初中数学奥林匹克竞赛试卷七

初中数学奥林匹克竞赛试卷七

二、填空题

1、 方程x2+bx+1=0与方程x2-x-b=0恰有一个公共根，则b=_________。

3x2?xy?y22、 若实数x，y满足x1?x?y?2?1?x，则2=________. 2x?xy?y3、 设a为实数.已知二次函数y=x2-4ax+5a2-3a的最小值为m，则m的最小值为_______. 4、 将一个三位数的数字重新排列所得的最大三位数减去最小的三位数正好等于原数，这

个三位数是_______.

5、 n是自然数，19n+14与10n+3都是某个大于1的自然数d的倍数，则d=_______。 6、 已知996x2+1993x+997=0，则1992x+1993=________.

7、 二次函数y=ax2+bx（ab?0）当x取x1，x2（x1?x2）时，函数值相等，那么当x取x1+x2

时，函数值为_______.

8、 某次考试有10道填空题，填对得10分，填错得零分.考试结果是最低50分，最高100分，

平均78分.若已知

则得满分的有________人.

4x?1AB??9、 如果2，则A=______，B=______.

x?7x?10x?5x?210、 若方程x|x|-2x+1=a恰有一个实数根，则a的值为______. 11、 已知以x12，x22为两根的二次方程是x2-5x+4=0，则以x1，x2为两根的二次方程是_____。 12、 若a是二次方程3x2-2x-663=0的一个实根，则（3a3-66413、 已知x?1a-443）3=_________. 313?2,y?13?2，那么x2 + y2的值为 ．

14、 已知ab≠0，a2 + ab-2b2 = 0，那么

2a?b的值为 ． 2a?b15、 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两 台

抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机 16、 若自然数n能使[n]整除n，则的所有表达式为________。

17、 二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分如图所示，则a的取值范围是________。 18、 设27?102=a+b，其中a为正整数，b在0、1之间。则

19、 多项式x2-axy-by2-5x+y+6的一个因式是x+y-2。则a+b的值为________。

20、 某商场有一部自动扶梯匀速由下而上运动，甲、乙二人都急于上楼办事，因此在乘扶

梯的同时匀速登梯，甲登了55级后到达楼上，乙登梯速度是甲的2倍（单位时间乙登楼梯级数是甲的2倍），他登了60级后到达楼上。那么，由楼下到楼上自动扶梯级数为______. 21、 实数a、b满足a2?2a?a?36?12a?a2?10?|b?3|?|b?2|。则

a2+b2的最大值为________.

a?b?_____。 a?b?1?x??x?y?3?3,?y22、 方程组?的解集是________。

1?2x?y??6?y?23、 分解因式：3a2-7a-6=_____.

a3b3c4ac?_____. 24、 若?,?,?，则2b4c2d5b?d225、 若方程（x-a）（x-b）=M的两个根为p、q，则方程（x-p）（x-q）= -M的两个根的

平方和为________.

4?7x2?_____. 26、 已知x=.则43x?x2?127、 方程y3=x2+x的整数解（x，y）=_________.

29、 能被30整除，且恰有30个不同正约数的自然数共有_____个。 30、 设a为整数，若存在整数b和c，使

（x+a）（x-15）-25=（x+b）（x+c） 则a可取的值为_________.

31、 已知a?355,b?444,c?533,则有（ ）。

（A）a

?xy?yz?6332、 方程组?的正整数解的组数是（ ）。

?xy?yz?23（A）1 (B)2 (C)3 (D)4 33、 函数y?2x2?x?1的最小值是________.

34、 如果不等式|x?a|?|x|<2 没有实数解，则实数a的取值范围是__________.

35、 二次方程2mx2?2x?3m?2?0的一个实根大于1，另一个根小于1，则m的取值范围

是________ .

136、 已知xn+2n=1.则x5n+xn+2=_______.

x37、 一种游戏，每一局胜则得8分，平则得5分，负则得零分.那么，无论比赛多少局不能达

到的分数共有______个.

38、 已知二次函数y=x2+（1-sin?）x+2ksin，0????90?,k?0，则该函数的图象在x轴上

所截的弦长的最大值为______.

1?x2?x4?1?x239、 若x?0，则的最大值是________.

x40、 在2x中，x为分母取1994的既约真分数，则所有这种指数幂的积为______. 41、 若b-ab=1，c-bc=1，则a -ca=__________.

42、 把1，2，3，4，…，2n这2n个自然数随意放置在一个圆周上。据统计，相邻3数中3

个全为奇数的有a组，恰好2个为奇数的有b组，恰好1个为奇数的有c组，全都不是

奇数的有d组。若a-d?0，则

43、 如果对于任意实数x，二次三项式k-3-x-k2x2的值的符号保持不变，则k的取值范围是____。

44、 已知a为整数，|4a2-12a-27|是质数，那么，a的所有可能值的和为_______。 45、 若x+y=35?2，x-y=32?5，则xy=____.

11346、 若y、z均为质数，x=yz，且x、y、z满足??。则1998x+5y+3z=_____.

xyzb?c=________。 a?d47、 黑板上写有1，2，3，…，1997，1998这1998个自然数，对它们进行操作。每次操作

规则如下：檫掉写在黑板上的三个数后，再添写上所檫掉三个数之和的个位数字，例如：檫掉5，13，和1998后，添加上6；若再檫掉6，6，38，添加上0，等等。如果经过998次操作后，发现黑板上剩下两个数，一个是25，则另一个是____. 48、 化简

8?215?10?61998

5?3?249、 1999的个位数字是_________.

11150、 x、y是正整数，且满足??。则y的最大值为_______.

xy10051、 已知b、c为方程x2+bx+c=0的两个根，且c≠0.则（b，c）=_________.

x?6?3y,?52、 实数x、y、z满足?则x2y+z的值为_______. 2?x?3y?2xy?2z?0.53、 正数x1，x2，x3，x4，x5，x6同时满足

x2x3x4x5x6xxxxxxxxxx?1,13456?2,12456?3, x1x2x3x1x2x3x5x6xxxxxxxxxx?4,12346?6,12345?9. x4x5x6则x1+x2+x3+x4+x5+x6的值为_________.

54、 用数码1，2，3，4组成的没有重复数字的四位数中，能被11整除的共有_____个. 55、 某学校中，学生比教师多600人，女学生人数是女教师人数的5倍，男学生人数是男

教师人数的n倍，其中n为自然数，且6≤n≤12.若男教师比女教师多20人，则该校师生共_________人.

56、 学生甲、乙、丙三人竞选学校的学生会主席，选举收到有效选票1500张，统计其中1000

张选票的结果是：甲350票，乙370票，丙280票，则甲在剩下的500张选票中至少再得____票，才能保证以得票最多当选该校的学生会主席。

110?57、 方程x?的自然数解（x，y，z）=_________. y?17z的结果是_______.

?(x2?3x)(x?y)?40,58、 方程组?的解（x，y）=______. 2?x?4x?y?1459、 两个电脑仓库供应三所学校电脑，甲仓库有12台，乙仓库有20台；A校需9台，B校

需15台，C校需8台.已知甲仓库到A、B、C三校的距离依次为10公里，5公里，6公里；乙仓库到A、B、C三校的距离依次为4公里，8公里，15公里.若每台每公里的运费为常数a元， 则甲仓库供应给A校_______台，B校_____台，C校_____台，使总运输费用最省.

160、 设x为正实数，则函数y?x2?x?的最小值是_________.

x61、 已知数a1,a2,???a9都只能取两个不同的值那么，表达式

a1a5a9?a1a6a8?a2a6a7?a2a4a9?a3a4a8?a3a5a7的最大值是__________.

62、 已知|xy?9| 与x2?xy?y2 互为相反数，则|x?y|?_______. 63、

3?5?2715?21?35?522化简后等于______.

a2?b2的值为_______. 64、 若0?a?b??2ab,代数式aba65、 记a 为3的小数部分，b是2的小数部分，的整数部分为__________.

(a?b)b66、 1993?1995?1997?16 =_____________.

y,则a的最大值是________.

67、 设a,b为不相等的实数，且a2?2a?5,b2?2b?5,则a2b?ab2=__________. 68、 若自然数a,x,y满足a?26?x?69、 已知实数x,y,z满足x?y?5,z2?xy?y?9,那么x?2y?3z?__________. 70、 有一个四位数恰好是一个完全平方数，它的千位数字比百位数字多1，比十位数字少1，

比个位数字少2，这个四位数是_________。 71、 设x为实数，则函数y?8x?x2?14x?x2?48的最大值是_________。

二、填空题 1、 2

解： 已知两方程相减，消去x2，得（b+1）x= -（b+1）.若b= -1，则两个公共根矛盾；若b??1，则x= -1，代入第二个方程可得b=2. 2、

1 3解：由已知，可得（x-1）1?x?y?2?0，从而x=1，y=2，代入得

3x2?xy?y23?2?41??. 221?2?43x?xy?y 93、

4解：由y=（x-2a）2+（a2-3a）得当x=2a时，有最小值m=a2-3a=（a-)2?小值为4、 495

329，从而m的最49. 4___

_____

__________bc最大，解:设这个三位数的数字为a，b，c，若a则cba最小，从而有abc?cba=（10a2+10b+c）

-（102c+10b+a）=99（a-c）。由此知所求的三位数是99的倍数，而这样的三位数198，297，396，495，594，693，792，891中仅有495符合题意. 5、 83

解：由19n+14与10n+3都是d的倍数知10（19n+14）-19（10n+3）=83仍是d的倍数，但83是质数，d?1，故只有d=83. 6、 -1

解:观察知x1= -1是方程的根，再据韦达定理x2=?时，1992x+1993= -1. 7、 0

2??ax1?bx1??c解:设x取x1，x2时，函数值为-c，则有?2即x1，x2是二次方程ax2+bx+c=0的两个

??ax2?bx2??c,bbb不等跟。x1+x2= -，从而a（x1+x2）2+b（x1+x2）=a（-）2+b（-）=0本题的几何意义如

aaa997997.当x1= -1时，1992x+1993= -1.当x2=?996996图，x1与x2关于抛物线的对称轴对称，0与（x1+x2）也关于对称轴对称，故x取（x1+x2）与x

取0的函数值相等.

8、 9

解:设满分的有x人，则50?5+60?6+70?7+80?15+90?7+100x=78?（5+6+8+15+7+x）， 即 3000+100x=3198+78x，得x=9（人）.

9、 7, -3

4x?1(A?B)x?(2A?5B)?解:由已知有2得4x+1?（A+B）x-（2A+5B） ①

x?7x?10x2?7x?10

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