概率论与数理统计课后习题答案下

从而

kP{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}?P{X2?180}

??P(X?i)?P{Y?k?i}

i?0k?n?in?i?n?k?in?k?i????pq??pqP{X3?180}?P{X4?180}

i?0?i??k?i?

k ?n??n?k2n?k??????pqiXk?i??0P?{???[1?P{X1?180}]?[1?P{X2?180}]?[1?P{X3?180}]?[1i?4?180}] ?2n?k2n?k ???pq?k?4??180?160???[1?P{X1?180}]4??1???方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），??

20????则

?[1??(1)]?(0.158)?0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

44X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布. 19.设随机变量（X，Y）的分布律为 P{Z=i}=

?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，….

k?0iY 0 1 2 X 0 1 2 3

4 5 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以

{Z?i}?{X?Y?i}

3

?{X?0,Y?i}?{X?1,Y?i?1}???{X?i,Y?0} 于是

(1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律；

i（3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律.

P{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立k?0?P{X?k}?P{Y?i?k}

k?0i【解】（1）P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}

P{Y?2}

??p(k)q(i?k)

k?0i?P{X?2,Y?2}?P{X?i,Y?2}i?05?0.051?,

0.25218.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分

布.证明Z=X+Y服从参数为2n，p的二项分布. 【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

P{Y?3|X?0}?

P{Y?3,X?0}

P{X?0}P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i}

i?0k?P{X?0,Y?3}?P{X?0,Y?j}j?030.011??; 0.0332

）

题20图

【解】因（X，Y）的联合概率密度为

（

P{V?i}?P{max(X,Y)?i}?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}

?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,

i?1i??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i},

k?0k?0i?0,1,2,3,4,5

所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 1 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28

(3)

P{U?i}?P{min(X,Y)?i}

?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}3??P{X?i,Y?k}?k?ik?5P{X?k,Y?i}

?i?1i?0,1,2,3,

于是 U=min(X,Y) 0 1 2 3 P 0.28 0.30 0.25 0.17 (4)类似上述过程，有 W=X+0 1 2 3 4 5 6 7 8 Y P 0 0.00.00.10.10.20.10.10.02 6 3 9 4 9 2 5 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布.

（1） 求P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

（1）P{Y?0|Y?X}?P{Y?0,Y?X}P{Y?X}

y??f(x,y)d?

y???0x??f(x,y)d?

y?xπd?

??R1π/40πR2rdr?5 ?4πR1π/4d??0πR2rdr

?3/831/2?4; (2)

P{M?0}?P{max(X,Y)?0}?1?P{max(X,Y)?0}

?1?P{X?0,Y?0}?1???f(x,y)d??1?1x4?34. y??0021.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0，x=1,x=e2所围成，二维随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处的值为多少？

题21图

??e2【解】区域D的面积为

S1201dx?lnxex1?2.（X,Y）

的联合密度函数为

1?12,1?x?e,0?y?,?f(x,y)??2x

??0,其他.（X，Y）关于X的边缘密度函数为

即

111???P{X?x1,Y?y3}, 4248?x1,Y?y3}?1. 12P{?3 8,

故

从而P{X1?1/x1dy?,1?x?e2,??0 fX(x)??22x?其他.?0,所以

同理

21?Y }21fX(2)?.

4P{X?x2,Y?y2}?322.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联

合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. 又

?P{Y?y}?1jj?1X x1 x2 P{Y=yj}=pj

Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 P{X=xi}=pi 111P{Y?y3}?1???.

623同理P{X1 3?x2}?.

4【解】因P{Y?yj}?Pj??P{X?xi,Y?yj},

i?12从而

故

11P{X?x2,Y?y3}?P{Y?y3}?P{X?x1,Y?y3}??312故

P{Y?y1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x2,Y?y1},从而P{X?x1,Y?y1}?与

Y

111??. 6824独

立

，

故

而X

P{X?xi}?P{Y?yj}?P{X?xi,Y?yi},

从

而

X Y y1 y2 y3 P{X?xi}?Pi x1 111 2481214 11P{X?x1}??P{X?x,Y?y}?.

624即：P{Xx2 11 83 814 341 1 ?x1}?111/?. 2464

又

P{Y?yj}?pj 1 612 1 3P{X?x1}?P{X?x1,Y?y1}?P{X?x1,Y?y2}?P{X?x1,Y?y3},

23.设某班车起点站上客人数X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘

客在中途下车的概率为p（0

以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布. 【

解

】

(1)

?1?, 0?y?3, f(y)??3??0, y?0,y?3.因为X，Y相互独立，所以

mn?mP{Y?m|X?n}?Cm,0?m?n,n?0,1,2,?np(1?p).

(2)

P{X?n,Y?m}?P{X?n}?P{Y?m|X?n}

?1?, 0?x?3,0?y?3, f(x,y)??9??0, x?0,y?0,x?3,y?3. 推得

P{max{X,Y}?1}?1. 9?Cp(1?p)mnmn?me??n??,n?m?n,n?0,1,2,?. n!26. 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为

2??124.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~??0.30.7??，

??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为

Y ??1 0 1 X ??1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=??0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，记Z=X+Y.求：

G(u)?P{X?Y?u}?0.3P{X?Y?u|X?1}?0.7P{X?Y?u|X?2}

（1） a,b,c的值；

（2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

解 (1) 由概率分布的性质知，

a+b+c+0.6=1 即 a+b+c = 0.4.

由

?0.3P{Y?u?1|X?1}?0.7P{Y?u?2|X?2}

由于X和Y独立，可见

G(u)?0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2}

E(X)??0.2，可得

?a?c??0.1.

?0.3F(u?1)?0.7F(u?2).

再由

由此，得U的概率密度为

g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2)

P{Y?0X?0}?,

P{X?0,Y?0}a?b?0.1??0.5P{X?0}a?b?0.5a?b?0.3.

?0.3f(u?1)?0.7f(u?2).

25. 25. 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P{max{X,Y}≤1}.

解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有

得

解以上关于a，b，c的三个方程得

a?0.2,b?0.1,c?0.1.

(2) Z的可能取值为?2，?1，0，1，2，

?1?, 0?x?3, f(x)??3??0, x?0,x?3;P{Z??2}?P{X??1,Y??1}?0.2，

P{Z??1}?P{X??1,Y?0}?P{X?0,Y??1}?0.1，

P{Z?0}?P{X??1,Y?1}?P{X?0,Y?0}?P{X? 1,Y?0.30.501, ? ? 1 } ?，

P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?0.3，

D(X)??[xi?E(X)]2Pi

i?05

P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?0.1，

即Z的概率分布为 Z P ?2 ??1 0 1 2 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1 (3)

?(0?0.501)2?0.583?(1?0.501)2?0.340???(5?0.501?0.432.3.设随机变量X的分布律为 X P ??1 0 1 p1 p2 p3 且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.

【解】因PP{X?Z}?P{Y?0}?0.1?b?0.2?0.1?0.1?0.2?0.41?P2?P3?1……①,

.习题四

1.设随机变量X的分布律为 X ??1 0 1 2 P 1/8 1/2 1/8 1/4 求E（X），E（X2），E（2X+3）. 【

解

】

(1)

又

E(X)?(?1)PPP1?0?2?1?3?P3?P1?0.1……②,

22E(X2)?(?1)2?PPP1?0?2?1?3?P1?P3?0.9……③?

由①②③联立解得P1?0.4,P,P2?0.13?0.5.

11111E(X)?(?1)??0??1??2??;

82842(2)

4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问

从袋中任取1球为白球的概率是多少？ 【解】记A={从袋中任取1球为白球}，则

11115E(X2)?(?1)2??02??12??22??;

82844(3)

P(A)全概率公式?P{A|X?k}?P{X?k}

k?0N1E(2X?3)?2E(X)?3?2??3?4

2

2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.

【解】设任取出的5个产品中的次品数为X，则X的分布律为 X 0 P 1 2 3 4 5 k1??P{X?k}?Nk?0N1n??E(X)?.NN5.设随机变量X的概率密度为

N?kP{X?k}k?0N

514233241CC5CCCCCCCC901090109010901090?0.583?0.340?0.070?0.007?5100?055555C100C100C100C100C100C100故

?x,0?x?1,?f（x）=?2?x,1?x?2,

?0,其他.?求E（X），D（X）.

解

】

E(X)?0.58?3?00.3?4?010.?0?702?0.?00?7?3?04【

习题三

1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示

三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表： 0 X 1 2 3 Y 1 0 0 C13?12?11321112?2?C83?2?2?2?3/83 10 0 182?12?12?

2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.

【解】X和Y的联合分布律如表： 0 X 1 2 3 Y 0 0 0 C223?C23C3C1C4?3?24?735C71 0 C112211313?C2?C2C63?C2?C2C123?CC4?C4?24?735735C72 P(0黑,2红,20 白)= C13?C22?C12C623?C223C4?4?735C735C22?C22/C47?135

3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?F（x，y）=??sinxsiny,0?x?ππ?2,0?y?2

?0,其他.求二维随机变量（X，Y）在长方形域

???0?x?πππ?4,6?y?3??内的概率.

【解】如图P{0?X?πππ4,6?Y?3}公式(3.2) F(π4,π3)?F(π4,π6)?F(0,π3)?F(0,π6)

?sinππ4?sin3?sinπ4?sinπ6?sin0?sinπ3?sin0?sinπ6

?24(3?1).

题3图

说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度

f（x，y）=??Ae?(3x?4y),x?0,y?0,?0,其他.

求：（1） 常数A；

（2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【

解

】（

1

） 由

?????????y)?????f(x,y)dxdy??-(3x?40?0Aedxdy?A12?1 得 A=12? （2） 由定义，有 x

F(x,y)??y?????f(u,v)dudv

???yy?(3u?4v)??0?012edudv???(1?e?3x)(1?e?4y)y?0,x?0,??0,?0,其他(3) P{0?X?1,0?Y?2}

?P{0?X?1,0?Y?2}??1?(3x?4y)0?2012edxdy?(1?e?3)(1?e?8)?0.9499.

5.设随机变量（X，Y）的概率密度为

18235235?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f（x，y）=?

其他.?0,（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有

求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） P{Y≤X}.

题6图

2??????????f(x,y)dxdy??0?42k(6?x?y)dydx?8k?1,

【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为

故

R?

1

? 8

1????（2）

P{X?1,Y?3}??13?3?1?,0?x?0.2, fX(x)??0.2?其他.?0,f(x,y)dydx

而

13???k(6?x?y)dydx?

0288所以

?5e?5y,y?0,fY(y)??

其他.?0,(3)

P{X?1.5}?x?1.5??f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy

D11.54

f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)

??dx?02127(6?x?y)dy?. 832(4)

?1?5e?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0,? ??0.2??其他.?0,??0,(2)

P{X?Y?4}?X?Y?4??f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy

D24?xP(Y?X)?y?x??f(x,y)dxdy如图??25eD?5ydxdy

??dx?02212(6?x?y)dy?. 83

??dx?25e-5ydy??(?5e?5x?5)dx0000.2x0.2

=e-1?0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为

?(1?e?4x)(1?e?2y),x?0,y?0,F（x，y）=?

其他.?0,

题5图

6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为

【

求（X，Y）的联合分布密度.

解

】

?5e?5y,y?0,fY（y）=?

其他.?0,?2F(x,y)?8e?(4x?2y),x?0,y?0, f(x,y)????x?y其他.?0,8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x,f（0,

?其他.求边缘概率密度. ??【解】

fX(x)????f(x,y)dy

=????x(2?x)dy??2.4x204.8y(2?x),0?x?1, ???0,?0,其他.??

fY(y)????f(x,y)dx

?1=???y4.8y(2?x)dx????2.4y(3?4y?y2),0?y?1,?0,?0,其他.

题8图 题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??e?y,0?x?y,?0,其他.

求边缘概率密度. 【解】

fX(x)??????f(x,y)dy

???y?x

=????xedy????e,x?0, ?0,?0,其他.f????Y(y)??f(x,y)dx

=????y?y?x

0edx??ye,y???0, ?0,?0,其他.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,?0,其他.

（1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度.

????【解】（1）

??????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy

D

=?1dx?14-1x2cx2ydy?21c?1. 得?c?214. f??(2)

X(x)????f(x,y)dy

?????121?212x24x2ydy4??x(1?x),?1?x?1, ???0,?8?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

??????y212ydx??75?yxy2,0?y?1,?4??0,?2?0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

2 0 11223 ?? 33C510C510100 3 0 111 ? 2C51010

题11图

【解】

fX(x)????P{Y?yi} 1 10

(2)

3 106 10 ??f(x,y)dy

x????x1dy?2x,0?x?1, ???其他.?0,因

P{X?1}?P{Y?3}?故X与Y不独立?

fY(y)???????11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1, y?其他.?0,??6161????P{X?1,Y?3},10101001013.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 所以

（1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表? 0.4 0.8 ?1f(x,y)?,|y|?x?1, fY|X(y|x)???2xfX(x)?其他.?0,

Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 ?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1fX|Y(x|y)???,?y?x?1,

fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中

最小的号码为X，最大的号码为Y. （1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 P{X?xi} (2)

因

P{X?2}?P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4),

故X与Y不独立.?

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

X 1 Y 3 4 5 P{X?xi}

1??e?y/2,fY（y）=?2??0,（1）求X和Y的联合概率密度；

y?0,其他.

1122336 ??? 333C510C510C51010（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

【解】（1） 因

?1,0?x?1, fX(x)????0,其他;y?1?2?e,y?1, fY(y)???2?0,其他.?（2） 当0

1000）(如图a) z故

FZ(z)???y??1?y/2?exz6??yz10106dxdy??103dy?322dx 2210xyxyz0?x?1,y?0,36f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)???2?0,其他.

题14图

(2) 方程

a2?2Xa?Y?0有实根的条件是

??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y， 从而方程有实根的概率为：

P{X2?Y}???f(x,y)dxdy

x2?y ??1dx?x21?y002e/2dy?1?2?[?(1)??(0)] ?0.1445.15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X

和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为

?f（x）=?1000?x2,x?1000,

??0,其他.求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FZ(z)?P{Z?z}?P{XY?z} (1) 当z≤0时，FZ(z)?0

??

=??1010?z103??y2?3?dy?zzy

?2

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

FZ(z)???106x2y2dxdy????zy106103dy?103y?xx2y2dx z

=????103106?1103??y2?zy3?dy?1?z ?2即

??1?12z,z?1,?f???zZ(z)2,0?z?1,

???0,其他.?故

??12z2,z?1,?f(z)???1Z,0?z?1,

?2?其他?0,.?16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）

分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），

E(X)??

????xf(x)dx??xdx??x(2?x)dx

0112122.

9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

3?13??2x???x???x???1.

3?1?3?0??e?(y?5),?2x,0?x?1,fX（x）=? fY（y）=?其他;?0,?0,求E（XY）.

2y?5,其他.

7方法一：先求X与Y的均值? E(X2)??x2f(x)dx??x3dx??x2(2?x)dx?【解】

??01612E(X)?x?2xdx?,

?01322故 D(X)?E(X)?[E(X)]?.

6

??16.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U=2X+3Y+1； （2） V=YZ??4X. 【

解

】

(1)

E(Y)????5ye?(y?5)dy令z?y?55?e?zdz??0????0ze?zdz?5?1?6由X与Y的独立性，得

2E(XY)?E(X)?E(Y)??6?4.

3 方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联合密度为

E[U]?E(2X?3Y?1)?2E(X)?3E(Y)?1

(2)

?2?5?3?11?1?44.

E[V]?E[YZ?4X]?E[YZ]?4E(X)

因Y,Z独立E(Y)?E(Z)?4E(X)

?11?8?4?5?68.

?2xe?(y?5),0?x?1,y?5, f(x,y)?fX(x)?fY(y)??其他,?0,于是

??11??7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D

（Y）=16，求E（3X??2Y），D（2X??3Y）. 【

解

】

(1)

E(XY)??5?0xy?2xe?(y?5)dxdy??2x2dx??05ye?(y?5)dy?10.设随机变量X，Y的概率密度分别为

E(3X?2Y)?3E(X)?2E(Y)?3?3?2?3?3.

(2)

22?2e?2x,x?0,?4e?4y,fX（x）=? fY（y）=?x?0;?0,?0,求（1） E（X+Y）;（2） E（2X??3Y2）.

解

??y?0,

y?0.】

??D(2X?3Y)?2D(X)?(?3)DY?4?12?9?16?192.

【

8.设随机变量（X，Y）的概率密度为

?k,0?x?1,0?y?x,f（x，y）=?

其他.?0,试确定常数k，并求E（XY）. 【

????(X)??

??xfX(x)dx???0??-2xx?2e?2xdx?[?xe?2x]0e?dx

0??1??e?2xdx?.

02解

1x】因

故

??????1f(x,y)dxdy??dx?kdy?k?1,002????1E(Y)??????yfY(y)dy???01y?4e?4ydy?.

4k=2?

E(XY)???????????21E(Y2)??y2fY(y)dy??y2?4e?4ydy?2?.

??0xyf(x,y)dxdy??xdx?2ydy?0.254800x从而(1)E(X?Y)?E(X)?E(Y)?12?14?34. (2)

E(2X?3Y2)?2E(X)?3E(Y2)?2?1152?3?8?8

11.设随机变量X的概率密度为

??cxe?k2x2f（x）=?,x?0,??0,x?0.

求（1） 系数c;（2） E（X）;（3） D（X）.

??f(x)dx????cxe?k2x2【解】(1) 由

???0dx?c2k2?1得

c?2k2.

(2)

E(X)???????222??xf(x)d(x)?0x?2kxe?kxdx

??

?2k2?2k2x2π0xe?dx?2k. (3)

E(X2)??????22x21??x2f(x)d(x)??0x?2k2xe?kk2. 故

?

2D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1?π?4?πk2????. ?2k???4k212.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋

中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.

【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X的

可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知

P{X?0}?912?0.750, P{X?1}?312?911?0.204,

P{X?2}?312?211?910?0.041, P{X?3}?321912?11?10?9?0.005. 于是，得到X的概率分布表如下： X 0 1 2 3 P 0.750 0.204 0.041 0.005 由

此

可

得

E(X)?0?0.750?1?0.204?2?0.041?3?0.005?0.301.

E(X2)?02?750?12?0.204?22?0.041?32?0.005?0.41D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.413?(0.301)2?0.322.13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为

?f（x）=?1?x?e4,x?0,

?4?0,x?0.为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200

元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.

【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100元和??200元?

P{Y?100}?P{X?1}????1e?x/41dx?e?1/44

P{Y??200}?P{X?1}?1?e?1/4.

故

E(Y)?100?e?1/4?(?200)?(1?e?1/4)?300e?1/4?200?33 (元).

14.设X1，X2，…，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=μ，D（Xi）

=σ2，i=1，2，…，n，记

X?1n22

1nn?Xi,S，S=(Xii?1n?1??X)2. i?11） 验证E(X)=μ，D(X) =

?2（n；

（2） 验证S2=

12(?Xi?nX)；

n?1i?12nn21?[?E(Xi2)?nE(X)]n?1i?1（3） 验证E（S2）=σ2. 【

证

】

(1)

???21?222????n?(??u)?n??u????2.n?1??n??

n1n1?1n?115.?对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=??1, E(X)?E??Xi??E(?Xi)??E(Xi)??nuu.

nnnni?1i?1?i?1?计算：Cov（3X??2Y+1，X+4Y??3）.?

n1n?1n?1D(X)?D??Xi??2D(?Xi)Xi之间相互独立2?DXi ?Cov(3ni?1X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8Di?1?ni?1?n【解】

1?22?2?n??. nn

?3?2?10?(?1)?8?3??28

(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).

2i2(2) 因

?(Xi?1nni16.设二维随机变量（?X)??(X?X?2XXi)??X?nX?2X?Xi X，Y）的概率密度为

22ii?1i?1i?1n2nn

??X?nX?2X?nX??X?nX2i2ii?1i?1n21故S?(?Xi2?nX).

n?1i?122n2

?122?,x?y?1,f（x，y）=?π

?其他.?0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D?{(x,y)|x2?y2?1}.

??(3) 因

E(Xi)?u,D(Xi)??2,故

E(X)?????????xf(x,y)dxdy?1xdxdy ??πx2?y2?1E(Xi2)?D(Xi)?(EXi)2??2?u2.

同

理

因

=12π1rcos??rdrd??0.

??00πE(X)?u,D(X)??2n,故

同理E(Y)=0. 而

E(X)?从而

2?2n?u2.

CovX(Y,?)?????????? xdyx[?Ex(?)]y?[EY()f]x(y,)

112π12?xydxdy?rsin?cos?rdrd??0????nn002?2πx2?y2?π1?1E(s2)?E?(?Xi2?nX)??[E(?Xi2)?nE(X1)]

i?1?n?1i?1?n?1,

由此得下

面

1?x2

?XY?0,故X与Y不相关.

讨

论

独

立

性

，

当

|x|≤1

时

，

fX(x)?1?1?x212dy?1?x2. ππ当|y|≤1时，fY(y)1?1?y2?1?y212dx?1?y2ππ??1 . 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.

显然

fX(x)?fY(y)?f(x,y).

【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律

易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表

故X和Y不是相互独立的.

17.设随机变量（X，Y）的分布律为 X Y ??1 0 1 X P ??1 0 1 3 8??1 280 3 81

Y P 3 8??1 280 3 81

XY P 28 48 28

由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的.

又P{X331??1}?P{Y??1}????P{X??1,Y??1}

888从而X与Y不是相互独立的.

18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），ρXY.

【解】如图，SD=

12，故（X，Y）的概率密度为

题18图

?2,(x,y)?D, f(x,y)??0,其他.?E(X)???xf(x,y)dxdy??0dx?0x?2dy?D11?x11?x1 31 62E(X2)???x2f(x,y)dxdy??0dx?02xdy?D1?1?122从而D(X)?E(X)?[E(X)]?????.

6?3?18同理E(Y)211?,D(Y)?. 31811?x而

E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??dx?DD002xydy?1. 12所以

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?1111????. 123336

从而

?XY?Cov(X,Y)?D(X)?D(Y)?13611?1818??1 219.设（X，Y）的概率密度为

ππ?1sin(x?y),0?x?,0?y?,?f（x，y）=?222

?其他.?0,求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY.

【解】E(X)???????????xf(x,y)dxdy??π202π/20dx?π/201πx?sin(x?y)dy?. 24

E(X)??dx?从而

2π201π2πx?sin(x?y)dy???2.

282π2πD(X)?E(X)?[E(X)]???2.

16222同理

ππ2πE(Y)?,D(Y)???2.

4162又

E(XY)??π/20dx?π/20πxysin(x?y)dxdy??1,

22?π?ππ?π?4?故 CovX(Y,?)EXY(?)E(X?)EY(??)???1??????2?44?4?2

.?XY??π?4????Cov(X,Y)(π?4)2π2?8π?164???2??2??2.

ππ?8π?32π?8π?32D(X)?D(Y)π??216220.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为?【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.

从而

?11?，试求Z1=X??2Y和Z2=2X??Y的相关系数. ??14?D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y)

?2Cov(X,X)?4Cov(Y,X)?Cov(X,Y)?2Cov(Y,Y)

?2D(X)?5Cov(X,Y)?2D(Y)?2?1?5?1?2?4?5.故

?ZZ?12Cov(Z1,Z2)55??13.

D(Z1)?D(Z2)13?426［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.

21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：

这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy??Schwarz）不等式. 【证】令

显然

g(t)?E{[V?tW]2},t?R.

0?g(t)?E[(V?tW)2]?E[V2?2tVW?t2W2]

?E[V2]?2t?E[VW]?t2?E[W2],?t?R.

可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即0???[2E(VW)]2?4E(W2)?E(V2)

?4{[E(VW)]2?E(V2)?E(W2)}.

2故[E(VW)]?E(V2)?E(W2)}.

22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况

下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.

【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X~E(λ),E(X)=

1?=5.

依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0. 对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.

对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e??λx,所以

F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e??y/5.

23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品.从甲箱中任取3件产品

放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率. 【解】（1） Z的可能取值为0，1，2，3，Z的概率分布为

k?kC3?C33P{Z?k}?C36,

k?0,1,2,3.

2 3 Z=k Pk 0 1 1 209 209 201 20因此，E(Z)?0?19913?1??2??3??. 202020202(2) 设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有

P(A)??P{Z?k}?P{A|Z?k}

k?03

?19192131?0???????. 20206206206424.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ,1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品.

销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系

若X?10,??1,?T=?20,若10?X?12, ??5,若X?12.?问：平均直径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？

【解】

E(T)??P{X?10}?20P{10?X?12}?5P{X?12}

??P{X?u?10?u}?20P{10?u?X?u?12?u}?5P{X?u?12?u} ???(10?u)?20[?(12?u)??(10?u)]?5[1??(12?u)]?25?(12?u)?21?(10?u)?5.

故

dE(T) 令 ?25?(12?u)?(?1)?21?(10?u)?(?1)0(这里?(x)?du得 两边取对数有

1?x2/2e), 2?25e?(12?u)2/2?21e?(10?u)2/2?

11ln25?(12?u)2?ln21?(10?u)2.

22解得

1251u?11?ln?11?ln1.19?10.9128(毫米)?

2212由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 25.设随机变量X的概率密度为

1x??cos,0?x?π,f(x)=?2 2?其他.?0,对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y2的数学期望. （2002研考）

π?1,X?,??3【解】令 Yi???0,X?π.?3?则Y(i?1,2,3,4)

??Yi~B(4,p).因为

i?14π/31πππx1p?P{X?}?1?P{X?}及P{X?}??cosdx?0333222,

所以E(Yi)111?,D(Yi)?,E(Y)?4??2, 24211D(Y)?4???1?E(Y2)?(EY)2,

22从而E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1?22?5.

26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停

用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. 【解】由题意知：

?5e?5t,t?0,fi(t)??

t?0.?0,因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0;

当t≥0时，利用卷积公式得

fT(t)??故得

????f1(x)?f2(t?x)dx??5e?5x?5e?5(t?x)dx?25te?5t0t

?25te?5t,t?0, fT(t)??t?0.?0,由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=

11,D(Ti)=?(i=1,2) 525因此，有E(T)=E(T1+T2)=

25.

又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=

2. 2527.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X??Y|的方差.

??1?2???1?2?【解】设Z=X??Y，由于X~N?0,?, ?,Y~N?0,?????2?????????2??且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）. 因

D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|2)?[E(|Z|)]2

而

2???E(Z2)?[E(Z)]2,

E(Z)?D(Z)?1,E(|Z|)??|z|??1?z2/2edz 2π

2???z2/22?zedz??π2π0，

所以

D(|X?Y|)?1?2. π28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0

机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求E（X）和D（X）. 【解】记q=1??p,X的概率分布为P{X=i}=qi??1p,i=1,2,…，

?q??p1??. 故E(X)??iqp?p(?q)??p??2pi?1i?1?1?q?(1?q)?i?1?i又E(X2)??iqp??(i?i)qp??iqi?1p

2i?12i?1i?1i?2i?1????

?q2???11?pq(?q)????pq???p1?qp i?2??2pq11?q2?p???2?2.(1?q)3pppi所以

D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2?p11?p?2?2. 2ppp

题29图

29.设随机变量X和Y的联合分布在点（0，1），（1，0）及（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布.（如图），试求随机变

量U=X+Y的方差.

【解】D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)

=D(X)+D(Y)+2[E(XY)??E(X)·E(Y)]. 由条件知X和Y的联合密度为

?2,(x,y)?G,}. G?{(x,y)|0?x?1,0?y?1,x?y?1f(x,y)??0,t?0.?从而因此

11131E(X)??xfX(x)dx??2x2dx?,E(X2)??2x3dx?,

00022fX(x)??????f(x,y)dy??2dy?2x.

1?x1D(X)?E(X2)?[E(X)]2?31E(Y)?,D(Y)?.

218141??. 2918同理可得

E(XY)???2xydxdy?2?xdx?G0111?xydy?5, 12Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?541???, 12936于是

D(U)?D(X?Y)?1121???. 1818361830.设随机变量U在区间[??2,2]上服从均匀分布，随机变量

X=???1,若U?1，??1,若U??1， Y=?

?1,若U?1.?1,若U??1，试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D（X+Y）.

【解】（1） 为求X和Y的联合概率分布，就要计算（X，Y）的4个可能取值(??1,??1),(??1,1),(1,??1)及(1,1)的概率.

P{x=??1,Y=??1}=P{U≤??1,U≤1}

?P{U??1}???1dxdx1???

??4?244?1P{X=??1,Y=1}=P{U≤??1,U>1}=P{?}=0, P{X=1,Y=??1}=P{U>??1,U≤1}

?P{?1?U?1}??dx1?

?1441P{X?1,Y?1}?P{U??1,U?1}?P{U?1}?故得X与Y的联合概率分布为

21dx1?. 44?(?1,?1)(?1,1)(1,?1)(1,1)??. (X,Y)~?111??0?424?(2) 因D(X?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为

??202??0X?Y~?111?, (X?Y)2~?1????424??2从而E(X4?. 1??2?11?Y)?(?2)??2??0,

44

11E[(X?Y)2]?0??4??2,

22?Y)?E[(X?Y)2]?[E(X?Y)]2?2.

所以D(X31.设随机变量X的概率密度为f(x)=

(1) 求E（X）及D（X）；

1?xe2，（??∞

（2） 求Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？ （3） 问X与|X|是否相互独立，为什么？

??【解】(1)E(X)????1x?e?|x|dx?0. 2

????1D(X)??(x?0)2?e?|x|dx?0?x2e?xdx?2.

??02(2)

Cov(X,|X)?E(X?|X|)?E(X)?E(|X|)?E(X?|X|)

????

??1x|x|?e?|x|dx?0,

2所以X与|X|互不相关.

(3) 为判断|X|与X的独立性，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域??∞

给出任意点x0，则有

{?x0?X?x0}?{|X|?x0}?{X?x0}.

所以0?P{|X|?x0}?P{X?x0}?1.

故由

P{X?x0,|X|?x0}?P{|X|?x0}?P{|X|?x0}?P{X?x0}

得出X与|X|不相互独立.

32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数ρXY=??1/2，设Z=

（1） 求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）； （2） 求X与Z的相关系数ρXZ； （3） 问X与Z是否相互独立，为什么？

XY?32.

【解】(1)

?XY?1E(Z)?E????.

?32?3

?XD(Z)?D??3??Y??XY??D?2Cov????,?

2????32?

1111??9??16?2??Cov(X,Y), 9432而

?1?Cov(X,Y)??XYD(X)?D(Y)?????3?4??6

?2?所以

1D(Z)?1?4?6??3.

3(2) 因Cov(X,Z)XY?11??Cov?X,???Cov?X,X??Cov?X,Y?

32?32?

119?D(X)??(?6)?-3=0, 323所以

?XZ?Cov(X,Z)?0.

D(X)?D(Z)(3) 由

?1??XZ??0，得X与Z不相关.又因Z~N?,3?,X~N(1,9)，所以X与Z也相互独立.

?3?33.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.

?XY.

再由X~B(n,p),Y~B(n,q)，且p=q=

12,

从而有

D(X)?npq?n?D(Y) 4所以

0?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)?D(Y) ?nn?2?XY?, 故?XY=??1. 24Y X 0 1 ??1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20

34.设随机变量X和Y的联合概率分布为

试求X和Y的相关系数ρ.

【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为

YX P 所以E（XY）=??0.08+0.2=0.12?

Cov(X,Y)=E(XY)??E(X)·E(Y)=0.12??0.6×0.2=0? 从而

??1 0.08 0 0.72 1 0.2 ?XY=0?

35.对于任意两事件A和B，0

ρ=

P?AB??P(A)?P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)为事件A和B的相关系数.试证：

（1） 事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0； （2） |ρ|≤1.

【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB)??P(A)·P(B)=0.

而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X与Y为

???1,若A发生,?1,若B发生, Y?? X?????0,若A发生;?0,若B发生.由条件知，X和Y都服从0??1分布，即

11?0?0 Y~? X~?1?P(A)P(A)??1?P(B)P(B)从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),

D(X)=P(A)·P(

A),D(Y)=P(B)·P(B),

Cov(X,Y)=P(AB)??P(A)·P(B)

所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X的概率密度为

?1?2,?1?x?0,??1fX(x)=?,0?x?2,

4?其他.?0,??令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求： (1) Y的概率密度fY(y)； (2) Cov(X,Y);

(3)F(?1,4). 2解： (1) Y的分布函数为

FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}.

当y≤0时， 当0＜y＜1时，

FY(y)?0，fY(y)?0；

FY(y)?P{?y?X?y}?P{?y?X?0}?P{0?X?y}?3y4，

fY(y)?38y；

当1≤y<4时，

FY(y)?P{?1?X?0}?P{0?X?y}?11?y24

fY(y)?当y≥4时，FY(y)故Y的概率密度为

18y；

?1，fY(y)?0.

?3?8y,0?y?1,??fY(y)?0?1

,1?y?4,?8y???0, 其他.(2)

E(X)=?+?-?2111xfX(x)dx??xdx??xdx?,

-12044021125xdx??x2dx?), -120460

E(Y)=E(X2)=?+?-?x2fX(x)dx??

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