辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试数学(文)试题

东北育才学校高中部2018届高三第八次模拟数学试题（文科）

考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题：高三数学备课组

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知U?R，A?{x|x2?2x?3?0}，则eUA?

A.{x|?3?x?1} B.{x|?3?x?1} C.{x|?1?x?3} D.{x|?1?x?3}2.已知复数z在复平面上对应的点为Z(2，?1)，则

A.z??1?2i B.|z|?5 C.z??2?i D.z?2是纯虚数 3.已知抛物线的焦点在x轴负半轴，若p?2，则其标准方程为 A.y2??2x B.x??2y C.y??4x D.x??4y 4.如图，半径为1的圆内有一阴影区域，在圆内随机撒入一大把豆子，其中，落在阴影区域内的豆子共m颗，则阴影区域的面积约为 A.

共n颗，

222[来源:Zxxk.Com]

mnm?n? B. C. D. nmmn54 C. D.2 43开始s=0,n=2n=n+1M=n+1n5.执行如图所示的算法，则输出的结果是 A.1

B.

????6.已知向量a?1,2，b?t,22，若向量b在a方向上的

????正射影的数量为3，则实数t? A.?1 B.1 C.3 D.5

7.若公差为2的等差数列{an}的前9项和为S9?81，则a2018? A.4033 B.4035 C.4037 D.4039 8.设?ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 如果(a?b?c)(b?c?a)?3bc，且a?3，那么?ABC外 接圆的半径为

A．1 B．2 C.2 D．4

9.如图，在三棱柱ABC?A1BC11中，侧棱AA1?底面A1B1C1， 底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是 A.CC1与B1E是异面直线 B. AC?平面ABB1A1

结束输出s是Ms=s+log2否s?Q?

C.AE，B1C1为异面直线且AE?B1C1 D. AC11//平面AB1E

10.已知定义在[1?a,2a?5]上的偶函数f(x)在[0,2a?5]上单调递增，则函数f(x)的解析式不可能是

A．f(x)?x2?a B.f(x)??a|x| C.f(x)?xa D.f(x)?loga(|x|?2)

0、F211.已知双曲线的两个焦点为F1?10，???10，0，M是此双曲线上的一点，且满足

?????????????????????MF1?MF2?0，MF1?MF2?2，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为

A．3

B．

1 3C．

1 2D．1

12.如图，已知直线y?kx与曲线y?f(x)相切

于两点，函数g(x)?kx?m，则函数F(x)?g(x)?f(x) A.有极小值，没有极大值B.有极大值，没有极小值 C.至少有两个极小值和一个极大值 D.至少有一个极小值和两个极大值

第Ⅰ卷（非选择题共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为

?y?2x?214.已知x,y满足不等式组?x?1,

??y?1?则z?y?4x的最小值是

15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1?1，

[来源学科网Z|X|X|K]21正视图11侧视图Sn?2an?1，,则Sn?

俯视图16.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张． 甲说：我摸到卡片的标号是10和12； 乙说：我摸到卡片的标号是6和11；

丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等．据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)

将函数y?f?x?的图象向左平移

?12个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2倍，可以得到函数y?cos2x的图象.

(Ⅰ)求f???的值；

(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. 18.(本小题满分12分)

2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

(Ⅰ)根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？

(Ⅱ)现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.

(ⅰ)问男、女学生各选取多少人？

(ⅱ)若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率P.

附：K2?n?ad?bc?2 男生 女生 收看 60 20 没收看 20 20 ?a?b??c?d??a?c??b?d?P?K2?k0? k0 ，其中n?a?b?c?d.

0.05 3.841 0.025 5.024 0.01 6.635 0.005 7.879 0.10 2.706 19.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是长方形，2AD?CD?PD?2，PA?5，

?PDC=120?,点E为线段PC的中点，点F在线段AB上，且

AF?1． 2（Ⅰ）平面PCD?平面ABCD； （Ⅱ）求棱锥C?DEF的高. 20.(本小题满分12分)

已知函数f(x)?(x?)ex,a?R （Ⅰ）求f(x)的零点；

ax

（Ⅱ）当a??5时，求证：f(x)在区间(1，??)上为增函数.

21.(本小题满分12分)

x2y21已知椭圆C：2?2?1的左右焦点分别为F1(?c,0)，F，离心率为.若点P为椭圆上（c,0)22ab一动点，?PF1F2的内切圆面积的最大值为(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)过点Q(0,1)作斜率为的动直线交椭圆于A,B两点，AB的中点为M，在y轴上是否存在定点N，使得对于任意k值均有|NM|?由.

请考生在22~23中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分12分)【选修4－4：坐标系与参数方程】

?. 31|AB|，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理2??x?1?3t,(t为参数)．在以原点O为极点，在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?y?1?t??x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为??2cos?．

（Ⅰ）求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程； （Ⅱ）设l与C交于P,Q两点，求?POQ．

23.(本小题满分12分)【选修4-5: 不等式选讲】

定义在R上的函数fx?2x?k?2x.k?N.存在实数x0使f?x0??2成立，

?（Ⅰ）求正整数k的值:（Ⅱ）若m?[来源:学。科。网]

119116，n?且求证f?m??f?n??10，求证??.

mn322

东北育才学校高中部2018届高三第八次模拟数学（文科）答案

一、选择题

1.B 2.D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.D 12.C 二、填空题

13.1 14.?5 15.()三、解答题

117.(Ⅰ)将函数y?cos2x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y?cos4x的图象，再

232n?1 16.8和9

将所得图象向右平移

??????个单位长度，得到函数y?cos4?x???cos?4x??的图象，123??12??????f?x??cos?4x??. ………………………4分

3??????f????cos?4????cos……………………6分

3?3?(Ⅱ)令2k????4x???2k? 3解得

1?11k???x?k??? 262121?11?],k?Z……………………12分18.(Ⅰ)因?所求单调递增区间为[k??,k??26212为K?2120??60?20?20?20?80?40?80?402?7.5?6.635，

所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.………………………4分

31(Ⅱ)(ⅰ)根据分层抽样方法得，男生?8?6人，女生?8?2人，

44所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人. ………………………6分 (ⅱ)设抽取的6名男生分别为A，B，C，D，E，F，两名女生为甲、乙； 从中抽取两人，分别记为（A，B）,（A，C）,（A，D）,(A,E),(A,F),(A,甲）， （A,乙），（B，C）,（B，D）,(B,E),(B,F),(B,甲），（B,乙），（C，D）,(C,E),(C,F) (C,甲），（C,乙），(D,E),(D,F),(D,甲），（D,乙）， (E,F),(E,甲），（E,乙），(F,甲）， （F,乙），（甲,乙），共28种情形，

其中一男一女包括(A,甲），（A,乙），(B,甲），（B,乙），(C,甲），（C,乙），(D,甲）， （D, 乙），(E,甲），（E,乙），(F,甲），（F,乙），共12种情形

所以，所求概率P?123?. ………………………12分 28722219.解：（Ⅰ）∵AP?PD?AD，∴AD?PD，又AD?DC，

∴AD?平面PCD，-----3分

又AD?平面ABCD，

∴平面PCD?平面ABCD．………………6分 （Ⅱ）∵AD?平面PCD，??PDC?120? 如

图

，

求

得

DE?1,DF?1957,EF?.?S?EFD?………………8分

8243,………………10分6

?V锥E?DFC?V锥C?DFE=457-----12分 19?h?20.解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(??,0)?(0,??)， 令f(x)?0，得x2?a?0,x2??a. 当a?0时，方程无解，f(x)没有零点； 当a?0时，得x???a. 综上，当a?0时f(x)无零点；当a?0时，f(x)零点为??a. …………………4分 （Ⅱ）f'(x)?(1?axax)e?(x?)e x2x(x3?x2?ax?a)ex?.

x2令g(x)?x?x?ax?a(x?1), 则g'(x)?3x?2x?a， 其对称轴为x??，

23213

所以g'(x)在(1,??)上单调递增. 所以g'(x)?3?12?2?1?a?5?a.

当a??5时，g'(x)?0恒成立，

所以g(x)在(1,??)上为增函数. …………………13分 21.解：(I)由e?1，得a?2c 212设?PF1F2内切圆半径为r，则S?PFF?又S?PFF?1211r(|PF1|?|PF2|?|F1F2|)?r(2a?2c)?3rc 221|F1F2||yP|?c|yP|， 2当P为椭圆的上、下顶点时，?PF1F2的面积最大

?Smax?bc?3rmaxc，

?b?3rmax,又rmax?3 3?b?3，又a2?b2?c2,a?2c，解得a?2,b?1

x2y2??1…………………4分 所以所求椭圆C的方程为43 (II)设动直线方程为y?kx?1,点P的坐标为（0,m)，

联立??y?kx?1，得(3+4k2)x2?8kx?8?0 22?3x?4y?12?8k?x?x???123?4k2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则?

?xx??812?3?4k2?由已知|NM|?????????NA?NB?x1x2?(y1?m)(y2?m)=(1+k2)x1x2?(1?m)k(x1?x2)?(1?m)2

?8?8k28k2(1?m)(4m2?12)k2?[3(m?1)2?8]2???(1?m)?=0 223+4k3?4k4k2?31|AB|可得 NA?NB,则 2

?4m2?12?0∵对任意的 值此方程?无解 2?3(m?1)?8?0∴不存在点N使得结论成立.…………………12分 22.解法一：（1）由???x?1?3t,得l的普通方程为x?3y?1?3，

??y?1?t, 1分

又因为??x??cos?,，所以l的极坐标方程为?cos??3sin??1?3． .................. 3分

y??sin?,???由??2cos?得??2?cos?，即x?y?2x， ............................................................... 4分 所以C的直角坐标方程为x?y?2x?0． ........................................................................... 5分 （2）设P,Q的极坐标分别为??1,?1?,??2,?2?，则?POQ??1??2 ................................ 6分

22222???cos??3sin??1?3,由?消去?得2cos?cos??3sin??1?3， ............. 7分 ????2cos?,????化为cos2??3sin2??3，即sin?2????π?3， ...................................................... 8分 ??6?2因为???0，?，即2?+??π?2?πππ2ππ?π7π?， ............... 9分 ??，?，所以2???，或2???63636?66?ππ????,??,??π?112?14即?或?所以?POQ??1??2=．........................................................ 10分

6???π,???π,22???4?12解法2：（1）同解法一 .................................................................................................................. 5分

2（2）曲线C的方程可化为?x?1??y?1，表示圆心为C?1,0?且半径为1的圆． ........ 6分

2?3x?1?t?,??2将l的参数方程化为标准形式?(其中t?为参数)，代入C的直角坐标方程为?y?1?1t???22??3??1?3?22????1?t???2?1?x?y?2x?0得，?1?tt???0，

????2??2?2???2整理得，t??t??0，解得t??0或t???1． ........................................................................... 8分

2

设P,Q对应的参数分别为t1?,t2?，则PQ?t1??t2??1．所以?PCQ?60?， ........... 9分又因为O是圆C上的点，所以?POQ?[来源:学科网]

?PCQ?30? ....................................................... 10分 2解法3：（1）同解法一 .................................................................................................................. 5分

2（2）曲线C的方程可化为?x?1??y?1，表示圆心为C?1,0?且半径为1的圆． ........ 6分

2又由①得l的普通方程为x?3y?1?3?0， ............................................................. 7分

??[来源:学科网]

则点C到直线l的距离为d?23， ........................................................................................... 8分 2所以PQ?21?d?1，所以△PCQ是等边三角形，所以?PCQ?60?， .................. 9分 又因为O是圆C上的点，所以?POQ??PCQ?30?…………………10分 223.解：?存在实数x0使f?x0??2成立，?f?x?min?2

?2x?k?2x?2x?k?2x?2x?k?2x?k，则f?x?min?k?2

解得?2?k?2，k?N，?k?1…………………5分 (II)证明：由（1）知，f?x??2x?1?2x，?m??11，n?， 22?f?m??2m?1?2m?2m?1?2m?4m?1，同理，f?n??4n?1 f?m??f?n??10，?4m?4n?2?10，即m?n?3

?9nm?16911?91?1?9nm?1???????m?n???10?????10?2???

??mn3?mn?mn?33?mn?3?9nm93?，又m?n?3，得m?，n?时取等号.…………………10分 mn44当且仅当

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