半导体物理课后习题

半导体物理学课后习题

第一章 半导体的电子状态

1. [能带结构计算]

设晶格常数为a的一维晶格，导带极小值附近能量Ec(k)和价带极大值附近能量

Ev(k)分别为

2?2k123?2k2?2k2?2?k?k1? Ev?k?? ?Ec?k???6m0m03m0m0式中，m0为电子惯性质量，k1??/a，a?0.314nm。试求： ① 禁带宽度；

② 导带底电子有效质量； ③ 价带顶电子有效质量；

④ 价带顶电子跃迁到导带底时准动量的变化。

解：①先找极值点位置

dE3dEc2?2k2?2?k?k1??2k12当k?k1时， 同理由v?0得???0得出，Ec(min)?4dkdk3m0m04m0当k?0时，Ev(max)?2k12 ?6m0?2k12=0.636eV ?12m0所以禁带宽度Eg?Ec(min)?Ev(max)3m0?2②m?2 ?dEc8dk2*ncm?2③m?2??0

dEv6dk2*nv④

知，准动量的变33h?P?Pv?Pc???k?0???k1??????7.9?10?29(kg?m?s?1)

48a

由①可化为

2. [能带动力学相关]

晶格常数为0.25nm的一维晶格，当外加102V/m，107V/m的电场时，试分别计算电子能带底运动到能带顶所需要的时间。

解：设晶格常数为a，则电子从能带底到能带顶过程中准动量的变化为?k??，

adkdkqE?，所以

dtdt?所以所需要的时间为：

因为f?qE???t??k?????k??，当??102V/m时，?t?8.28?10?8s dkqEqa?dt当??107V/m时，?t?8.28?10?13s

第二章 半导体中杂质和缺陷能级

1. [半导体、杂质概念]

实际半导体与理想半导体的主要区别是什么？ 解：杂质和缺陷的存在是实际半导体和理想半导体的主要区别。由于杂质和缺陷的存在会影响半导体的能带结构进而影响半导体的性质。

2. [施主电离过程]

以As掺入Ge为例，说明什么是施主杂质、施主杂质电离过程和n型半导体。 解：

施主杂质是能够提供导电电子的原子，当把As原子掺入Ge半导体中后，一个As原子占据了一个Ge原子的位置，As的四个价电子与周围的四个Ge原子形成共价键，还剩余一个价电子，虽然此时As处于电中性，但是我们可以把它看作是一个正电中心和一个多余的价电子构成的类氢系统，当这个价电子获得一定能量(电离能)后就会离开这个正电中心成为导电的自由电子，这个过程称为施主杂质的电离过程，也就是As原子剩余的一个价电子脱离正电中心As+的束缚成为导电电子的过程。施主杂质电离后，导电电子增多，增强了半导体的导电能力，称主要依靠电子导电的半导体为n型半导体。

电离过程如下图所示：

Ga-

As+

2 施主能级和施主电离 3 受主能级和受主电离

3. [受主电离过程]

以Ga掺入Ge为例，说明什么是受主杂质、受主杂质电离过程和p型半导体。 解：

受主杂质能够提供导电空穴的原子，当把Ga原子掺入Ge半导体中后，一个Ga原子占据了一个Ge原子的位置，Ga的三个价电子与周围的三个Ge原子形成共价键，还有一个共价键没有饱和，形成一个空位，临近的价电子很容易跳入这个空位形成一个空穴，虽然此时Ga处于电中性，但是我们可以把它看作是一个负电中心和一个空穴构成的类氢系统，当这个空穴获得一定能量(电离能)后就会就会离开这个负电中心成为导电的空穴，这个过程称为受主杂质的电离过程，也就是Ga原子产生的一个空穴脱离负电中心Ga-的束缚成为导电空穴的过程。受主杂质电离后，导电空穴增多，增强了半导体的导电能力，称主要依靠空穴导电的半导体为p型半导体。

电离过程如上图所示：

4. [Si在GaAs中双性行为]

以Si在GaAs中的行为为例，说明IV族杂质在III－V族化合物中可能出现的双性行为。

解：Si原子被掺入GaAs后，如果替换了Ga的位置，则会称为施主，如果替换了As的位置，则会成为受主。

5. [杂质补偿]

举例说明杂质补偿作用。

解：在同一半导体的同一区域中，既掺入施主杂质又掺入受主杂质时，两种杂质具有相互抵消的作用称为杂质的补偿作用。利用杂质补偿作用，就能根据需要用扩散或离子注入方法来改变半导体中某一区域的导电类型，以制成各种器件。

第三章 半导体中载流子的统计分布

1. [量子态数计算]

?2计算能量在E?Ec到E?Ec?100?2?2/2mnL之间单位体积中的量子态数。

?2Ec?100?2?2/2mnL???解：量子态数N?Ec?g?E?dE 其中g?E?是能量空间上的状态密度(单位能

c?c量区域中的量子态数)，而gc?E??L2m3?3?2n??E?E?c23122??1000?N?

3，代入积分得：

2. [量子态密度公式证明]

试证明实际硅、锗中导带底附近状态密度公式为gc?E??中m?mdn?s?n23V2m?3?2n??E?E?c23122??，其

?mm?l2t13为导带底电子的状态密度有效质量。

??kx?kx0?2?ky?ky0?2?kz?kz0?2??? ????mtmtml??113解：设在第一布里渊区中半导体有s个对称的状态，对于每一个旋转椭球体有：

?2E?Ec?2椭球的波矢体积为：

4?2m?E?E???2m?E?E???2m?E?E??VK???t2c??t2c??l2c?3?????????221242??32?mm?2lt12?E?Ec?23?3而波矢空间上的状态密度??2V42Z(E)?s?VK?3??34?32ltVV?(单位波矢体积上的量子态数)，所以8?34?3212?mm??3?E?Ec?2?s?3V 34?3所以：

?E?Ec?dZ(E)Vs?2mlmtgc?E???2dE??322??112V2smlmt2?E?Ec??

2?2?322??112

如果把这个量子态密度等效到一个理想的球形等能面的情形中，设其对于那个的

?电子有效质量为mn，则应有 ?mdn（导带底电子状态密度有效质量）

V2m2???E?E??n32c122??即mdn?m?s?n323V2smlmt2?E?Ec??2?2?3223??112

?mm?2lt13，所以

?V2mngc?E?????E?E?312c122??23，证毕。

7. [载流子浓度计算]

① 在室温下，锗的有效状态密度Nc?1.05?1019cm?3，Nv?3.9?1018cm?3，试求

?锗的载流子有效质量mn、m?p。计算77K时的Nc和Nv。已知300K时，

Eg?0.67eV。77K时Eg?0.76eV。求这两个温度时锗的本征载流子浓度。 ②77K时，锗的电子浓度为1017cm?3，假定受主浓度为零，而Ec?ED?0.01eV，求锗中施主浓度ND为多少？ 解：①因为：Nc?2?mkT??2?n0332h Nv?31?2?mkT??2?p0332h

?2?m0k0T?22h33?2???9.108?10?1.38?10?2??6.625?10??3433?23?300?32

?2.5?1025m?3?2.5?1019cm?3所以： m?1.05????m0?2.5??n2?0.39??0.56 ???m0?2.5?33m?p23?0.29

Nc?T???T??2Nv?T???T??2???和??? 因为：

Nc?T??T?Nv?T??T?所以：

?77?Nc?77K??Nc?300K???300???77?Nv?77K??Nv?300K????300?32?77??1.05?1019???300???77??3.9?10????300?18332?1.37?1018cm?3

322?5.07?1017cm?3

?Eg?ni?NcNvexp???2kT??，所以：

0??0.67??13?3ni?300K??1.05?1019?3.9?1018exp????1.62?10cm

?2?0.026?0.76?300???7?3ni?77K??1.37?1018?5.07?1017exp????1.097?10cm

?2?0.026?77?②因为：77K时的电中性条件为n0=nD+ 即

?EC?EFn0?Ncexp???kT0??ND???n?D??ED?EF?1?2exp???kT0??????ND?EC?ED??EC?EF??1?2exp?exp????kTkT00???????

所以：n?0ND?EC?ED?n01?2exp??kT??N0??C

所以：

??EC?EDND?n0?1?2exp??kT0???n0??0.01?300?1017??17??1.66?1017cm?3 ??18??N??10??1?2exp??77?0.026?1.37?10???C?

8.

利用题7所给出的数值及Eg=0.67，求温度为300K和500K时，含施主浓度

ND=5*1015cm-3，受主浓度NA=2*109cm-3的锗中电子及空穴的浓度为多少？ 解：由

3.7

得室温时的Nc?1.05?1019cm?3，Nv?3.9?1018cm?3，

ni?300K??1.62?1013cm?3

而10ni?300K??ND?NA?1018cm?3 所以300K时，杂质已经全部电离 即n0?ND?NA?5?1015cm?3

n所以p0?i?5.2?1010cm?3

n0T=500K时，

332?500?Nc?500K??Nc?300K????300??500?Nv?500K??Nv?300K???300??2?500??1.05?1019????300??500??3.9?10???300??1832?2.26?1019cm?3

322?8.39?1018cm?3

?T24.774?10?4?5002Eg(500K)?Eg(0)??0.7437??0.58eV

T??500?235注意若题目中没有给出? 和 ?的值或者非室温时的禁带宽度，那我们算非室温下的本征载流子浓度的时候就用室温下的禁带宽度就行了

?Eg?0.58?300??191816?3?ni?NcNvexp???2.26?10?8.39?10exp??1.65?10cm???2kT??2?0.026?500?0???ND?NA所以n0?ND?NA?p0

2n0p0?ni

n解得：n0?1.92?10cm,p0?i?1.42?1016cm?3

n016?329.

计算施主杂质浓度分别为1016cm-3，1018cm-3，1019cm-3的硅在室温下的费米能级，并假定杂质是全部电离。再用算出的费米能级核对一下上述假定是否在每一种情况下都成立。计算时，取施主能级在导带底下面0.05eV处。

EC?EF解：因为假定杂质是全部电离，所以n0?Ncexp?????k0T? ???ND?所以，EF?EC?k0TlnND,而室温下硅的Nc?2.8?1019cm?3

NC所以，ND?1016cm?3时，EF?EC?k0TlnND?EC?0.21eV

NCND?1018cm?3时，EF?EC?k0TlnND?EC?0.087eV

NCND?1019cm?3时，EF?EC?k0TlnND?EC?0.027eV

NC1?ED?EF1?2exp???kT0?16?3而nD?ND??????1?EC?ED??EC?EF??1?2exp?exp?kT???kT00????

????所以，ND?10cm时，nD?99.5%，所以假设成立

NDND?10cm时，nD?67.5%，所以假设不成立

ND18?3?ND?10cm时，nD?17.1%，所以假设不成立

ND19?3?

10.

以施主杂质电离90%作为强电离的标准，求掺砷的n型锗在300K时，以杂质电离为主的饱和区掺杂浓度的范围。

解：未电离的施主杂质占杂质数的百分比：

?2ND???ED?D????N??exp??kT???10%

?c??0?其中Nc?1.05?1019cm?3、?ED?0.0127eV，则：

??EDND?10%?exp???kT0??Nc0.0127?1.05?1019?17?3? ??0.1?exp???3.2?10cm???22?0.026????300K时，锗的本征载流子浓度为2.33?1013cm?3，掺杂浓度至少比它大一个数量级才能够保证以杂质电离为主，即：

ND?2.33?1014cm?3

所以：

2.33?1014cm?3?ND?3.2?1017cm?3

13. 解：

77K、300K、500K、800K分别对应硅半导体的低温弱电离区、强电离区、过渡

区和本征激发区。所以：

①77K时的电中性条件为n0=nD+ 即

?EC?EFn0?Ncexp???kT0??ND???n?D??ED?EF?1?2exp???kT0??????ND?EC?ED??EC?EF??1?2exp?exp????kTkT00???????所以： 77K时，

?NN?n0??Dc??2?12??ED?exp???2kT??312?1015?2.8?1019?772?0.044?300?15?3?exp???????1.58?10cm3??2?2?0.026?77?2?300??②300 K时的电中性条件为n0=ND=1015cm-3 ③T=500K时，

?500?Nc?500K??Nc?300K????300??500?Nv?500K??Nv?300K???300??32?500?219?2.8?10???

?300??500?219?1.1?10???

300??3332注意若题目中没有给出? 和 ?的值或者非室温时的禁带宽度，那我们算非室温下的本征载流子浓度的时候就用室温下的禁带宽度就行了1.12eV

?Eg?14?3?接近掺杂浓度 ni?NcNvexp???3?10cm?2kT?0??所以500 K时的电中性条件为n0?ND?p0

联立n0p0?ni 解得：n0?1.045?1014cm?3

2?800?④Nc?800K??Nc?300K????300??800?Nv?800K??Nv?300K???300??3232?800?2?2.8?10???

?300?1933?800?219?1.1?10???

300??注意若题目中没有给出? 和 ?的值或者非室温时的禁带宽度，那我们算非室温下的本征载流子浓度的时候就用室温下的禁带宽度就行了1.12eV

?Eg?17?3?ni?NcNvexp???10cm??ND ?2kT?0??所以800 K时的电中性条件为n0?ni?1017cm?3

17. 解：

T=400K时，

?400?Nc?400K??Nc?300K????300??400?Nv?400K??Nv?300K???300??32?400??2.8?10????300?1932?4.31?1019cm?3

32?400??1.1?1019???300??32?1.69?1019cm?3

?T24.73?10?4?4002Eg(400K)?Eg(0)??1.17??1.1eV

T??400?636注意若题目中没有给出? 和 ?的值或者非室温时的禁带宽度，那我们算非室温下的本征载流子浓度的时候就用室温下的禁带宽度就行了1.12eV

?Eg?1.1?300??191912?3?ni?NcNvexp???4.31?10?1.69?10exp????3.21?10cm?2kT??2?0.026?400?0??接近掺杂浓度

所以对于ND?1013cm?3，本征激发不可忽略，处于过渡区。

n0?p0?NDn0p0?n2i得：

??12?1??1?4?3.21?10132??10???1?213??4ni2?ND?10??n0?1??1?2???2??ND??2??????2????12???1.09?1013cm?3?? ?ni23.21?101212?3p0???1.04?10cmn01.09?1013?ND由EF?Ei?k0Tarsh??2n?i???得： ???2??4001013EF?Ei?0.026?arsh?eV ?2?3.21?1012???Ei?0.0744300??

18. 解：

室温下杂质一半电离，固为重掺杂，应该先判断是否简并 由nD?ND?

?1

21?ED?EF1?2exp???kT0??????1?EC?ED??EC?EF??1?2exp?exp?kT???kT00???????因为EC?ED?0.044eV，所以带入求得EC?EF?0.062eV?2k0T 所以非简并（因为简并不仅与掺杂大小有关，还与材料电离能有关）

?EC?EFn0?Ncexp???kT0??ND ?18?3??2.58?10cm?n?D?2?所以ND?2nD??2n0?5.16?1018cm?3

19. 解：

由EF?EC?ED可知EF位于杂质能级之上，此时杂质应该没有充分电离，因此在

2室温下有可能简并

因为EC?ED?0.039eV，所以EC?EF?EC?即0?EC?EF?0.0195eV?2k0T 所以属于若简并

EC?EF所以n0?2NcF1/2????k0T???2219?3 ????NF?0.75?N?0.4?1.26?10cmc1/2c????EC?ED?0.0195eV?2k0T， 2

由

n0?nD??ND?ED?EF1?2exp???kT0??????ND?EC?ED??EC?EF??1?2exp?exp?kT???kT00???

????得到ND=6.59?1019cm?3

20. 解：

① 由于Ec?EF?k0T，所以此半导体处于弱间并，此时

n0?Nc2?EF?EcF1/2??kT?0??221918?3????NF?1?2.8?10??0.3?9.48?10cmc1/2???????又n0?nD?ND?EF?ED1?2exp??kT0?????，所以

??EF?ED?ND?n0?1?2exp?kT?0???????E?ED???Ec?EF?????n0?1?2exp?c?????????k0T??????

??0.039?0.026??19?3?9.48?1018??1?2?exp??4.07?10cm????0.026??????② 由于杂质浓度不很高，半导体处于非间并状态，n型杂质全电离，

ni?1.5?1010cm?3，本征激发可以忽略，所以

n0?ND?4.6?1015cm?3

ni21.5?10104?3 p0???4.9?10cm15n04.6?10?Ei?EF又 n0?niexp???kT0????，所以 ???2?n0??4.6?1015?EF?Ei?k0Tln??1.5?1010???Ei?0.33eV ?n??＝Ei?0.026?ln????i??Ec?EF或n0?Ncexp???kT0????，所以 ???2.8?1019???4.6?1015???Ec?0.23eV ?＝Ec?0.026?ln?????NcEF?Ec?k0Tln??n?0③ 此时ND?4.6?1015cm?3、NA?5.2?1015cm?3，掺杂浓度不是很高，半导体处于非间并状态，杂质全电离，并且有杂质补偿作用，ni?1.5?1010cm?3，本征激发可以忽略，所以

p0?NA?ND?6?1014cm?3

ni21.5?1010n0??p06?1014??2?3.75?105cm?3

?p0??6?1014?EF?Ei?k0Tln??1.5?1010???Ei?0.28eV ?n??＝Ei?0.026?ln????i?或

?NvEF?Ev?k0Tln??p?0??1.1?1019??6?1014?＝Ev?0.026?ln???????Ev?0.26eV ?④ 当温度升高到500K时，查表得ni?4?1014cm?3，本征激发不可忽略，此时

N?ND?NA?ND??4np0?A?22?8?1014cm?32?2i?126?106?10??214??142??4?4?102?142??12

ni24?101414?3 n0???2?10cm14p08?10

??221. 解：

由电中性条件n0=nD+

即

n0?2?EC?EFNcF1/2???k0T???ND???n?D??ED?EF?1?2exp???kT0??????ND?EC?ED??EC?EF??1?2exp?exp?kT???kT00???????因为弱简并条件是0?EC?EF?2k0T 所以开始发生弱简并时有EC?EF?2k0T 所以：?? 所以：

EF?EC??2,F1/2????0.1 k0T??EC?ED??EC?EF??Nc?1?2exp?exp????kTk0T?0??????2?0.044??Nc?1?2exp??exp??2???0.1??0.026???ND?217???EC?EF??F??1/2???kT0???????

?1017??0.01?300?10??1?2exp??1.66?1017c??18??77?0.026?1.37?10??对于硅ND???2?0.044?18?3?2.8?1019?1?2exp??exp??2???0.1?7.81?10cm 3.14?0.026?????2?0.012?18?3?1.05?1019?1?2exp??exp??2???0.1?1.69?10cm 3.14?0.026???对于锗ND?

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