2016年石家庄市高中毕业班文科一模数学试卷

2016年石家庄市高中毕业班文科一模数学试卷

一、选择题（共12小题；共60分） 1. 已知 i 为虚数单位，则复数

A. 2+i A. 0,1,2

1?3i1+i

= ??

C. ?1+2i C. ?

D. ?1?2i D. 1,2

B. 2?i B. 0,1

2. 已知集合 ??= 0,1,2 ，??= ?? ??=3?? ，则 ??∩??= ??

3. 命题 ??：若 sin??>sin??，则 ??>??；命题 ??：??2+??2≥2????，下列命题为假命题的是 ??

A. ?? 或 ??

12

B. ?? 且 ??

12

C. ?? D. ???

4. 设函数 ?? ?? 为偶函数，当 ??∈ 0,+∞ 时，?? ?? =log2??，则 ?? ? 2 = ??

A. ? B.

π2

C. 2 D. ?2

5. 已知 cos??=??，??∈??，??∈ ,π ，则 sin π+?? = ??

A. ? 1???2

B. 1???2

C. ???

D. ± 1???2

π

π

6. 函数 ?? ?? =tan???? ??>0 的图象的相邻两支截直线 ??=2 所得线段长为 ，则 ?? 的值是

26

??

A. ? 3 B. 33

C. 3 D. 1

7. 执行如图所示的程序框图，如果输入的依次是 1，2，4，8，则输出的 ?? 为 ??

A. 2

B. 2 2

C. 6

????

1

1

D. 4

8. 在棱长为 3 的正方体 ???????????1??1??1??1 中，?? 在线段 ????1 上，且 ????=2，?? 为线段 ??1??1 上的动点，则三棱锥 ????????? 的体积为 ??

A. 1

C. 与 ?? 点的位置有关

B. 2 D. 2

93

9. 已知 ??，??，?? 三地在同一水平面内，?? 地在 ?? 地正东方向 2 km 处，?? 地在 ?? 地正北方向 2 km 处，某测绘队员在 ??，?? 之间的直线公路上任选一点 ?? 作为测绘点，用测绘仪进行测绘．?? 地为

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一磁场，距离其不超过 3 km 的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是 ??

A. 1?

2 2

2

21

3 2

B. 2 C. 2

??2??2D. 1?

?

??2??210. 已知抛物线 ??=2???? ??>0 的焦点 ?? 恰好是双曲线 =1 ??>0,??>0 的一个焦点，两

条曲线的交点的连线过点 ??，则双曲线的离心率为 ??

A. 2

B. 3

C. 1+ 3 D. 1+ 2

11. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ??

A. 64

B. 72

C. 112 D. 80

ln?? ,??>012. 已知函数 ?? ?? = 2，若关于 ?? 的方程 ??2 ?? ????? ?? +??=0 ??,??∈?? 有 8

??+4??+1,??≤0

个不同的实数根，则 ??+?? 的取值范围为 ??

C. 0,3

D. 0,3

A. ?∞,3 B. 0,3

二、填空题（共4小题；共20分）

的夹角为 2π， ?? =1，则 ?? = ______． 13. 已知平面向量 ?? ，?? =2， ?? +??3

14. 已知等差数列 ???? 是递增数列，???? 是 ???? 的前 ?? 项和，若 ??2，??4 是方程 ??2?6??+5=0 的

两个根，则 ??6 的值为______．

??+???3≥0,

15. 若不等式组 ??≤????+3, 表示的区域为一个锐角三角形及其内部，则实数 ?? 的取值范围是

0≤??≤3

______． 16. 设过曲线 ?? ?? =?e?????（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ??1，总存在过曲线

?? ?? =????+2cos?? 上一点处的切线 ??2，使得 ??1⊥??2，则实数 ?? 的取值范围为______．

三、解答题（共8小题；共104分）

17. 设数列 ???? 的前 ?? 项和为 ????，??1=1，????+1=??????+1 ??∈???,??≠?1 ，且 ??1，2??2，??3+3

成等差数列 ???? 的前三项．

（1）求数列 ???? ， ???? 的通项公式； （2）求数列 ???????? 的前 ?? 项和．

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18. 某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润 50 元．若供大于求，剩余

商品全部退回，但每件商品亏损 10 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利润 30 元．

（1）若商店一天购进该商品 10 件，求当天的利润 ??（单位：元）关于当天需求量 ??（单位：件，

??∈??）的函数解析式；

（2）商店记录了 50 天该商品的日需求量 ??（单位：件），整理得下表：

日需求量8频数

101112

若商店一天购进 10 件该商品，以 50 天记录的各需求量的频

91115105

9

率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在 400,550 内的概率．

19. 如图，在四棱锥 ??????????? 中，底面 ???????? 为梯形，∠??????=∠??????=90°，????=2 2，

????=????=????= 2，∠??????=∠??????=??．

（1）试在棱 ???? 上确定一个点 ??，使得 ????∥平面??????，并求出此时 ???? 的值；

????

（2）当 ??=60° 时，求证：????⊥平面??????．

20. 在平面直角坐标系 ?????? 中，一动圆经过点 1,0 且与直线 ??=?1 相切，若该动圆圆心的轨迹为

曲线 ??．

（1）求曲线 ?? 的方程；

（2）已知点 ?? ??,0 ，倾斜角为 的直线 ?? 与线段 ???? 相交（不经过点 ?? 或点 ??）且与曲线 ?? 交

4π

于 ??，?? 两点，求 △?????? 面积的最大值及此时直线 ?? 的方程．

21. 已知函数 ?? ?? =2 ??+1 ln???????，?? ?? =2??2???．

（1）若函数 ?? ?? 在定义域内为单调函数，求实数 ?? 的取值范围； （2）证明：若 ?1

?? ??1 ??? ??2 ?? ??1 ??? ??2

1

>?1．

22. 如图，已知 ⊙?? 和 ⊙?? 相交于 ??，?? 两点，???? 为 ⊙?? 的直径，延长 ???? 交 ⊙?? 于点 ??，点

（1）求证：?????????=?????????；

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（2）求证：????=????2．

??=2cos??,23. 已知曲线 ??1 的参数方程为 （?? 为参数），以坐标原点 ?? 为极点，?? 轴的正半轴为极

??= 3sin??

轴建立极坐标系，曲线 ??2 的极坐标方程为 ??=2． （1）分别写出 ??1 的普通方程，??2 的直角坐标方程；

（2）已知 ??，?? 分别为曲线 ??1 的上、下顶点，点 ?? 为曲线 ??2 上任意一点，求 ???? + ????

的最大值．

24. 已知函数 ?? ?? = ??+1 + ???3 ??? 的定义域为 ??．

（1）求实数 ?? 的取值范围；

（2）若 ?? 的最大值为 ??，当正数 ??，?? 满足 3??+??+??+2??=?? 时，求 7??+4?? 的最小值．

2

1

????

????2

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答案

第一部分

1. D 2. D 3. B 6. C 7. B 8. B 11. D 12. C 第二部分 13. 3 14. 24 15. 0,1 16. ?1,2 第三部分

17. （1） 因为 ????+1=??????+1 ??∈??? ， 所以 ????=???????1+1 ??≥2 ， 所以 ????+1?????=??????，

即 ????+1= ??+1 ???? ??≥2 ，??+1≠0， 又 ??1=1，??2=????1+1=??+1，

所以数列 ???? 是首项为 1，公比为 ??+1 的等比数列， 所以 ??3= ??+1 2，

所以 4 ??+1 =1+ ??+1 2+3， 整理得 ??2?2??+1=0，解得 ??=1． 所以 ????=2???1，????=1+3 ???1 =3???2． （2） 由（1）可得 ????????= 3???2 ?2???1，

所以 ????=1?1+4?21+7?22+?+ 3???2 ?2???1,???①

所以 2????=1?21+4?22+7?23+?+ 3???5 ?2???1+ 3???2 ?2??,???② ①?② 得

=1?1+3?21+3?22+?+3?2???1? 3???2 ?2??

2? 1?2???1

=1+3?? 3???2 ?2??,

1?2整理得 ????= 3???5 ?2??+5．

?????

18. （1） 当日需求量 ??≥10 时，

利润为 ??=50×10+ ???10 ×30=30??+200；

当日需求量 ??<10 时，利润为 ??=50×??? 10??? ×10=60???100．

30??+200,??≥10,??∈??所以 ?? 关于日需求量 ?? 的函数关系式为 ??= ．

60???100,??<10,??∈??

（2） 50 天内有 9 天获得的利润为 380 元，有 11 天获得的利润为 440 元，有 15 天获得的利润为 500 元，有 10 天获得的利润为 530 元，有 5 天获得的利润为 560 元．

若利润在 400,550 内时，日需求量为 9 件、 10 件、 11 件该商品，其对应的频数分别为 11 天、 15 天、 10 天，

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4. B 9. A 5. A 10. D

则利润在 400,550 内的概率为 ??=

11+15+10

50

=50=25．

3618

19. （1） 连接 ????，???? 交于点 ??，在平面 ?????? 中作 ????∥???? 交 ???? 于点 ??， ?????平面??????，?????平面??????， 所以 ????∥平面??????． 因为 ????∥????， 所以 ????=????=2． 因为 ????∥????， 所以 ????=????．

此时，????=????=????=2．

（2） 取 ???? 的中点 ??，连接 ????，则四边形 ???????? 为正方形， 连接 ????，???? 交于点 ??，连接 ????， ????=????=????，∠??????=∠??????=60°， 所以 △?????? 和 △?????? 都是等边三角形， 因此 ????=????=????， 又因为 ????=????， 所以 △??????≌△??????， 所以 ∠??????=∠??????=90°，

同理得 △??????≌△??????，∠??????=90°， 所以 ????⊥平面??????，

所以 ????⊥????．∠??????=∠??????=90°，????=2????=2????=2 2， 可得 ????=2，????=2， 所以 ????2+????2=????2，

所以 ????⊥????，又因为 ????∩????=??， 所以 ????⊥平面??????．

20. （1） 由题意可知圆心到 1,0 的距离等于到直线 ??=?1 的距离， 由抛物线的定义可知圆心的轨迹方程为 ??2=4??．

（2） 由题意可设 ?? 的方程为 ??=?????，其中 0

??=?????,

消去 ?? 得 ??2? 2??+4 ??+??2=0,???① 由方程组 2

??=4??

当 00 成立． 设 ?? ??1,??1 ，?? ??2,??2 ，则 ??1+??2=4+2??，??1???2=??2， 所以 ???? = 1+??2 ??1???2 =4 2+2??． 又因为点 ?? 到直线 ?? 的距离为 ??=

5??? 2????

????

????

1

????

????

????

????

1

，

所以 ??△??????=2 5??? 1+??=2 ??3?9??2+15??+25． 令 ?? ?? =??3?9??2+15??+25 0

则 ??? ?? =3??2?18??+15=3 ???1 ???5 0

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当 ??=1 时，?? ?? 有最大值 32，

故当直线 ?? 的方程为 ??=???1 时，△?????? 的面积的最大值为 8 2． 21. （1） 函数 ?? ?? =2 ??+1 ln??????? 的定义域为 0,+∞ ，??? ?? =令 ?? ?? =?????+2 ??+1 ，

因为函数 ??=?? ?? 在定义域内为单调函数，即 ??? ?? ≥0 或 ??? ?? ≤0 恒成立，即 ?? ?? =?????+2 ??+1 ≥0 恒成立或 ?? ?? =?????+2 ??+1 ≤0 恒成立，

当 ??=0 时，?? ?? =2>0，??? ?? >0，??=?? ?? 在定义域内为单调增函数；

当 ??>0 时，?? ?? =?????+2 ??+1 为减函数，只需 ?? 0 =2 ??+1 ≤0，即 ??≤?1，不符合要求； 当 ??<0 时，?? ?? =?????+2 ??+1 为增函数，只需 ?? 0 =2 ??+1 ≥0 即可，即 ??≥?1，解得 ?1≤??<0，此时 ??=?? ?? 在定义域内为单调增函数； 综上所述 ??∈ ?1,0 ．

（2） ?? ?? =2??2???=2 ???1 2?2 在区间 1,+∞ 单调递增，不妨设 ??1>??2>1，则 ?? ??1 >?? ??2 ， 则

?? ??1 ??? ??2 ?? ??1 ??? ??2

1

1

1

2 ??+1 ??

?????+2 ??+1

??

???=，

>?1 等价于 ?? ??1 ??? ??2 >? ?? ??1 ??? ??2 ，等价于 ?? ??1 +?? ??1 >?? ??2 +?? ??2 ．

1

设 ?? ?? =?? ?? +?? ?? =2??2+2 ??+1 ln??? ??+1 ??，则

??? ?? =??+

2 ??+1

? ??+1 ??2 ??+1

? ??+1 ??2

≥2 ???

=2? ??+1? 2 .

由于 ?10，即 ?? ?? 在 1,+∞ 上单调递增，

从而当 1?? ??2 +?? ??2 成立，命题得证！ 22. （1） 连接 ????，????， ???? 为 ⊙?? 的直径， 所以 ∠??????=90°， 所以 ???? 为 ⊙?? 的直径， 所以 ∠??????=∠??????=90°． 因为 ∠??????=∠??????， 所以 ∠??????=∠??????， 因为 ?? 为弧 ???? 的中点， 所以 ∠??????=∠??????，

所以 ∠??????=∠??????，∠??????=∠??????， 所以 △??????∽△??????， 所以

????????

=

????????

，

所以 ?????????=?????????．

（2） 由（1）知 ∠??????=∠??????，∠??=∠??， 所以 △??????∽△??????，

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所以 ????2=?????????， 由（1）知 所以

????????

????2????2=

????2????2，

=

????2????2．

??24

23. （1） 曲线 ??1 的普通方程为

+

??23

=1，

曲线 ??2 的普通方程为 ??2+??2=4．

??=2cos??, （2） 由曲线 ??2:??2+??2=4，可得其参数方程为

??=2sin??,所以 ?? 点坐标为 2cos??,2sin?? ， 由题意可知 ?? 0, 3 ，?? 0,? 3 ． 因此

???? + ???? = 2cos?? 2+ 2sin??? 3 + 2cos?? 2+ 2sin??+ 3

= 7?4 3sin??+ 7+4 3sin??,

???? + ???? 2=14+2 49?48sin2??．

所以当 sin??=0 时， ???? + ???? 2 有最大值 28， 因此 ???? + ???? 的最大值为 2 7． 24. （1） 因为函数 ?? ?? 的定义域为 ??， 所以 ??+1 + ??+3 ???≥0 恒成立，

设函数 ?? ?? = ??+1 + ???3 ，则 ?? 不大于函数 ?? ?? 的最小值， 又 ??+1 + ???3 ≥ ??+1 ? ???3 =4， 即 ?? ?? 的最小值为 4，所以 ??≤4． （2） 由（Ⅰ）知 ??=4， 所以

7??+4??

===

7??+4?? ?

+??+2?? 3??+??

2

12

2

421

6??+2??+??+2?? ? + 3??+????+2??5+

2 3??+?? ??+2??

+

2 ??+2?? 3??+??

4

5+4

≥

49=.43

9

4当且仅当 ??+2??=3??+??，即 ??=2??=10 时，等号成立． 所以 7??+4?? 的最小值为 ．

4

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