冲刺2010—2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)2

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将y??1代入y??x?1，得：x?2．

·································································································· 11分 ?1)， ·?P点的坐标为(2，当x?2时，y??x?x?1??2?2?1??1，

所以，P点在抛物线y??x?x?1上． ·········································································· 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应

的分数．

18、（2009年山东临沂市）26．（本小题满分13分） 如图，抛物线经过A(4，，0)B(1，，0)C(0，?2)三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM?x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

y 222O B 1 ?2 4 A x C （第26题图） 226．解：（1）?该抛物线过点C(0，?2)，?可设该抛物线的解析式为y?ax?bx?2． 将A(4，0)，B(1，0)代入，

1?a??，?16a?4b?2?0，??2得?解得?

a?b?2?0.5??b?.??215···························································· （3分） ?此抛物线的解析式为y??x2?x?2． ·

22（2）存在． ···················································································································· （4分）

如图，设P点的横坐标为m， 则P点的纵坐标为?当1?m?4时，

6

125m?m?2， 22y B O 1 ?2 D P A M E C 4 x （第26题图） 课件园 [ http://www.kejianyuan.com ]

15AM?4?m，PM??m2?m?2．

22又??COA??PMA?90°，

AMAO2??时， ?①当

PMOC1△APM∽△ACO，

即4?m?2???125?m?m?2?．

2?2?解得m1?2，m2?4（舍去），?P(2，······························································· （6分） 1)． ·②当

AMOC115??时，△APM∽△CAO，即2(4?m)??m2?m?2． PMOA222解得m1?4，m2?5（均不合题意，舍去）

······················································································· （7分） 1)． ·?当1?m?4时，P(2，类似地可求出当m?4时，P(5，······································································· （8分） ?2)． 当m?1时，P(?3，?14)．

综上所述，符合条件的点P为(2，······························· （9分） 1)或(5，?14)． ·?2)或(?3，（3）如图，设D点的横坐标为t(0?t?4)，则D点的纵坐标为?过D作y轴的平行线交AC于E． 由题意可求得直线AC的解析式为y?125t?t?2． 221····················································· （10分） x?2． ·

2?1??E点的坐标为?t，t?2?．

?2?151?1?·················································· （11分） ?DE??t2?t?2??t?2???t2?2t． ·

2222??1?1??S△DAC????t2?2t??4??t2?4t??(t?2)2?4．

2?2??当t?2时，△DAC面积最大．

················································································································· （13分） ?D(2，1)． ·

7

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19、(2009年山东省济宁市)26. （12分）

在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点.现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线

y?x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y?x于点M，BC边交x轴于点N（如图）.

（1）求边OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形 OABC旋转的度数；

（3）设?MBN的周长为p，在旋转正方形OABC 的过程中，p值是否有变化？请证明你的结论.

y y?x A M B O C (第26题)

N x

26.（1）解：∵A点第一次落在直线y?x上时停止旋转，

∴OA旋转了45.

045??22??.……………4分 ∴OA在旋转过程中所扫过的面积为

3602（2）解：∵MN∥AC，

∴?BMN??BAC?45?,?BNM??BCA?45?. ∴?BMN??BNM.∴BM?BN. 又∵BA?BC，∴AM?CN.

又∵OA?OC,?OAM??OCN,∴?OAM??OCN. ∴?AOM??CON.∴?AOM?1(90??45????????. 2∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为

8

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45?????????????.……………………………………………8分

（3）答：p值无变化.

证明：延长BA交y轴于E点，则?AOE?450??AOM，

?CON?900?450??AOM?450??AOM，

∴?AOE??CON.

又∵OA?OC，?OAE?180?90?90??OCN. ∴?OAE??OCN. ∴OE?ON,AE?CN.

又∵?MOE??MON?45,OM?OM,

∴?OME??OMN.∴MN?ME?AM?AE.

∴MN?AM?CN，

∴p?MN?BN?BM?AM?CN?BN?BM?AB?BC?4. ∴在旋转正方形OABC的过程中，p值无变化. ……………12分

y y?x E A M B 0000

O C N x

（第26题）

20、（2009年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点D(0，73)，且顶点C的横

9坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.

⑴求二次函数的解析式；

⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；

⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

9

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25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)+k

∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，73)

9∴y=a(x-4)+k 73?16a?k ………………①

92

2

又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0) ∴0=9a+k ………………② 由①②解得a=3，k=－3

9∴二次函数的解析式为：y=3(x-4)2－3

9⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB

∴PA+PD=PB+PD≥DB

∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M

∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ∴△BPM∽△BDO

73?3PMBM3 9∴ ∴PM???DOBO73∴点P的坐标为(4，3)

3⑶由⑴知点C(4，?3)，

又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=3，

310

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15、（2009年烟台市）26．(本题满分14分)

如图，抛物线y?ax?bx?3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点

2(2，?3a)，对称轴是直线x?1，顶点是M．

（1） 求抛物线对应的函数表达式；

（2） 经过C,M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使

以点P请求出点P的坐标；，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，

若不存在，请说明理由；

（3） 设直线y??x?3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重

合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；

（4） 当E是直线y??x?3上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出

结论）．

26．（本题满分14分）

y A O 1 ?3 C B x M （第26题图）

??3a?4a?2b?3，?解：（1）根据题意，得?b················ 2分

??1.??2a解得?y D E N ?a?1，

b??2.?A O ········· 3分 ?抛物线对应的函数表达式为y?x2?2x?3． ·（2）存在．

在y?x?2x?3中，令x?0，得y??3．

2，x2?3． 令y?0，得x?2x?3?0，?x1??121 N x F C P M

（第26题图）

?A(?1，0)，B(3，0)，C(0，?3)．

1

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又y?(x?1)?4，?顶点M(1············································································· 5分 ，?4)． ·容易求得直线CM的表达式是y??x?3． 在y??x?3中，令y?0，得x??3．

··································································································· 6分 ?N(?3，0)，?AN?2． ·在y?x?2x?3中，令y??3，得x1?0，x2?2．

22?CP?2，?AN?CP．

···································· 8分 ?3)．·?AN∥CP，?四边形ANCP为平行四边形，此时P(2，（3）△AEF是等腰直角三角形．

理由：在y??x?3中，令x?0，得y?3，令y?0，得x?3．

3)，B(3，0)． ?直线y??x?3与坐标轴的交点是D(0，························································································ 9分 ?OD?OB，??OBD?45°． ·

又?点C(0，······················································ 10分 ?3)，?OB?OC．??OBC?45°． ·由图知?AEF??ABF?45°，?AFE??ABE?45°． ············································· 11分

··································· 12分 ??EAF?90°，且AE?AF．?△AEF是等腰直角三角形． ·（4）当点E是直线y??x?3上任意一点时，（3）中的结论成立． ···························· 14分

16、（2009年山东省日照）24． (本题满分10分)

已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）

A D

A G E G E

F 2 B

C F 第24题图①

B

第24题图②

C B

第24题图③ E F D

A D

C 课件园 [ http://www.kejianyuan.com ]

24．（本题满分10分）

解：（1）证明：在Rt△FCD中， ∵G为DF的中点，

∴ CG= FD．………………1分 同理，在Rt△DEF中， EG= FD． ………………2分 ∴ CG=EG．…………………3分

（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点． 在△DAG与△DCG中，

∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， ∴ △DAG≌△DCG．

∴ AG=CG．………………………5分 在△DMG与△FNG中，

∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG

在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △AMG≌△ENG． ∴ AG=EG．

∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG， 连接MF，ME，EC， ……………………4分 在△DCG 与△FMG中，

∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，

3

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∴△DCG ≌△FMG．

∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5分 ∴ ．

在Rt△MFE 与Rt△CBE中， ∵ MF=CB，EF=BE， ∴△MFE ≌△CBE．

∴ ．…………………………………………………6分

∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分 ∴ △MEC为直角三角形． ∵ MG = CG， ∴ EG= MC．

∴ ．………………………………8分 （3）（1）中的结论仍然成立，

即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分

17、（2009年潍坊市）24．（本小题满分12分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y?ax?bx?c与y轴交于点D，与直线y?x交于点

2M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连结DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长． （3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．

y D E C F x N A O B

24．（本小题满分12分）

4

M 课件园 [ http://www.kejianyuan.com ]

解：（1）?圆心O在坐标原点，圆O的半径为1，

0)B(0，?1)、C(1，、0)D(01)， ?点A、B、C、D的坐标分别为A(?1，、?抛物线与直线y?x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C，

······································································································· 2分 ?1)、N(11)，． ·?M(?1，，、M(?1，?1)、N(11)，的坐标代入 ?点D、M、N在抛物线上，将D(01)?c?1?a??1??y?ax2?bx?c，得：??1?a?b?c 解之，得：?b?1

?1?a?b?c?c?1??············································································ 4分 ?抛物线的解析式为：y??x2?x?1． ·

1?5?2（2）?y??x?x?1???x???

2?4?2?抛物线的对称轴为x?1， 2y D E C F x P N 115?OE?，DE??1?． ······················ 6分

242连结BF，?BFD?90°，

?△BFD∽△EOD，?DEOD， ?DBFDA M 5，OD?1，DB?2， 又DE?2?FD?45， 5O B ?EF?FD?DE?45535??．············································································ 8分 5210（3）点P在抛物线上． ········································································································ 9分 设过D、C点的直线为：y?kx?b，

将点C(1，、0)D(01)，的坐标代入y?kx?b，得：k??1，b?1，

····························································································· 10分 ?直线DC为：y??x?1． ·

过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为y??1，

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∴∠ACM=60，∵AC=BC，∴∠ACB=120 ①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120，则∠QBN=60 ∴QN=33，BN=3，ON=10， 此时点Q(10，33)，

如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，33) ②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB， 此时点Q的坐标是(4，?3)，

经检验，点(10，33)与(-2，33)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，33)或(-2，33)或(4，?3)．

o

o

oo

21、（2009年四川南充市）21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(3， 3)．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；

（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点B(6，m)，求m的值和这个一次函数的解析式；

（3）第（2）问中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；

（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积S1与四边形OABD的面积S满足：S1?2S？若存在，求点E的坐标； 311

y 课件园 [ http://www.kejianyuan.com ] 3 A B O 3 C 6 x 若不存在，请说明理由．

21．解：（1）设正比例函数的解析式为y?k1x(k1?0)， 因为y?k1x的图象过点A(3，3)，所以

D 3?3k1，解得k1?1．

这个正比例函数的解析式为y?x． ············································································· （1分） 设反比例函数的解析式为y?因为y?k2(k2?0)． xk2的图象过点A(3，3)，所以 x3?k2，解得k2?9． 39． ············································································ （2分） x这个反比例函数的解析式为y?（2）因为点B(6，m)在y?9的图象上，所以 xm?93?3?······················································································ （3分） ?，则点B?6，?． ·

62?2?设一次函数解析式为y?k3x?b(k3?0)． 因为y?k3x?b的图象是由y?x平移得到的， 所以k3?1，即y?x?b．

又因为y?x?b的图象过点B?6，?，所以

??3?2?39?6?b，解得b??， 2212

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9············································································· （4分） ?一次函数的解析式为y?x?． ·2（3）因为y?x?99??的图象交y轴于点D，所以D的坐标为?0，??．

2?2?2设二次函数的解析式为y?ax?bx?c(a?0)．

因为y?ax?bx?c的图象过点A(3，?3)、B?6，?、和D?0，2??3?2???9??， 2??1??9a?3b?c?3，a??，?2??3?所以?36a?6b?c?， ···················· （5分） 解得?b?4，

2??99?c??.?c??.2???2这个二次函数的解析式为y??129························································· （6分） x?4x?．·

22y 3 A E O 3 B C 6 x 9?9?（4）?y?x?交x轴于点C，?点C的坐标是?，0?，

22??151131如图所示，S??6??6?6???3??3?3

2222299?45?18??

4281?． 4281227假设存在点E(x0，y0)，使S1?S?． ??3432D ?四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，?y0?0，

?S1?S△OCD?S△OCE

19919??????y0 22222819??y0． 84819273，?y0?． ··················································································· （7分） ??y0?8422?E(x0，y0)在二次函数的图象上，

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1293??x0?4x0??．

222解得x0?2或x0?6．

当x0?6时，点E?6，?与点B重合，这时CDOE不是四边形，故x0?6舍去，

??3?2??3?···························································································· （8分） ?点E的坐标为?2，?． ·2??22、（2009年四川凉山州）26．如图，已知抛物线y?x?bx?c经过A(1，0)，B(0，2)两点，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；

（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△NDD1面积的2倍，求点N的坐标．

22y B O A D （第26题）

x 26．解：（1）已知抛物线y?x?bx?c经过A(1，，0)B(0，2)，

?0?1?b?c?b??3?? 解得? ?2?0?0?c?c?2········································································ 2分 ?所求抛物线的解析式为y?x2?3x?2． ·（2）?A(1，0)，B(0，2)，?OA?1，OB?2

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可得旋转后C点的坐标为(31)····························································································· 3分 ， ·当x?3时，由y?x?3x?2得y?2， 可知抛物线y?x?3x?2过点(3，2)

22?将原抛物线沿y轴向下平移1个单位后过点C．

································································· 5分 ?平移后的抛物线解析式为：y?x2?3x?1． ·

2（3）?点N在y?x?3x?1上，可设N点坐标为(x0，x0?3x0?1)

223?53?y 将y?x?3x?1配方得y??x???，?其对称轴为x?． ································· 6分 2?42?2①当0?x0?3时，如图①， 2B B1 O A D N D 1图①

C x ?S△NBB1?2S△NDD1

11?3???1?x0?2??1???x0? 22?2??x0?1

此时x0?3x0?1??1

2y ····································································································· 8分 ?1)． ·?N点的坐标为(1，②当x0?3时，如图② 2B B1 O A D D1 图②

N C x 11?3?同理可得?1?x0?2???x0??

22?2??x0?3

此时x0?3x0?1?1

2，． ?点N的坐标为(31)综上，点N的坐标为(1·············································································· 10分 ，?1)或(31)，． ·

15

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23、（2009年武汉市）25．（本题满分12分）

如图，抛物线y?ax?bx?4a经过A(?1，0)、C(0，4)两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D(m，m?1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且?DBP?45°，求点P的坐标．

y

2C 2A 25．解：（1）?抛物线y?ax?bx?4a经过A(?1，0)，C(0，4)两点， O B x ?a?b?4a?0，?? ??4a?4.解得??a??1，

b?3.??抛物线的解析式为y??x2?3x?4．

（2）?点D(m，m?1)在抛物线上，?m?1??m?3m?4，

y 即m?2m?3?0，?m??1或m?3．

224)． ?点D在第一象限，?点D的坐标为(3，由（1）知OA?OB，??CBA?45°． 设点D关于直线BC的对称点为点E．

C D A E O ?C(0，4)，?CD∥AB，且CD?3，

B x ??ECB??DCB?45°，

?E点在y轴上，且CE?CD?3．

1)． ?OE?1，?E(0，即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）． （3）方法一：作PF⊥AB于F，DE⊥BC于E． 由（1）有：OB?OC?4，??OBC?45°， ??DBP?45°，??CBD??PBA．

16

y C P A F O E D B x 课件园 [ http://www.kejianyuan.com ]

?C(0，，4)D(3，4)，?CD∥OB且CD?3．

??DCE??CBO?45°，

?DE?CE?32． 252， 2?OB?OC?4，?BC?42，?BE?BC?CE??tan?PBF?tan?CBD?DE3?． BE5设PF?3t，则BF?5t，?OF?5t?4，

?P(?5t?4，3t)．

?P点在抛物线上，

?3t??(?5t?4)2?3(?5t?4)?4，

?t?0（舍去）或t?22?266?，?P??，?． 25?525?方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH⊥x轴于H．过Q点作

QG⊥DH于G．

??PBD?45°，?QD?DB． ??QDG??BDH?90°，

又?DQG??QDG?90°，??DQG??BDH．

A Q C P y D G B O H ?△QDG≌△DBH，?QG?DH?4，DG?BH?1．

由（2）知D(3，4)，?Q(?13)，．

x 312?B(4，0)，?直线BP的解析式为y??x?．

552??y??x2?3x?4，x??，2?x?4，???15解方程组? ?312得??y??x?，?y1?0；?y?66.55?2?25??266??点P的坐标为??，?．

?525?17

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24、（2009年鄂州市）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上

F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO

(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 (2)令m?S四边形CFGHS四边形CNMN；，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝

12，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c33经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存

在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

27、（1）EO＞EC，理由如下：

由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 （2）m为定值

∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC) S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ∴m?S四边形CFGH?1……………………………………………………4分

S四边形CMNO

（3）∵CO=1，CE?，QF?∴cos∠FEC=

13212 ∴EF=EO=1???QF 3331∴∠FEC=60°， 2 180??60?∴?FEA??60???OEA，?EAO?30?

218

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∴△EFQ为等边三角形，EQ?2…………………………………………5分

3

作QI⊥EO于I，EI=

3311 EQ?EQ?，IQ=

2323∴IO=

31211∴Q点坐标为(,)……………………………………6分 ??33 333

31,)，m=1 33

∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q(∴可求得b??3，c=1

∴抛物线解析式为y?x?3x?1（4）由（3），AO?2……………………………………7分

233

2221当x?3时，y?(3)2?3?3?1?＜AB

33333EO?∴P点坐标为(∴BP=1?231,) …………………8分 3312?AO 33方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：

2234383,1)或(,1)①BK?3时，BK?∴K点坐标为(999 223332②BK3时，BK?23233?2343,1)或(0,1)…………10分∴K点坐标为(3 3

故直线KP与y轴交点T的坐标为

571…………………………………………12分 (0,?)或(0,)或(0,?)或(0,1)333

方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30° ①当∠RTP=30°时，RT?23?3?23

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②当∠RTP=60°时，RT?232?3?33

∴T1(0,)，T2(0,?)，T3(0,?)，T4(0,1)735313……………………………12分

25、（2009年湖北省黄石市）24、（本题满分9分）

如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。

解答下列问题：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。

②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。

试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）

（3）若AC=42，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。

24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD

②成立，理由如下：

∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ∴△BAD≌△CAF

∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°

∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1分）

（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：

如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G

则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45° ∵AG=AC AD=AF ………（1分） ∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2分）

（3）如图：作AQBC于Q

∵∠ACB=45° AC=42 ∴CQ=AQ=4

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∵∠PCD=∠ADP=90°

∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°

∴△ADQ∽△DPC …（1分） PCCD∴= DQAQ设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x

PCx则= …………（1分） 4?x4∴PC=

11(－x2+4x)=－(x－2)2+1≥1 44当x=2时，PC最长，此时PC=1 ………（1分）

26、（2009年湖北省孝感市）25．（本题满分12分） 如图，点P是双曲线y?k1x(k1?0，x?0)上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分

k2 （0＜k2＜|k1|）于E、F两点． x别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=

（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)；（3分） （2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．

①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分）

②记S2?S?PEF?S?OEF，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）

25．解：（1）k2?k1； … ………………………………3分 （2）①EF∥AB． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），kkE(?4,?2)，F(2,3) ．

34∴PA=3，PE=3?kk2，PB=4，PF=4?2．

3421

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∴

PAPE?33?k24?1212?k2，

PBPF?44?k23?1212?k2

PAPB． ………………………… 6分 ?PEPF又∵∠APB=∠EPF．

∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．

∴

∴EF∥AB． …………………………… 7分 ②S2没有最小值，理由如下：

过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．

kkkk由上知M（0，?2），N（2，0），Q（2，?2）． ……………… 8分

4334而S△EFQ= S△PEF，

∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN

11kk＝k2?k2?2?2 2234＝k2?=

12k2 12112(k2?6)2?3． ………………………… 10分

当k2??6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分 ∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点

和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用tan?PAB＝tan?PEF来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．

2．求S2的值时，还可进行如下变形：

S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论．

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