沪科版九年级数学上册各单元测试题(全套,含答案)

九年级上册数学单元综合测试卷

（第21章 二次函数与反比例函数）

注意事项：本卷共23题，满分：150分，考试时间：120分钟. 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1﹒对于函数y＝A.点（

4，下列说法错误的是（ ） x2，6）在这个函数图象上 3B.这个函数的图象位于第一、三象限

C.这个函数的图象既是轴对称轴图形又是中心对称图形 D.当x＞0时，y随x的增大而增大

2﹒若二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象经过点（2，0），且其对称轴为x＝－1，则使函数值y＞0成立的x的取值范围是（ ）

A.x＜－4或x＞2 B.－4≤x≤2 C.x≤－4或x≥2 D.－4＜x＜2 3﹒函数y＝

k与y＝－kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） x

A. B. C. D.

4﹒将抛物线y＝x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ） A.y＝x2+4x+7 B.y＝x2－4x+7 C.y＝x2+4x+1 D.y＝x2－4x+1

5﹒若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（ ）

A.x1＝0，x2＝4 B.x1＝1，x2＝5 C.x1＝1，x2＝－5 D.x1＝－1，x2＝5 6﹒一次函数y＝－x+a－3（a为常数）与反比例y＝－

4的图象交于A、B两点，当A、B两点关于x原点对称时a的值是（ ）

A.0 B.－3 C.3 D.4

7﹒某烟花厂为热烈庆祝“十一国庆”特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h＝－

52

t+30t+1，礼炮点火升空后会在最高点处引爆，则这种礼炮2能上升的最大高度为（ ）

A.91m B.90m C.81m D.80m 8﹒已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（－2，0），（2，3）两点，那么抛物线的对称轴（ ） A.只能是x＝－1 B.可能是y轴

C.可能在y轴右侧且在直线x＝2的左侧 D.可能在y轴左侧且在直线x＝－2的右侧 9﹒如图，A、B是双曲线y＝

k上的两点，过A点作AC⊥x轴，交xOB于D

点，垂足为C.若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（ ） A.

48 B. C.3 D.4 3310.二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①2a+b＞0； ②abc＜0； ③b2－4ac＞0； ④a+b+c＜0； ⑤4a－2b+c＞0，

其中正确的个数是（ ）

A.2 B.3 C.4 D.5 二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

11. 关于x的一元二次方程ax2－3x－1＝0的两个不相等的实数根都在－1和0之间（不包括－1和0），则a的取值范围是_________________. 12.如图，△OAP与△ABQ均为等腰直角三角形，点P、Q在函数y＝（x＞0）的图象上，直角顶点A、B均在x轴上，则点B的坐标为__________.

4x

2

13.如图，P是抛物线y＝－x+x+2在第一象限内的点，过点P分别向x轴和y轴引垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为___________.

14.某公园草坪的防护栏的形状是抛物线，如图所示，为了牢固起见，在护拦跨径AB之间按0.4米的间距加设了4根不锈钢支柱，已知防护栏的最高点距底部0.5米，则所需这4根不锈钢支柱总长度为__________. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15.如图，已知直线l过点A（4，0），B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝4，试求二次函数的表达式.

16.如图，Rt△ABC的斜边AC的两个端点在反比例函数y＝

kk1的图象上，点B在反比例函数y＝2xx的图象上，AB平行于x轴，BC＝2，点A的坐标为（1，3）.

（1）求点C的坐标；

（2）求点B所在函数图象的解析式.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1. （1）求证：2a+b＝0；

（2）若关于x的方程ax2+bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根.

18.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数.

（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）若该抛物线的对称轴为直线x＝

5. 2①求该抛物线的函数解析式；

②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格，经调查发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖出360件，在此基础上，若涨价5元，则每月销售量将减少150件，若每月销售量y（件）与价格x（元/件）满足关系式y＝kx+b. （1）求k，b的值；

（2）问日用品单价应定为多少元？该商场每月获得利润最大，最大利润是多少？

20.在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.F是边BC上一点（不与B、C两点重合），过点F的反比例函数y＝图象与AC边交于点E.

（1）请用k表示点E，F的坐标；

（2）若△OEF的面积为9，求反比例函数的解析式.

k（k＞0）x

六、（本题满分12分）

21.如图，已知二次函数y1＝－x2+

13x+c的图象与x轴的一个交点为A（4，0），与y轴的交点为B，4过A、B的直线为y2＝kx+b.

（1）求二次函数y1的解析式及点B的坐标；

（2）由图象写出满足y1＜y2的自变量x的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

七、（本题满分12分）

22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，－3），反比例函数y＝

k（x＞0）的图象x经过点A，动直线x＝t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N. （1）求k的值；

（2）求△BMN面积的最大值； （3）若MA⊥AB，求t的值.

八、（本题满分14分）

23.如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x 轴相交于点M.

（1）求抛物线的解析式和对称轴；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？ 若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案

一、精心选一选

题号 答案 1 D 2 D 3 B 4 B 5 D 6 C 7 A 8 D 9 C 10 B 二、细心填一填 11. －

94＜x＜－2； 12.（5+1，0）； 13. 6； 14. 1.8 米. 三、解答题

15.解：设直线l的解析式为：y＝kx+b， ∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，

∴??4k?b?0?k??b?4，解得：??1?b?4，

∴y＝﹣x+4， ∵S△AOP＝12×OA×yp， ∴

12×4×yp＝4， ∴yp＝2，即P点的纵坐标为2，

∵点P在直线y＝﹣x+4上，∴ 2＝﹣x+4， 解得x＝2，则P（2，2），

把点P的坐标（2，2）代入y＝ax2得22×a＝2 解得a＝

12， ∴所求二次函数的解析式为y＝

12x2

． 16.解：（1）把点A（1，3）代入y＝k1x得k1＝1×3＝3，

∴过A、C两点的反比例函数解析式为y＝3x，

∵BC＝2，AB∥x轴，BC∥y轴， ∴B点的坐标为（3，3），C点的横坐标为3， 把x＝3代入y＝

3x得y＝1， ∴C点坐标为（3，1）；

（2）把B（3，3）代入y＝

k2x得k2＝3×3＝9， ∴点B所在函数图象的解析式为y＝9x．

17.解：（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，

∴－

b＝1， 2a∴2a+b＝0；

（2）解：∵ax2+bx﹣8＝0的一个根为4， ∴16a+4b﹣8＝0，

∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a， ∴16a﹣8a﹣8＝0，

解得：a＝1，则b＝﹣2，

∴方程ax2+bx﹣8＝0为：x2﹣2x﹣8＝0， 则(x﹣4)(x+2)＝0，

解得：x1＝4，x2＝－2，

故方程的另一个根为：﹣2． 18.解：（1）证明：y＝(x﹣m)2﹣(x﹣m)＝x2﹣(2m+1)x+m2+m， ∵△＝(2m+1)2﹣4(m2+m)＝1＞0，

∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点； （2）解：①∵x＝－

?(2m?1)5＝， 22∴m＝2，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6；

②设抛物线沿y轴向上平移k个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y＝x2﹣5x+6+k，

∵抛物线y＝x2﹣5x+6+k与x轴只有一个公共点， ∴△＝52﹣4（6+k）＝0， ∴k＝

1， 41个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点． 4即把该抛物线沿y轴向上平移

?20k?b?360?k??3019.解：（1）由题意可知：? ，解得：? ，

25k?b?210b?960??（2）由（1）可知：y与x的函数关系应该是y＝﹣30x+960

设商场每月获得的利润为W，由题意可得

W＝(x﹣16)(﹣30x+960)＝﹣30x2+1440x﹣15360． ∵﹣30＜0， ∴当x＝－

1440＝24时，利润最大，W最大值＝1920

2?(?3)答：当单价定为24元时，获得的利润最大，最大的利润为1920元．

kk，4），F（6，）； 46kk（2）∵E，F两点坐标分别为（，4），（6，），

461111∴S△ECF＝ECCF＝(6﹣k)(4﹣k)，

224620.解：（1）E（

∴S△EOF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△ECF

11k﹣k﹣S△ECF 22111＝24﹣k﹣(6﹣k)(4﹣k)，

246＝24﹣

∵△OEF的面积为9，

111(6﹣k)(4﹣k)＝9， 246k2整理得，＝6，

24∴24﹣k﹣

解得：k＝12（负值舍去）． ∴反比例函数的解析式为y＝

12． x13x+c得： 421.解：（1）将A点坐标代入y1＝－x2+－16+13+c＝0，解得：c＝3， ∴二次函数的解析式为：y1＝－x2+

13x+3，B点坐标为（0，3）； 4（2）由图象可知：当x＜0或x＞4时，y1＜y2； （3）存在. 把A（4，0），B（0，3）代入y2＝kx+b得：

3??4k?b?0?k??，解得：?4， ?b?3???b?3∴直线AB的解析式为：y＝－∵AB的中点坐标为（2，

3x+3， 43）， 247x－， 3677当x＝0时，y＝－，则P1（0，－）；

6677当y＝0时，x＝，则P2（，0），

8877故当P点的坐标为（0，－）或（，0）时，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.

68k22.解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y＝（x＞0）得：k＝1×8＝8，

x∴AB的垂直平分线的解析式为y＝∴k＝8；

（2）设直线AB的解析式为：y＝mx+b，

1??8m?b?1?m?根据题意得：?，解得：?2，

b??3???b??3∴直线AB的解析式为y＝设M（t，），N（t，

1x﹣3； 2181t﹣3），则MN＝﹣t+3， 22t18113125∴△BMN的面积S＝(﹣t+3)t＝﹣t2+t+4＝﹣(t﹣3)2+，

2t242448t∴△BMN的面积S是t的二次函数， ∵﹣

1＜0，∴S有最大值， 425； 4当t＝3时，△BMN的面积的最大值为

（3）∵MA⊥AB，

∴设直线MA的解析式为：y＝﹣2x+c， 把点A（8，1）代入得：c＝17，

∴直线AM的解析式为：y＝﹣2x+17，

1?y??2x?17???x?解方程组?得：?2 或 8y???x?y?16?∴M的坐标为（∴t＝

?x?8（舍去）， ??y?11，16）， 21． 24， 523.解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)(x﹣5)， 把点A（0，4）代入上式得：a＝∴y＝

4441624(x﹣1)(x﹣5)＝x2﹣x+4＝(x﹣3)2﹣， 555558）． 5∴抛物线的对称轴是：x＝3； （2）P点坐标为（3，

理由如下： ∵点A（0，4），抛物线的对称轴是x＝3，

∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）

如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小． 设直线BA′的解析式为y＝kx+b，

4?k???6k?b?4?5把A′（6，4），B（1，0）代入得?，解得?，

?k?b?0?b??4?5?∴y＝

44x﹣， 55∵点P的横坐标为3，

448×3﹣＝， 5558∴P（3，）．

5∴y＝

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大． 设N点的横坐标为t，此时点N（t，

4224t﹣t+4）（0＜t＜5）， 55如图2，过点N作NG∥y轴交AC于G；作AD⊥NG于D，

∵A（0，4）和点C（5，0）， ∴直线AC的解析式为：y＝﹣45x+4， 把x＝t代入得：y＝－

45t+4，则G（t，﹣45t+4）， 此时：NG＝﹣45t+4﹣(42445t2﹣5t+4)＝﹣5t2+4t，

∵AD+CF＝CO＝5，

∴S△ACN＝S△ANG+S△CGN

＝

12AM×NG+12NG×CF ＝12NGOC＝12×(﹣45t2+4t）×5 ＝﹣2t2+10t＝﹣2(t﹣5252)2+2，

∴当t＝5252时，△CAN面积的最大值为2，

由t＝54242，得：y＝5t2﹣5t+4＝﹣3，

∴N（52，﹣3）．

九年级上册数学单元综合测试卷

（第22章 相似形）

注意事项：本卷共23题，满分：150分，考试时间：120分钟. 一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）

x?y的值是（ ） x1231A. B. C. D.

2323abc2﹒若＝＝＝k，则直线y＝kx+k一定经过（ ）

b?ca?ca?b1﹒如果x：(x+y)＝3：5，那么

A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 3﹒已知线段a＝2，c＝6，线段b是a、c的比例中项，则线段b的值为（ ） A.±23 B.±4 C. 23 D.12

4﹒已知两点A（5，6）、B（7，2），先将线段AB向左平移一个单位，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的

1，得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为（ ） 2A.（2，3） B.（3，1） C.（2，1） D.（3，3） 5﹒已知点C在线段AB上，且点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确的是（ ）

5?13?5BC D.BC＝AB 226﹒如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，

DEE，F.AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为（ ）

EF123A. B.2 C. D. 255A.AB2＝ACBC B.BC2＝ACBC C.AC＝

第6题图 第7题图 第8题图 第9题图

7﹒如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠ACD＝90°，若AB＝2，DC＝3，则△ABC与△DCA的面积比是（ ） A.2：3 B.2：5 C.4：9 D.2：3 8﹒如图，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD与BE相交于点G，若AG：GD＝4：1，BD：DC＝2：3，则AE：EC的值是（ ） A. B.

83384 C. D. 2539﹒如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以点C为顶点向△ABC内做正方形DECF，使正方形的另三个

顶点D，E，F分别在的边AB，BC，AC上.若BC＝6，AB＝10，则正方形DECF的边长为（ ）

A.

184524 B. C. D. 733710.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BM是AC边 中线，点D，E分别在边AC和BC上，DB＝DE，EF⊥AC 于点F，以下结论：①△BMD≌△DFE；②△NBE∽△DBC； ③AC＝2DF；④EFAB＝CFBC，其中正确结论的个数是 （ ）

A.1 B.2

第10题图 C.3 D.4

二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分）

11.如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为_______.

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图

12.如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是___________.

13.如图，在钝角△ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发到B点止，动点E从点C出发到A点止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是_______________.

14.如图，正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP、BD与CF相交于点H.给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②

FP3＝；③DP2＝PHPB；PH5④

S?BPDS正方形ABCD＝3－1.其中正确的是________.（填写正确结论的序号） 4三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

?4x?3y?0x?2y?z15.已知实数x、y、z满足?，试求的值.

2x?y?z?3y?2z?0

16.在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请你按要求完成下列各小题： （1）求证：△ABC是直角三角形；

（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由；

（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17.已知，△ABC在直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长均为一个单位长度）.

（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是______________；

（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是______________；

（3）求△A2B2C2的面积是__________平方单位.

18.如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F.

（1）图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由； （2）求证：PC2＝PEPF.

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19.已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE.

（1）求证：DE⊥BE；

（2）如果OE⊥CD，求证：BDCE＝CDDE.

20.某市经济开发区建有B、C、D三个工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上（如图所示），他们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米.自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米.若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元.

（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应是怎样设计？请你在图中画出他们的路线；

（2）求出各工厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？

六、（本题满分12分） 21.如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD，连接MF，NF. （1）判断△BMN的形状，并证明你的结论；

（2）判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由.

七、（本题满分12分）

22.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ. （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值.

八、（本题满分14分）

23.如图，已知反比例函数y＝（k＞0，k为常数）的图象经过点A（1，4），点B（m，n），其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C. （1）写出反比例函数的解析式； （2）求证：△ACB∽△NOM；

（3）若△ACB与△NOM的相似比为2，求出B点的坐标及AB所在直线的解析式.

kx

参考答案

一、精心选一选（本题共10小题，每小题3分，共30分）

题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 C 9 B 10 C 二、细心填一填（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 5 . 12. 183 . 13. 3s或4.8s . 14. ①③④ . 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

?4x?3y?015.解答：∵x、y、z满足?，

?3y?2z?0?4x?3yxz336∴?，∴＝，＝＝，

yy424?3y?2z∴

xyz＝＝＝k，∴x＝3k，y＝4k，z＝6k， 346x?2y?z3k?8k?6k55k＝＝＝.

2x?y?z6k?4k?6k8k8∴

16.解答：（1）证明：由图形结合勾股定理可得：AB＝25，AC＝5，BC＝5， ∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形； （2）△ABC与△DEF相似，

由图形结合勾股定理可得：DE＝42，DF＝22，EF＝210， ∴

10ACABBC＝＝＝，

4DEDFEF∴△ABC∽△DE；

（3）如图，△P2P4P5为所画三角形，它与△ABC相似.

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17.解答：（1）如图所示，C1（2，－2）； （2）如图所示，C2（1，0）；

（3）∵A2C22＝20，B2C22＝20，A2B22＝40， ∴A2C22＝B2C22，且A2C22+ B2C22＝A2B22，

∴△△A2B2C2是等腰直角三角形， ∴△A2B2C2的面积是

1×20×20＝10（平方单位）. 2

18.解答：（1）图中△APD与△CPD全等，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝CD，∠ADP＝∠CDP， 又∵PD＝PD，

∴△APD≌△CPD（SAS）；

（2）证明：由（1）知：△APD≌△CPD， ∴∠DAP＝∠DCP， ∵CD∥AB，

∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB， 又∠FPA＝∠FPA， ∴△APE∽△FPA， ∴

APPE＝，即PA2＝PEPF， FPPA由△APD≌△CPD得，PC＝PA， ∴PC2＝PEPF. 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.解答：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝DO＝

1BD， 21BD， 2∵OE＝OB，∴OE＝OB＝DO＝

∴∠OBE＝∠OEB，∠ODE＝∠OED， ∵∠OBE+∠OEB+∠ODE+∠OED＝180°， ∴∠OEB+∠OED＝90°，即∠BED＝90°， ∴DE⊥BE；

（2）∵OE⊥CD，∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠CEO＝∠CDE，

∵OB＝OE，∴∠DBE＝∠CDE， ∵∠BED＝∠BED， ∴△BDE∽△DCE，

∴

BDDE＝，即BDCE＝CDDE. CDCE20.解答：（1）过点B、C、D分别向AN作垂线段BH、CF、DG，垂足分别为H、F、G，则线段BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道的路线；画图如下：

（2）由题意知：BE＝BC－CE＝1200米， 由勾股定理得：AE＝AB2?BE2＝1500米， ∵四边形ABCD是矩形，CF⊥AN， ∴∠ABE＝∠CFE＝90°， 又∵∠AEB＝∠CEF， ∴△ABE∽△CFE，∴

CFCECF500＝，即＝， ABAE9001500解得：CF＝300（米），

∵BH⊥AN，CF⊥AN，∴BH∥CF， ∴△BHE∽△CFE，∴

CFCE300500＝，即＝， BHBEBH1200解得：BH＝720（米），

∵DG⊥AN，∴∠ABE＝∠DGA＝90°， ∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAG， ∴∴△ABE∽△DGA，∴

AB9001500AE＝，即＝， DGDG1700AD解得：DG＝1020（米），

∴B、C、D三个工厂所建自来水管道的最低造价分别为720×800＝576000（元），300×800＝240000（元），1020×800＝816000（元）. 六、（本题满分12分） 21.解答：（1）△BMN是等腰直角三角形， 证明：AB＝AC，点M是BC的中点， ∴AM⊥BC，AM平分∠BAC， ∵AC⊥BD，∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∵BN平分∠ABE，∴∠ABN＝∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝

1∠ABE， 21(∠BAE+∠ABE)＝45°， 2∴△BMN是等腰直角三角形； （2）△MFN∽△BDC，

证明：∵F，M分别是AB，BC的中点，

∵∠ABC＝90°， ∴MK∥AB，

∴△NMK∽△NAB，

MKMN1＝＝，

2ABAN1∴MK＝AB＝2，

2∴

在Rt△ABN中，AN＝AB2?BN2＝42?82＝45， ∴BM＝

1AN＝25， 225MK＝＝，

5BM25在Rt△BKM中，sin∠MBC＝

∴∠MBC的正弦值为5． 5

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