湖南省十校联考理科数学试题
命题人：刘菊秋 南方中学
谭祖荣 衡阳一中 何华清 涟源一中 黄小红 株洲县五中
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)
1、已知A?{y|y?log2x,x?1},B?{y|y?(),x?1},则A?B? 2、
A．? B．（??,0）
C．(0,1)
212xD．（??,1） 2????????????３、已知平面上三点A、B、C满足AB?3，BC?4，CA?5，则???????????????????????? AB?BC?B?CC?AC?的值等于AA．25 B．24 C．－25 D．－24
４、设a，b，c是空间三条直线，?，?是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是
A．当c⊥?时，若c⊥?，则?∥?
B．当b??时，若b⊥?，则???
C．当b??，且c是a在?内的射影时，若b⊥c，则a⊥b D．当b??，且c??时，若c∥?，则b∥c 5、函数y=f(x)与y=g(x)的图象如下图：
y y y=f(x) y=g(x) x
O x O 则函数y=f(x)g(x)的图象可能为
y y y x x x O O O (1?i)(?2?i)? 3iA．3?i B．?3?i
C．?3?i D．3?i
y O x A B C D 6、 在?ABC中,已知(a2?b2)sin(A?B)?(a2?b2)sin(A?B),则?ABC的形状 A.等腰三角形 B. 直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7、 若(xx–等于 A．1 B．
1615–1–2– n
)的展开式中的第五项是, 设Sn = x + x + ? + x , 则limSn
n??x2111 C． D．
426A1D1C1B1
DPBCA8、如右图所示，在单位正方体ABCD?A1B1C1D1 的面对角线A1B上存在一点P使得AP?D1P最 短，则AP?D1P的最小值为
2?6 C．2?2 D． 2?2 29、椭圆ax2?by2?1与直线y?1?x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率
A．2 B．为
a3，则 值
b23239323A． B． C． D．
2322710．由正方体的八个顶点中的两个所确定的所有直线中，取出两条，这两条直线是异面直线
的概率为
A．
2929344 B． C． D． 18963763二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
?0?x?2?11、在条件?0?y?2下, Z?(x?1)2?(y?1)2的取值范围是________ 。
?x?y?1?12、将函数y=f(x)sinx的图象向右平移
42
y=1－2sinx, 则f(x)＝________. 13、已知f(3)?4,f?(3)?1,则?个单位后，再作关于x轴对称的曲线，得到函数
4x?3f(x)=_________. limx?3x?314、在数列?an?中,a1?6,且对任意大于1的正整数n,点an,an?1在直线x?y?6上，数列?an?的前n项和记为Sn，则
??lim(n?1)n??Sn3? 。
1?f(x), 若f ( 1 ) = 2 +
1?f(x)15、已知f ( x )是定义在实数集上的函数，且f ( x + 2) =3,
则f ( 2005) = .
三、解答题（本大题共6个小题，共80分）
16．（本小题满分12分）已知向量m=（sinB，1－cosB)，且与向量n?（2，0）所成角为，其中A, B, C是⊿ABC的内角． 3 （1）求角Ｂ的大小； （2）求sinA+sinC的取值范围．
17、（本小题满分12分）下表为某体育训练队跳高成绩的分布，共有队员40人，成绩分为1~5五个档次，例如表中所示跳高成绩为4分，跳远成绩为2分的队员为5人。将全部队员的姓名卡混合在一起，任取一张，该卡片队员的跳高成绩为x，跳远成绩为y，设x，y为随即变量（注：没有相同姓名的队员）
（1）求x?4的概率及x?3且y?5的概率；
?
（2）求m?n的值；若y的数学期望为
105，求m，n的值. 402 0 5 4 0 1 1 1 1 3 y x 跳 高
5 4 3 2 1 5 1 1 2 1 0 跳 远 4 3 0 1 3 1 2 0 6 1 m 0 n 3 18、（本题满分14分）已知梯形ABCD中，AD∥BC，?ABC??BAD??2AB?BC?2AD?4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE?x，G是BC的中点。沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD?平面EBCF(如图)。
(1) 当x?2时，求证：BD?EG；
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x)，求f(x)的最大值； (3) 当f(x)取得最大值时，求二面角D-BF-C的大小。
AD
E
F
B19．（本小题满分G14分）
，
ADEFC如
BC图，已知A
（?4a,0)(a?0)，B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足AB?BQ?0，BC?1CQ. 3（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）设过点A的直线与点Q的轨迹交于E、F两点， A?(4a,0)，求直线A?E、A?F的斜率之和。 20．（14分）已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的首项为b，公比为
a，其中a，b?N?，且a1?b1?a2?b2?a3． （1）求a的值；
（2）若对于任意n?N?，总存在m?N?，使am?3?bn，求b的值；
（3）在（2）中，记{cn}是所有{an}中满足am?3?bn， m?N?的项从小到大依次组成的数列，又记Sn为{cn}的前n项和，Tn是{an}的前n项和，求证：Sn≥Tn(n?N?)．
21、（本小题满分14分）
设函数y?f(x)?x(x?a)(x?b)(a、b?R）。
（1）若a?b,ab?0，过两点（0，0）、（a，0）的中点作与x轴垂直的直线，与函数y?f(x)
的图象交于点P(x0,f(x0))，求证：函数y?f(x)在点P处的切线点为（b，0）。 （2）若a?b(a?0），且当x?[0,|a|?1]时f(x)?2a2恒成立，求实数a的取值范围。
湖南省十校联考理科数学参考答案
一、选择题
1－5ABCBA 6－10 DADAB 二、填空题
11、[,2] ； 12、2cosx ； 13、1 ； 14、2 ； 15、3?2。 三、解答题（本大题共6个小题，共80分）
16．解：（1）∵m=（sinB，1-cosB) , 且与向量n?（2，0）所成角为∴
12?, 31?cosB?3,??????????????????????????3’
sinBBB?2?∴tan?3又0??????,即B??,A?C?, ????????6’
22333?13?cosA?sin(A?) （2）由（1）得sinA?sinC?sinA?sin(?A)?sinA?3223??????????????????8’
∵0?A?∴
?3
2???????????????????????????10’
333?3???3?∴sin(A?)??,1?,?sinA?sinC??,1?
?3?22???????A??当且仅当A?C????6时,sinA?sinC?1 ????????????????12’
9?????2分 401当x?3且y?5时的概率为P2?????4分
10（2）m?n?40?37?3????????6分
8?np(y?1)?
40114?m1p(y?2)?，p(y?3)?，p(y?4)?，p(y?5)?
4440810599?n?4m105?因为y的数学期望为，所以???10分
404040于是m?1，n?2?????????12分
18、解:∵平面AEFD?平面EBCF,AE⊥EF,∴AE⊥面平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,又
17、解：（1）当x?4时的概率为P1?BE⊥EF,故可建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），
D（0，2，2），E（0，0，0）
????????（1）BD?（－2，2，2）EG?（2，2，0） ????????BD?EG?（－2，2，2）?（2，2，0）＝0，∴BD?EG??4分；
111
（2）∵AD∥面BFC，f(x)?VA-BFC＝s?BFC?AE＝??4?(4-x)?x
3232888??(x?2)2??即x?2时f(x)有最大值为。??8分
3333??（3）设平面DBF的法向量为n1?(x,y,z)，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），
????????F（0，3，0）,∴BF?(?2,3,0),BD?（－2，2，2）,
???????(?2,2,2)?0??2x?2y?2z?0?(x,y,z)??n1?BD?0则 ??????，即，? ??(?2,3,0)?0??2x?3y?0 ?(x,y,z)???n1?BF?0??取x＝3，则y＝2，z＝1，∴n1?(3,2,1)??11分
???面BCF的一个法向量为n2?(0,0,1)
??????????n?n214???则cos
33?????y???4y又A(?4a,0),所以AB?(4a,?),BQ?(x,),
33????????42由已知AB?BQ?0,则4ax?y?0, ??????4分
9y2?9ax.即Q点轨迹方程为y2?9ax. ?????5分 （2）设过点A的直线为y?k(x?4a)(k?0).E(x1,y1),F(x2,y2)
二面角D-BF-C的平面角为π-arccos
?y2?9ax 由??ky2?9ay?36a2k?0(k?0)?y1y2?36a2 ?9分 ?y?k(x?4a)(k?0)y1y2yx?4ay1?y2x1?4ay2 ????11分 kA?E?kA?F???12x1?4ax2?4a(x1?4a)(x2?4a)2又y12?9ax1,y2?9ax2， 所以kA?E?kA?F2y2y12y1?4ay1?y2?4ay29a9a ?(x1?4a)(x2?4a)y1y2?4a)9a，由y1y2?36a2,得kA?E?kA?F=0 ????14分 ?(x1?4a)(x2?4a)(y1?y2)(20、解：（1）∵ a?a?b?ab?a?2b，a，b?N?，
b1??a?，a?1?，???a?b?ab，??b?1b?1 ∴ ? ∴ ? ∴ ?
?ab?a?2b.?a?2b.?a?2?2.??b?1b?1???a?1， ∴ ?． ????4分
a?4? ∴ a＝2或a＝3（a＝3时不合题意，舍去）． ∴a＝2．????5分 （2）am?2?(m?1)b，bn?b?2n?1，由am?3?bn可得
5?(m?1)b?b?2n?1． ∴ b(2n?1?m?1)?5．
∴ b＝5 ????8分 （3）由（2）知an?5n?3，bn?5?2n?1， ∴ am?bn?3?5?2n?1?3． ∴ Cn?5?2n?1?3． ∴ Sn?5(2n?1)?3n，Tn? ∵ S1?T1?2，S2?T2?9． ????11分 当n≥3时， Sn?Tn?5[2?
1n(5n?1)．??10分 2121n?n?1] 22121n ?5[(1?1)?n?n?1]
22121123 ?5[1?Cn?Cn?Cn??)?n?n?1]
22n(n?1)121?n?n?1]?0． ?5[1?n?222 ∴ Sn?Tn． 综上得 Sn?Tn(n?N?) ????14分
n2aa21、解（1）由已知P(,(b?a)), ????1分 2422y??3x?(2a?2b)x?ab, ????2分
2所求，所求切线斜率为3(a)2?(2a?2b)?a?ab??a, ????3分
22422切线方程为y?a(b?a)??a(x?a),令y?0,解得x?b,
4242 所以，函数y=f (x)过点P的切线过点（b,0） ????4分
2（2）因为a?b，所以y?f(x)?x(x?a)，
ay??3x2?4ax?a2?3(x?a)(x?), ????5分
3当a?0时，函数y?f(x)在(??,a)上单调递增，在（
3a，a）单调递减， 3在(a,??)上单调递增.
?a?432f()?2a2,?a?2a, ?所以，根据题意有?3 即?27?f(a?1)?2a2,?a?1?2a2,??27127或a??，结合a?0，所以1?a?解之得1?a? ????8分 222a当a?0时，函数y?f(x)在(,??)单调递增。 ????9分
32所以，根据题意有f(1?a)?2a, ????10分
即(1?a)(1?a?a)?2a， 整理得4a?6a?5a?1?0,（?）
32令g(a)?4a?6a?5a?1，?g?(a)?12a?12a?5?12(a?)?2?0
22232122?g(a)在区间(??,0)单调递增,又g(0)??1?0，所以“?”不等式无解。 ?13分
27综上可知：1?a?。 ????14分
2
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