定点a和点b的应力状态，并计算?r4。 解：1．FNx??5kN，FQy??400N Mx?(1000?600)?0.150?60N·m Mz??(1000?600)?0.275??110N·m 2． ?a?FNx?Mz?AWz?5?103π?40?10?642?110π?40?10?9323?13.53MPa

?a?Mx?4.7746MPa WP22 ?r4??a?3?a?13.532?3?4.77462?15.86MPa

a点应力状态如图（a）。

FNx5?103????3.979MPa 3． ?b?Aπ?402?6?104 ?b?Mx3FQy603400?????5.252MPa WP2A2π?402π?403?9?6?10?10164

习题8-51图

?a?a?b?b22 ?r4??b?3?b?9.93MPa

b点应力状态如图（b）。

8-52 折杆受力与尺寸如图所示。若已知折杆直径d = (a) (b) 63.5mm，试确定点a和点b的应力状态，并计算?r4。

解：1．点a和点b所在横截面上内力：（令FP = 12 kN）

125 tan??，??22.62?，cos??0.9231，sin??0.3846

300 FNx??FPcos?，FQy??FPsin?

Mx?FPsin??0.150，My??FPcos??0.150， Mz??FPsin??0.210

FNxMz?FPcos?0.21FPsin?? 2． ?a?A?W? 2πdπd3z432 ??4?12?10cos?π?63.5?102?63

习题8-52图

?0.21?32?12?10sin?π?63.53?10?93?35.1MPa

Mx10.15?16?12?103sin??0.15FPsin????13.77MPa ?a?WPπd3π?63.53?10?91622?3?a?35.12?3?13.772?42.5MPa ?r4(a)??a?a?a a点应力状态如图（a）。 MyFFcos?0.15FPcos???P2? 3． ?b?Nx?

AWyπdπd3432 (a)

0.15?84?12?103cos?0.15?8)?(1?)??69.60MPa dπd2π?63.52?10?663.5?10?3Mx3FQy?3FPsin6?12?103sin???13.77??13.77??15.96MPa ?b?22?6WP2A2πdπ?63.5?104 ??4FPcos?(1??b?b22 ?r4(a)??b?3?b?69.602?3?15.962?74.89MPa

b点应力状态如图（b）。

(b)

— 64 —

8-53 图示传动轴，H处为止推轴承，K处为滚动轴承，轴传递功率P = 35kW，

转速n = 270r/min，皮带轮直径D1 = 630mm，皮带拉力F1 = 2F2，圆锥齿轮平均节圆直径D2 = 166mm，压力角?= 20°，轴的直径d = 85mm，材料为45号钢，其[?]= 70 MPa。试按形状改变比能准则校核该轴的强度。 解：P = 35kW，n = 270r/min

P Mx?9549??1238kN·m

n 因此该题已知条件同原书例题2－4，由例解知：危险截面为A，危险截面上： 56° FNx??2887N

9·m Mz?262N

My?3298N·m 8·m Mx??123N

22Mz?MyF??Nx?A

习题8-53图

W26292?32982πd3?10?932

2887??π2d4

??70.46MPa

π?853?9?1032M12381238??10.27MPa ??x?πWp3?9πd3?85?101616π?852?10?64?288726292?32982 ?r4??2?3?2?72.67MPa

?r4?[?]2.67??100%?3.8%，安全。 [?]70

8-54 图示传动轴、轴上的斜齿轮A上受有三个互相垂直的啮合力FPa= 650N，FPτ= 650N，FPr= 1730N，方向如图所示。图中D = 50mm，l = 100mm。若已知轴的许用应力[?]= 90MPa，试按形状改变比能准则设计轴的直径。 解：由本书2-11题解的内力图知，危险截面上 FNx??650N Mx??16.25N·m My?32.5N·m

FPaFPrFPrFPrMz?94.6N·m

先不计轴力影响

习题8-54图

?r4? W?222My?Mz?0.75MxW222My?Mz?0.75Mx?[?]

[?]

— 65 —

πd332.52?94.62?0.75?16.252 ?3290?106 d?0.02253m，取d = 23mm（考虑轴力影响）

2 MPa My?Mz2FNx65032.52?94.62??????83.8πAWπd32?63?9?23?10?23?10432Mx16.25 MPa

??Wp?π?233?10?916?6.80 ?r4??2?3?2?83.82?3?6.802?84.6MPa?[?]，安全。 ∴ d = 23mm

8-55 一端固定的半圆形曲杆，尺寸及受力如图所示。曲杆横截面为正方形，边长为a = 30mm，载荷FP = 1.2kN，材料的许用应力[?]= 165MPa。试用最大切应力准则校核曲杆强度是否安全（剪力忽略不计）。 解：1．截面几何：

A?30?30?10?6?900?10?6m2

a3303?10?9 W???4.5?10?6m3

66 WP?c1a3?0.208?303?10?9?5.62?10?6m3

2．B截面内力和应力 FQ = 1200 N

M?FP?R?1200?0.2?240N·m Mx?FPR?240N·m

习题8-55图

M240??53.33MPa W4.5?10?63FQ31200 ?1????2MPa

2A2900?10?6M240 ?2?x??42.70MPa

Wp5.62?10?6 ?? ?3??1??2?44.70MPa

?r3??2?4?2?53.332?4?44.782?104.1MPa?[?]

3．C截面内力和应力 FQ = 1200 N

M = 0，Mx?FP?2R?480N·m

最大剪应力（内侧中点）：

3FPMx31200480?max??????62AWp2900?10 5.62?10?6

?2?2?42.70?87.4MPa ?r3??2?4?2?2?max?174.8MPa?[?] 不计剪力时 ?max?85.4MPa

?r3?170.8 MPa?[?]

8-56 矩形截面杆两端固定，受力及尺寸如图所示。已知FP = 8.5kN，l = 5m，b = 60mm，h = 90mm，材料的许用应力[?]= 80MPa。试用形状改变比能准则校核杆的强度是否安全。 F ABMMMx FPFPMx ll222（a）

2 — 66 —

Mx（b）

习题8-56图

解：原题为弯扭组合静不定问题，由对称性得：

1bF?b图（b）：Mx?FP??P

224 图（a）：由迭加法wA??( M?1FPl8MFlMlMl?)?P?0 3EI6EI16EI21FPl8(c)

1FPl8

1FPl 81Fl3FPlM8P3?8.5?103?5????65.6MPa ??Wbh24bh24?60?902?10?96FPbMx8.5?1034???1.7MPa ?t1?Wp1c1hb24?0.231?90?60?10?6FQFP2FP2(d)

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