高等代数试题

第一章 多项式

§1.1一元多项式的定义和运算

1．设f(x),g(x)和h(x)是实数域上的多项式．证明：若是

222f(x)?xg(x)?xh(x)(6) ，

那么f(x)?g(x)?h(x)?0.

2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式f(x),g(x)和h(x). 3．证明：

1?x?x(x?1)x(x?1)...(x?n?1)???(?1)n2!n!(x?1)...(x?n)?(?1)nn!

§1.2 多项式的整除性

1．求f(x)被g(x)除所得的商式和余式：

432f(x)?x?4x?1,g(x)?x?3x?1; ( i )

5323(ii) f(x)?x?x?3x?1,g(x)?x?3x?2; k2．证明：x|f(x)必要且只要x|f(x).

3．令f1(x),f2?x?,g1?x?,g2?x?都是数域F上的多项式，其中f1?x??0且

g1?x?g2?x?|f1?x?f2?x?,f1?x?|g1?x?.证明：g2?x?|f2?x?.

42m,p,qxx?mx?14．实数满足什么条件时多项式能够整除多项式?px?q. nn5．设F是一个数域，a?F.证明：x?a整除x?a.

6．考虑有理数域上多项式

f?x???x?1?k?n??2x??x?1?k?n?1????2x??x?1?,

kn这里k和n都是非负整数．证明：

xk?1|?x?1?f?x???x?1?nd7．证明：x?1整除x?1必要且只要d整除n.

k?n?1.

§1.3 多项式的最大公因式

1. 计算以下各组多项式的最大公因式：

43232( i ) f?x??x?3x?x?4x?3,g?x??3x?10x?2x?3;

4322(ii) f?x??x?(2?2i)x?(2?4i)x?(?1?2i)x?1?i,g?x??x?(1?2i)x?1?i.

2. 设f?x??d?x?f1?x?,g?x??d?x?g1?x?.证明：若(f?x?,g?x?)?d?x?,且f?x?和

g?x?不全为零，则(f1?x?,g1?x?)?1;反之，若(f1?x?,g1?x?)?1,则d?x?是f?x?与g?x?的一个最大公因式．

3. 令f?x?与g?x?是F[x]的多项式，而a,b,c,d是F中的数，并且

ad?bc?0

证明：

(af?x??bg?x?,cf?x??dg?x?)?(f?x?,g?x?).

4． 证明：

（i）(f,g)h是fh和gh的最大公因式； （ii）(f1,g1)(f2,g2)?(f1f2,f1g2,g1f2,g1g2), 此处f,g,h等都是F[x]的多项式。

4324325． 设f?x??x?2x?x?4x?2,g?x??x?x?x?2x?2都是有理数域

Q上的多项式。求u?x?,v?x??Q[x]使得

f?x?u?x??g?x?v?x??(f?x?,g?x?).

6． 设(f,g)?1,令n是任意正整数，证明：(f,gn)?1由此进一步证明，对于任意正整数m,n，都有(fm,gn)?1.

7． 设(f,g)?1证明：

(f,f?g)?(g,f?g)?(fg,f?g)?1.

8． 证明：对于任意正整数n都有(f,g)n?(fn,gn).

9． 证明：若是f(x)与g(x)互素，并且f(x)与g(x)的次数都大于0，那么

v(x)定理2.3.3里的u(x)与v(x)可以如此选取，使得u(x)的次数低于g(x)的次数，

的次数低于f(x)的次数，并且这样的u(x)与v(x)是唯一的。

2210． 决定k，使x?(k?6)x?4k?2与x?(k?2)x?2k的最大公因式是一

次的。

11． 证明：如果(f(x),g(x))?1那么对于任意正整数m，

?f?x?,g?x???1

mm12． 设f(x),g(x)是数域P上的多项式,f(x)与g(x)的最小公倍式指的是

P[x]中满足以下条件的一个多项式m(x)：

?a?f(x)|m(x)且g(x)|m(x)；

?b? 如果h(x)?P[x]且f(x)|h(x),g(x)|h(x)，那么m(x)|h(x).

?i? 证明：P[x]中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式

的差别外，是唯一的。

?ii? 设f(x),g(x)都是最高次项系数是

1的多项式，令?f(x),g(x)?表示f(x)和

g(x)的最高次项系数是1的那个最小公倍式,证明

f?x?g?x???f?x?,g?x???f?x?,g?x??

13． 设g(x)|f1(x)?fn(x)并且(g(x),fi(x))?1,i?1,2,?,n?1证明：

g(x)|fn(x).

14． 设f1(x),f2(x),?,fn(x)?P[x]证明：

?i??f1?x?,f2?x?,?fn?x?????f1?x?,f2?x?,?fk?x??,?fk?1?x?,?,fn?x???,1?k?n?1. ?ii?f1(x),f2(x),?,fn(x)互素的充要条件是存在多项式

u1(x),u2(x),?,un(x)?P[x] 使得

f1?x?u1?x??f2?x?u2?x???fn?x?un?x??1

15． 设f1(x),?,fn(x)?P[x],令

I??f1?x?g1?x???fn?x?gn?x?gi?x??F[x],1?i?n?.

比照定理1.4.2，证明：f1(x),?,fn(x)有最大公因式．[提示：如果f1(x),?,fn(x)不全为零，取d(x)是I中次数最低的一个多项式，则d(x)就是f1(x),?,fn(x)的一个最大公因式．] §1.4 多项式的分解

1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：

?i? 3x2?1; ?ii?x3?2x2?2x?1.

42. 分别在复数域，实数域，有理数域上分解多项式x?1为不可约因式的乘

积.

3. 证明： g2(x)|f2(x)当且仅当g(x)|f(x). 4.

?i? 求 f?x??x5?x4?2x3?2x2?x?1在Q[x]内的典型分解式；

?ii? 求f?x??2x5?10x4?16x3?16x2?14x?6在R[x]内的典型分解式

5.证明：数域P上一个次数大于零的多项式f(x)是P[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意g(x)?P[x],或者(f(x),g(x))?1,或者存在一个正整数m使得f(x)|gm(x).

6．设p(x)是P[x]中一个次数大于零的多项式.如果对于任意

f(x),g(x)?F[x]只要p(x)|f(x)g(x)就有p(x)|f(x)或p(x)|g(x)那么p(x)不可

约.

§1.5 重因式

1. 证明下列关于多项式的导数的公式：

?i? ?f?x??g?x????f??x??g??x?;

?ii? ?f?x?g?x????f??x?g?x??f?x?g??x?.

2. 设p(x)是f(x)的导数f?(x)的k?1重因式.证明：

?i?

p(x)未必是f(x)的k重因式；

p(x)是f(x)的k重因式的充分且必要条件是p(x)|f(x).

?ii?

3. 证明有理系数多项式

x2xnf?x??1?x???2!n!

没有重因式.

4.a,b应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？

?i? x3?3ax?b;

?ii? x4?4ax?b.

5. 证明：数域P上的一个n次多项式f(x)能被它的导数整除的充分且必要

条件是

f?x??a?x?b?，

n这里的a,b是P中的数

§1.6 多项式函数 多项式的根

5431．设f(x)?2x?3x?5x?1,求

f(3),f(?2).

2．数环R的一个数c说是f(x)?R[x]的一个k重根,如果f(x)可以被(x?c)k整除,但不能被(x?c)k?1整除.判断5是不是多项式

f(x)?3x5?224x3?742x2?5x?50

的根.如果是的话,是几重根?

32323．设2x?x?3x?5?a(x?2)?b(x?2)?c(x?2)?d

求a,b,c,d [提示:应用综合除法．]

4．将下列多项式f(x)表成x?a的多项式.

(i)f(x)?x5,a?1;

(ii)f(x)?x4?2x2?3,a??2.

5．求一个次数小于4的多项式f(x),使

f(2)?3,f(3)??1,f(4)?0,f(5)?2

6．求一个2次多项式,使它在x?0,?2,?处与函数sinx有相同的值.

27．令f(x),g(x)是两个多项式,并且f(x3)?g(x3)可以被x?x?1整除.

证明

f(1)?g(1)?0.

8．令c是一个复数,并且是Q[x]中一个非零多项式的根,令

J?{f(x)?Q[x]|f(c)?0}

证明:(i)在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式p(x),使得J中每一多项式

f(x)都可以写成p(x)q(x)的形式,这里q(x)?Q[x]. (ii)p(x)在Q[x]中不可约.

如果c?2?3,求上述的p(x) [提示:取p(x)是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式.]

n9．设C[x]中多项式f(x)?0且f(x)|f(xn)f(x)|f(x),n是一个大于1的整

数.

证明:f(x)的根只能是零或单位根.

nnn[提示:如果c是f(x)的根,那么c,c,c,?都是f(x)的根.]

23§1.7 复数和实数域上多项式

nn?11．设n次多项式f(x)?a0x?a1x???an?1x?an的根是?1,?2,?,?n.求

(i)以ca1,ca2,?,can为根的多项式,这里c是一个数;

1(ii)以?1?2,1,?,1?n(假定?1,?2,?,?n都不等于零)为根的多项式.

2．设f(x)是一个多项式,用f(x)表示把f(x)的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明:

(i)若是g(x)|f(x),那么g(x)|f(x);

(ii)若是d(x)是f(x)和f(x)的一个最大公因式,并且d(x)的最高次项系数是1,那

么d(x)是一个实系数多项式).

3．给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.

n4．在复数和实数域上,分解x?2为不可约因式的乘积.

5．证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §1.8 有理数域上多项式

1．证明以下多项式在有理数域上不可约:

(i)x4?2x3?8x?10;

(ii)2x5?18x4?6x2?6; (iii)x4?2x3?2x?3;

(iv)x6?x3?1.

2．利用艾森斯坦判断法,证明:若是p1,p2,?,pt是t个不相同的素数而n是一

n个大于1的整数,那么p1p2?pt是一个无理数.

3．设f(x)是一个整系数多项式.证明:若是f(0)和f(1)都是奇数,那么f(x)不能有整数根.

4．求以下多项式的有理根:

(i)x3?6x2?15x?14; (ii)4x4?7x2?5x?1; (iii)x5?x4?531x?2x2?x?322.

§1.9多元多项式

1．写出一个数域F上三元三次多项式的一般形式. 2．设f(x1,?,xn)是一个r次齐次多项式.t是任意数.证明

f(tx1,?,txn)?trf(x1,?,xn).

3．设f(x1,?,xn)是数域F上一个n元齐次多项式,证明:如果

f(x1,?,xn)?g(x1,?,xn)h(x1,?,xn),则g,h也是n元齐次多项式.

3334．把多项式x?y?z?3xyz写成两个多项式的乘积.

5．设F是一个数域.f,g?F[x1,?,xn]是F上n元多项式.如果存在

h?F[x1,?,xn]使得f?gh,那么就说g是f的一个因式.或者说g整除f.

(i)证明,每一多项式f都可以被零次多项式c和cf整除,c?F,c?0.

(ii)f?F[x1,?xn]说是不可约的,如果除了(i)中那两种类型的因式外,f没有其

2它的因式.证明,在F[x,y]里,多项式x,y,x?y,x?y都不可约.

(iii)举一反例证明,当n?2时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.

(iv)f,g?F[x1,?,xn]说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零

的公共因式.证明x,y?F[x,y]是互素的多项式.能否找到u(x,y),v(x,y)?F[x,y]

使得xu(x,y)?yv(x,y)?1? §1.10 对称多项式

1．写出某一数环R上三元三次对称多项式的一般形式.

2．令R[x1,x2,?,xn]是数环R上n元多项式环,S是由一切n元对称多项式所组成的R[x1,?,xn]的子集.证明:存在R[x1,?,xn]到S的一个双射.[提示：利用对称多项式的基本定理，建立R[x1,?,xn]到S的一个双射]

3．把下列n元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：

(i)?xx312；(ii)?x4；(iii)?x22123xx．

324．证明：如果一个三次多项式x?ax?bx?c的一个根的平方等于其余两

个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系：

a4(a2?2b)?2(a3?2ab?2c)2

5．设?1,?2,?,?n是某一数域Ｆ上多项式

xn?a1xn?1???an?1x?an

在复数域内的全部根．证明：?2,?,?n的每一个对称多项式都可以表成Ｆ上关于

?1的多项式．［提示：只需证明?2,?,?n的初等对称多项式可以表成Ｆ上关于?1的多项式即可．］

第二章 行列式

§2.1行列式定义

1．计算下列排列的反序数：

(i)523146879； (ii)n,n?1,?,2,1;

(iii)2k,1,2k?1,2,?,k?1,k.

2．假设n个数码的排列i1,i2,?,in的反序数是k,那么排列in,in?1,?,i2,i1的反

序数是多少？

3．写出4个数码的一切排列． §2.2 n阶行列式

1．确定六阶行列式

a11a21?a12a22?a62?a16?a26???a66

D=a61中以下各乘积的符合：

?i?a23a31a42a56a14a65;a11?a14???ii?a21a13a32a55a64a46.

2．写出下列四阶行列式a41?a44中一切带有负号且含元素a23的项。

a11a21a31??3．证明：n阶行列式an14．考察下列行列式：

a11D?a21?an1a12a22?0a22a32??an20000??00a330?0????????an3??ann?a11a22?ann

?a1n?a2n??D1?a1i1a2i1?ani1a1i2a2i2?ani2?a1in?a2in???aninan2?ann，

，

其中i1,i2,?,in是1,2,?,n这n个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？

x?aaa?5．计算n阶行列式aax?aa?aa?aaaa?x?a??a???x?a

a2b2c22d6．计算行列式

?a?1?2?b?1?2?c?1?2?d?1?2?a?2?2?b?2?2?c?2?2?d?2?2?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2

7．证明：行列式

b?cb1?c1b2?c2c?ac1?a1c2?a2a?babb1b2cc1c2

a1?b1?2a1a2?b2a28．设在n阶行列式

a11D?a21?an1a12a22??a1n?a2n??

an2?ann

D?0. 中，aij??aji,i,j?1,2,?,n.证明：当n是奇数时，§2.3 子式和代数余式 行列式的依行依列展开

10?1?10?1?11abcd0 1．把行列式?1?11依第三行展开，然后加以计算．

2．计算以下行列式:

12?i?3423413412141;231111234?ii?;1361014102014916491625;9162536162536490a21?a2?00???00b00a3?000b0??0000?iii?1a1?11?a1?iv?0?000a0?1?0000a?00;????1?an?1an??11?anb00a00?v??00b??????;(2n阶)0b?a00b0?0a000?00aa3a3??anan?vi?1?a1a2a11?a2a1?1a1012a2?a21011?a3?an;???a3?1?an210321?n?1?n?2?n?3;?0

?vii??????n?1n?2n?3n?4?

1?a1?1a21?a2?1?000a3??000??1000?an1?an?viii?0?001?a3???00??1?an?1

提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。

3．令

fi(x)?aioxi?ai1xi?1???ai,i?1x?aii.

f0(x1)f1(x1)?f0(x2)f1(x2)????f0(xn)f1(xn)?fn?1(xn)。

计算行列式fn?1(x1)§2.4 克拉默规则

fn?1(x2)?1．解以下线性方程组：

?i?x1?x2?2x3?3x4?1,3x1?x2?x3?2x4??4,2x1?3x2?x3?x4??6,x1?2x2?3x3?x4??4.(ii)x1?x2?x3?x4?0,x2?x3?x4?x5?0,x1?2x2?3x3?2,x2?2x3?3x4??2,x3?2x4?3x5?2.

2．设a1,a2,?,an?1是n?1个不同的数, b1,b2,?,bn?1是任意n?1个数,而多项式

f(x)?c0?c1x???cnxn

有以下性质: f(ai)?bi,i?1,2,?,n?1.用线性方程组的理论证明, f(x)的系数

c0,c1,?,cn是唯一确定的,并且对n?2的情形导出拉格朗日插值公式.

nf(x)?c?cx???cx01n3．设.用线性方程组的理论证明,若是f(x)有n?1个不同的根,那么f(x)是零多项式.

第三章 线性方程组

§3.1 消元法

1．解以下线性方程组：

(i)x1?2x2?x3?x4?1,x1?2x2?x3?x4??1,x1?2x2?x3?x4?5;(ii)2x1?x2?3x3?3,3x1?x2?5x3?0,4x1?x2?x3?3,x1?3x2?13x3??6.

2．证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。

a11a21D??a12a22??a1n?a2n??3．设n阶行列式

an1an2?ann?0.

?a11??a21????a证明：用行初等变换能把n行n列矩阵?n1a12a22?an2?a1n???a2n??????ann??化为

?10?0???01?0??n行n列矩阵?????????00?1???。

4．证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把n行n列矩阵

?a11??a21????a?n1a12a22????an2??10?00???a1n?01?00???a2n?n行n列矩阵????????????00?10???00?0D?ann??化为??．

§3.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法

1．对第一和第二种行初等变换证明定理4.2.1． 2．利用初等变换求下列矩阵的秩：

?21112??1????104?1??1?114565?;.?1????2?15?6??1???12342537495117??10?13??16??

3．证明：一个线性方程组的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大1． 4．证明：含有n个未知量n?1个方程的线性方程组

a11x1???a1nxn?b1,?????????an1x1???annxn?bn,an?1,1x1???an?1,nxn?bn?1

有解的必要条件是行列式

a11?an1???a1n?annb1?bnbn?1?0.an?1,1?an?1,n

这个条件不是充分的，试举一反例．

方程组 5．?取怎样的数值时，线性?x1?x2?2x3?3x4?2,?2x1?3x2?2x3?x4??1,?3x1?x2?2x3?x4??1,

有解？

6．?取怎样的数值时，线性方程组

?x1?x2?x3?1,x1??x2?x3??,x1?x2??x3??2

有唯一解，没有解，有无穷多解？ §3.3 线性方程组的公式解

1．考虑线性方程组：

x1?x2?a1,x3?x4?a2,x1?x3?b1, x2?x4?b2,

，并且它的系数矩阵的秩是3． 这里a1?a2?b1?b2.证明：这个方程组有解组：2．用公式解法解线性方程

x1?2x2?x3?x4?1,x1?2x2?x3?x4??1,x1?2x2?x3?5x4?5.

3．设线性方程组：

a11x1?a12x2???a1nxn?b1,a21x1?a22x2???a2nxn?b2,?????????????（9） am1x1?am2x2???amnxn?bm, 有解，并且添加一个方程：

a1x1?a2x2???anxn?b,

于方程组（9）所得的方程组与（9）同解．证明：添加的方程是（9）中m个方程的结果．

4．设齐次线性方程组

a11x1?a12x2???a1nxn?0,a21x1?a22x2???a2nxn?0,????????????an1x1?an2x2???annxn?0

的系数行列式D?0，而D中某一元素aij的代数余子式Aij?0．证明：这个方程

组的解都可以写成

kAil,kAi2,?,kAin

的形式,此处k是任意数.

5．设行列式

a11a21a12a22?a1n?a2n?????0an1an2?ann

令Aij是元素aij的代数余子式.证明:矩阵

??A11A21?An1??AA?A??1222n2?????????A1nA2n?A?nn??

的秩?1．

第四章 矩 阵

§4.1 矩阵的运算

1．计算

??123???246???1?2?4??1?2?4??????369????124??；

?13?2???3?102???01?3?????201?4?????305???2?14???；??b1??b??a1??a2??a?1,a2,?,an???????2?????b1,b2,????bn??；

??a?n????121??231??1?012???110??21?012????????311????12?1????311??．

bn?；

2．证明，两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A．

3．可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：

???b,b2j,?,bb?nj是B的第j列，(i) 设B=(ij)是一个n?p矩阵．令j=1j?????x,x,?,x12pj=1,2,…,p．又设是任意一个p?1矩阵．证明：

B?=x1?1?x2????xp?p．

(ii)设A是一个m?n矩阵．利用(i)及习题2的结果，证明：

A(B?)=(AB)?．

(iii)设C是一个pxq矩阵．利用(ii)，证明：

A(BC)=(AB)C．

4．设

?0

??0?0??0A=?

证明：当且仅当

10000100

0??0?1??0??

?a??0?0??B=?0时，AB=BA。

ba00cd??bc?ab??0a??

5．令Eij是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵．求EijEkl． 6．求满足以下条件的所有n阶矩阵A (i)AEij?EijAi,j=1,2,…,n, (ii)AB=BA

这里B是任意n阶矩阵。

7．举例证明，当AB=AC时，未必B=C．

8．证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BA≠I．[提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和]

9．令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：

(I?A)(I?A?A2???Am?1)=I?Am

10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且B?B?,C??C? §4.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式

1．设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？

2．证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵． 3．求下列矩阵的逆矩阵：

?12?1????cos??sin??34?2??;??sin?cos???;??5?31????1??11??2?2?21ww?isin.??,w?cos33?1w2w???

m4．设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得A?O

(i) 证明I?A可逆，并且

(I?A)?1?I?A???Am?1

(ii)求矩阵

?1?12?34????01?12?3??001?12???01?1??00?00001???

的逆矩阵。

5．设

?ab?A???cd??,ad?bc?1.??

证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积．

6．令A?是n阶矩阵A的伴随矩阵，证明

detA??(detA)n?1.

(区别detA≠0和detA=0两种情形)

7．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB可逆,则A和B都可逆． 8．设A和B都是n阶矩阵．证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵． 9．证明，一个n阶矩阵A的秩≤1必要且只要A可以表为一个n?1矩阵和一个1?n矩阵的乘积．

10.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和． 11．设A是一个n?n矩阵，??(b1,b2,?,bn)?,??(x1,x2,?,xn)?都是n?1

i(A????)表示以?代替A的第i列后所得到的n?n矩阵． 矩阵．用记号

iiA???A(I????)?(A????),i?1,2,?,n,I是n(i)线形方程组可以改写成

阶单位矩阵．

(ii)当detA≠0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则． §4.3 矩阵的分块

1．求矩阵

?100??2??200???3?31?193?4?????2314?23???

的逆矩阵．

2．设A，B都是n阶矩阵，I是n阶单位矩阵，证明

?ABO??I??BO???????O3．设

A??I????I???OA??OO????.???I??BBA?

?IrS???K?都是n=r+s阶矩阵，而

O??Ir??,T???OIs??K??Is??

?A1A???A?3A2??A4??

是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法．求SA,AS,TA和AT.有此能得出什

么规律？

4．证明，2n阶矩阵

?AO???OA?1????

总可以写成几个形如

?IP??IO???OI??,??QI??????

的矩阵的乘积．

5．设

?A1O?O????OA2?O?A??????????OO?A?s? ?是一个对角线分块矩阵．证明:

detA?(detA1)(detA2)?(detAs)

6．证明，n阶矩阵

?AO???CB????

的行列式等于(detA)(detB)

7．设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA≠0并且AC=CA，证明

?AB?det??CD???det(AD?CB).?? 第五章 二次型

§5.1 习题

1．证明，一个非奇异的对称矩阵必与它的逆矩阵合同．

2．对下列每一矩阵A，分别求一可逆矩阵P，使P?AP是对角形式：

?121???A??211?;?113??? (i)

例4、确定m的值使多项式f(x)?x5?3x4?8x3?11x?m能够被x-1整除。 解：依题意f(x)含有因式x-1，故f(1)?0。

∴1－3＋８＋11＋ｍ＝０。可得ｍ＝－17。

求一个关于x的二次多项式，它的二次项系数为1，它被x-3除余1，且它被x-1除和被x-2除所得的余数相同。

解：设f(x)?x2?ax?b

∵f(x)被x?3除余1，∴f(3)?9?3a?b?1 ∵

f(x)①

被x?1除和x?2除所得的余数相同，∴

f(1)?f(2)即1?a?b?4?2a?b ②

由②得a??3，代入①得b?1 ∴f(x)?x2?3x?1。

注：本例也可用待定系数法来解。同学们不妨试一试。

即：x2?ax?b?(x?1)(x?m)?R?(x?2)(x?n)?R?(x?3)(x?p)?1 由(x?1)(x?m)?R?(x?2)(x?n)?R，可得m??2,n??1 再由(x?2)(x?1)?R?(x?3)(x?p)?1，解得p?0。 ∴f(x)?x2?3x?1。 练习：

1、综合除法分别求下面各式的商式和余式。 （1）(3x4?4x3?5x2?6x?7)?(x?2)； （2）(x5?6x4?9x3?14x?8)?(x?4)；

（3）(x3?(a?b?c)x2?(ab?bc?ca)x?abc)?(x?a)； （4）(9x4?5x2y2?8y4?8xy3?18x3y)?(3x?2y)； （5）(2x4?7x3?16x2?15x?15)?(X2?2x?3)； （6）(x6?x5?12x3?7x)?(x3?3x2?5x?2)

2、一个关于x的二次多项式f(x)，它被x-1除余2，被x-3除余28，它可以被x+1整

除，求f(x)。

3、一个整系数四次多项式f(x)，有四个不同的整数?1,?2,?3,?4，可使

f(?1)?1,f(?2)?1,

f(?3)?1,f(?4)?1，求证：任何整数?都不能使f(?)??1。

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