§3.1.1__两角和与差的余弦

第 1 课时：§3.1.1 两角和与差的余

弦

亳州五中 王素芳

【三维目标】： 一、知识与技能

1.掌握用向量方法推导两角差的余弦公式，进一步体会向量方法的作用；

2.用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用；

3.能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明

二、过程与方法

1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数的联系；

2.通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量法作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数；讲解例题，总结方法，巩固练习.

三、情感、态度与价值观

1.创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.

2.通过本节的学习，使同学们对两角和与差的三角函数

有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角的各种变形，提高逆用思维的能力. 【教学重点与难点】：

重点: 两角和与差的余弦公式的推导及其应用. 难点: 两角差的余弦公式的推导. 【学法与教学用具】： 1. 学法：

(1)自主性学习法：通过自学掌握两角差的余弦公式. (2)探究式学习法：通过分析、探索、掌握两角差的余弦公式的过程.

(3)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 2. 教法：启发式教学

3.教学用具：多媒体、实物投影仪. 【授课类型】：新授课 【课时安排】：1课时 【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1．数轴两点间的距离公式：MN?x1?x2．

2．点P(x,y)是?终边与单位圆的交点，则sin??y,cos??x．

二、研探新知

两角和的余弦公式的推导（向量法）：

把cos(???)看成两个向量夹角的余弦，考虑用向量的数量

积来研究。

在直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边分别作角?,?，其终边分别与单位圆交于P1(cos?,sin?),P2(cos?,sin?)，则?P1OP2????由于余弦函数是周期为2?的偶函数，所以，我们只需考虑

0??????的情况。

设向量a=OP1????(cos?,sin?),b=OP2?(cos?,sin?),

???则 a?b=|a||b|cos(???)=cos(???) 另一方面，由向量数量积的坐标表示，有

a?b=cos?cos??sin?sin?,所以

cos(???)=cos?cos??sin?sin? 这就是两角差的余弦公式。 【探究】：

如图3-1-2，在直角坐标系xOy中，单位圆O与x轴交于

P0，以Ox为始边分别作出角?,?,???，其终边分别和单位圆交

于P1,P2,P3，由P0P3?P2P1，你能否导出两角差的余弦公式？ 在公式

co??s?(?C(???)??????中用

??代替

?，就得到

)?cso?i?snc?C(???．（?)）

这就是两角和的余弦公式 【说明】：

公式C(???)对于任意的?,?都成立。 【思考】：

“用??代替?”的换元方法体现在图形上具有什么几何意义？你能直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式

吗？

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1（教材P92例1）利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：

（1）cos(???)?sin?； （2）sin(???)?cos?

22例2（教材P93例2）利用两角和（差）的余弦公式，求

cos750,cos150,sin150,tan150。

【举一反三】：

1. 求值：（1）cos1950 （2）cos540cos360?sin540sin360 （1）cos195???cos(180?15)??cos15??(cos45cos30?sin45sin30)

6?24

（2）cos54cos36?sin54sin36?cos(54?36)?0．

【点评】：把一个具体角构造成两个角的和、差形式，有很多种构造方法，例如：cos15?cos?60?45?，要学会灵活运用.

【思考】：你会求① cos105?、②sin750、③cos150、④cos?cos3??sin?sin3?的值吗?

510510例3（教材P93例3）已知sin??2,??(?,?),cos???3,??(?,3?)，

3252求cos(???)的值

【思考】：在上例中，你能求出sin(???)的值吗？ 【举一反三】：

1.已知cos???3 , ??(?,?),求cos(?524??)的值.

45?????，???,??,cos???,?是第三象限角，求2.已知sin5?2?13co?s????的值.

提示：注意角?、?的象限，也就是符号问题. 3. 已知cos(2α-β)=-11,sin (α-2β)=41437,且?<α

4

94五、归纳整理，整体认识

本节我们学习了两角和与差的余弦公式，要求同学们掌握公式C(???)的推导，能熟练运用C(???)公式，注意C(???)公式的逆用。在解题过程中注意角?、?的象限，也就是符号问题，学会灵活运用.

六、承上启下，留下悬念

1.用两点距离公式推导两角和与差的余弦公式。 2.预习两角和与差的正弦

七、板书设计（略）

教学反思

经过较为深入的思考，我对这节课制定了如下教学目标：知识目标是掌握两角和与差的余弦公式的推导，并能初步运用公式解决求值问题；能力目标是培养学生数形结合的数学思想，学会探究获取新知识的数学能力.

结合平时教学实践，我认为目前我所教学的班级学生中有一部分学生在学习上存在不同程度的困难心理,主要表现在以下几方面：

1、思维质量不高。这些学生学习只重结果、轻过程，也就是说他们的学习活动缺少整个的学习过程这一环节，只在乎别人的评价。在学习过程中他们懒于动脑，很少或者根本没有预、复习的习惯，上课止于老师讲什么我学什么，被动接受老师提供的现成答案，不能积极主动地思维，更缺乏创新意识和创造精神，学习停留在机械记忆的低水平状态。2、意志薄弱。现在的中学生多是独生子女，所处环境比较优越，从小缺乏艰苦的锻炼，因此表现在心理品质上为严重的意志薄弱，一是怕吃苦；二是怕难，做题只拣简单的做，遇难就退；三是心理脆弱，抗挫性差，遇到一次挫折便一獗不振；

学习惰性强，只依靠老师或别人解决困难，不去想办法自己解决困难。因此，我把教学的情感目标定为借助同角三角比知识的铺垫与教师的层层诱导，切实关注困难学生。 围绕这一课题，我设计了如下教学步骤：

1、创设情境；将已有知识“同角三角比”过渡到“不同角三角比”，激发学生探究“两角和与差的余弦”的兴趣。2、借助于网络插件，与学生共同探究“两角和与差的余弦展开式”。3、应用举例；关注角度与三角比。4、课堂小结。5、作业布置。

试讲后，在组内专家们的点评、指导下，我对教学计划做了修改。首先，理顺本节课在教材中的地位：由“同角三角比”过渡到“不同角三角比”，推导出的两角和的余弦展开式为后续内容的基础。其次，重视公式的推导过程，并花必要的时间突破本节课的教学重点与难点。在推导过程中，改进“单位圆的引入及作用”的教学过程。对于[练习，改变跨度过大的安排，采用层层递进，并在教学中注意分解难点。 经过认真准备之后，我信心十足地走进了课堂。并在全班同学的积极配合下，顺利地完成了教学任务。反思整个过程，教学安排上，任意角终边与单位圆的交点坐标的明确指出为后续推导扫清了障碍。这一改进措施是有效的。但是“单位圆”的点明稍显突兀，值得我课后再次深入理解教材安排。角的出现，老师引导过于直接，可以尝试让学生自主探索，

自然过渡。针对一部分学生遗忘两点之间距离公式，如何在课堂上帮助他们有效记忆，达到把握课堂、灵活应变，值得思考。从学生课堂即时反馈来看，创设情境和教学插件引起了他们的学习兴趣，他们中的大部分能主动地关注公式推导过程，而不仅仅停留在记忆结论上。部分平时学习较为被动，存在学习困难的学生，在这堂课上做到了积极思维，主动探究。甚至个别学生的表现出乎我的意料。

通过这次的教学实践，我感到，要想改进教学，提高课堂效率，作为教师首先必须认真钻研教材，明确每节课“教什么”、“怎么教”。时时注意调动学生自主学习的积极性，充分体现学生的主体地位。同时教师的主导作用能否有效实现，将取决于“课堂设问的艺术”。

针对学习困难学生，我将从提倡互助与协作、遵循因材施教原则、正确认识适量训练、激发学生的学习兴趣、让学生获得成功的体验、培养学生良好的学习态度等几方面入手，因人而异，力争做到关注有效。

贯彻“以学生发展为本”的原则，是“二期课改”最根本的精神。只有把学生的发展放在心中，才是我们教学所要追求的，才能守住教学永远不应该改变的东西：把学生放在心中，让学生在“教”与“学”中得到充分地、主动地发展。 亳州五中 季旭

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