原式=
2x9x+y23yx21-x+5x
xxy3 =2xx+xy-xx+5xy =xx+6xy 当x=
1，y=3时， 21132×+6=+36 2224 原式=
五、归纳小结
本节课应掌握：（1）不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；（2）相同的最简二次根式进行合并．
六、布置作业
1．习题16．3 1、2、3、5．
16.3 二次根式的加减(2)
教学内容
利用二次根式化简的数学思想解应用题． 教学目标
运用二次根式、化简解应用题．
通过复习，将二次根式化成被开方数相同的最简二次根式，进行合并后解应用题． 重难点关键
讲清如何解答应用题既是本节课的重点，又是本节课的难点、关键点． 教学过程
一、复习引入
上节课，我们已经讲了二次根式如何加减的问题，我们把它归为两个步骤：第一步，先将二次根式化成最简二次根式；第二步，再将被开方数相同的二次根式进行合并，下面我们讲三道例题以做巩固．
二、探索新知
例1．如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/?秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？（结果用最简二次根式表示）
CQAB
分析：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，?根据三角形面积公式就可以求出x的值．
解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．
P 则有PB=x，BQ=2x 依题意，得： x2=35 x=35 所以35秒后△PBQ的面积为35平方厘米． 答：35秒后△PBQ的面积为35平方厘米．
例2．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m）？
分析：此框架是由AB、BC、BD、AC组成，所以要求钢架的钢材，?只需知道这四段的长度．
1x·2x=35 2B2mA 解：由勾股定理，得 AB=4mwww.czsx.com.cnD1mC
AD2?BD2?42?22?20=25 BC=BD2?CD2?22?12=5 所需钢材长度为 AB+BC+AC+BD
=25+5+5+2 =35+7 ≈3×2.24+7≈13.7（m） 答：要焊接一个如图所示的钢架，大约需要13.7m的钢材． 三、巩固练习 教材练习3 四、应用拓展
例3．若最简根式3a?b4a?3b与根式2ab2?b3?6b2是同类二次根式，求a、b的值．（?同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）
分析：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；?事实上，根式
2ab2?b3?6b2不是最简二次根式，因此把2ab2?b3?6b2化简成|b|·2a?b?6，才由同类二次根式的定义得3a-?b=?2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式2ab2?b3?6b2化为最简二次根式：
2ab2?b3?6b2=b2(2a?1?6)=|b|·2a?b?6 ?4a?3b?2a?b?6
?3a?b?2
由题意得??2a?4b?6 ∴?
3a?b?2? ∴a=1，b=1
五、归纳小结
本节课应掌握运用最简二次根式的合并原理解决实际问题． 六、布置作业
1．习题16．3 7．
16.3 二次根式的加减(3)
教学内容
含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除；多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标
含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运算． 重难点关键
重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律；
难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程
一、复习引入
学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算
（1）（2x+y）·zx （2）（2x2y+3xy2）÷xy 2．计算
（1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2
老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1）?单项式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5）平方差公式的运用． 二、探索新知
如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？?仍成立．
整式运算中的x、y、z是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切，?当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例1．计算:
（1）（6+8）×3 （2）（46-32）÷22 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律，?所以直接可用整式的运算规律． 解：（1）（6+8）×3=6×3+8×3 =18+24=32+26 解：（46-32）÷22=46÷22-32÷22 =23-3 2 例2．计算
（1）（5+6）（3-5） （2）（10+7）（10-7）
分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立． 解：（1）（5+6）（3-5） =35-（5）2+18-65 =13-35 （2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2 =10-7=3
三、巩固练习 课本练习1、2． 四、应用拓展
例3．已知
x?bx?a=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0， ba化简x?1?xx?1?x+，并求值．
x?1?xx?1?xx）（x?1-x）=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过
分析：由于（x?1+解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．
(x?1?x)2(x?1?x)2解：原式=+
(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)(x?1?x)2(x?1?x)2=+
(x?1)?x(x?1)?x =（x+1）+x-2x(x?1)+x+2x(x?1) =4x+2 ∵
x?bx?a=2- ba ∴b（x-b）=2ab-a（x-a）
∴bx-b2=2ab-ax+a2
∴（a+b）x=a2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0 ∴x=a+b
∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结
本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业
1．习题16．3 1、8、9．
17．1 勾股定理（一）
一、教学目的
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。 二、重点、难点
1．重点：勾股定理的内容及证明。 2．难点：勾股定理的证明。 三、例题的意图分析
例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。进一步让学生确信勾股定理的正确性。 四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量AB的长。
222222222222222
你是否发现3+4与5的关系，5+12和13的关系，即3+4=5，5+12=13，那么就有勾+股=弦。 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
CD五、例习题分析
例1（补充）已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
222
求证：a＋b=c。 分析：⑴让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。 ab⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S△+S小正=S大正
122
4×ab＋（b－a）=c，化简可证。
2AcB⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明。
⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。 baba222
求证：a＋b=c。
caa分析：左右两边的正方形边长相等，则两acbc个正方形的面积相等。 左边S=4×
12
ab＋c 22
bccaabbcb右边S=（a+b）
ab
16．1 二次根式
教学内容
二次根式的概念及其运用 教学目标
理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键
1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．
教学过程 一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知
很明显3、10、4，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们6”称为二次根就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“号．
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a有意义吗？ 老师点评:（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、-2、1、x（x>0）、0、42、x1、x?y（x≥0，y?≥0）． x?y”；第二，被开方数是正数或0．
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“ 解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、x?y（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：33、141、2、． xx?y 例2．当x是多少时，3x?1在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?3x?1才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥
1 3
当x≥
1时，3x?1在实数范围内有意义． 3 三、巩固练习
教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展
例3．当x是多少时，2x?3+ 分析：要使2x?3+0．
解：依题意，得? 由①得：x≥-
1在实数范围内有意义？ x?111在实数范围内有意义，必须同时满足2x?3中的≥0和中的x+1≠x?1x?1?2x?3?0
?x?1?03 2 由②得：x≠-1 当x≥-
31且x≠-1时，2x?3+在实数范围内有意义． 2x?1例4(1)已知y=2?x+x?2+5，求
x的值．(答案:2) y2) 5(2)若a?1+b?1=0，求a2004+b2004的值．(答案:
五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：
1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业
1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计．
16.1二次根式(2)
教学内容
1．a（a≥0）是一个非负数； 2．（a）2=a（a≥0）． 教学目标
理解a（a≥0）是一个非负数和（a）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．
通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键
1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）2=a（a≥0）及其运用．
2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；?用探究的方法导出（a）2=a（a≥0）． 教学过程
一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0时，a叫什么？当a<0时，a有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知
议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a（a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
a（a≥0）是一个非负数． 做一做：根据算术平方根的意义填空：
（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；
（1272）=______；（）=_______；（0）2=_______． 32老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．
同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（（0）2=0，所以
（a）2=a（a≥0） 例1 计算 1．（121727）=，（）=，
3232325272
） 2．（35）2 3．（） 4．（）
226 分析：我们可以直接利用（a）2=a（a≥0）的结论解题．
解：（323） =，（35）2 =32·（5）2=32·5=45，
22
52572(7)27（）=，（）=?． 262246 三、巩固练习
计算下列各式的值：
（18）2 （2272 92） （） （0）2 （4）438(35)2?(53)2
四、应用拓展
例2 计算
1．（x?1）2（x≥0） 2．（a2）2 3．（a2?2a?1）2 4．（4x2?12x?9）2
分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4题都可以运用（a）2=a（a≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 （x?1）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（a2）2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴a2?2a?1=a2+2a+1 （4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（4x2?12x?9）2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：
1．a（a≥0）是一个非负数；
2．（a）2=a（a≥0）;反之:a=（a）2（a≥0）． 六、布置作业
1．教材P5 5，6，7，8
2．选用课时作业设计．
16.1二次根式(3)
教学内容
a2＝a（a≥0）
教学目标
理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．
通过具体数据的解答，探究a2=a（a≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键
1．重点：a2＝a（a≥0）． 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0时，a2＝a才成立． 教学过程
一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式； 2．a（a≥0）是一个非负数； 3．(a)2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知
（学生活动）填空：
122=_______；0.012=_______；()2=______；
1023()2=________；02=________；()2=_______． 37
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
12323122=2；0.012=0.01；()2=；()2=；02=0；()2=．
37103710 因此，一般地：a2=a（a≥0） 例1 化简
22 （1）9 （2）(?4) （3）25 （4）(?3) 分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，
（4）（-3）2=32，所以都可运用a2=a（a≥0）?去化简．
2解：（1）9=32=3 （2）(?4)=42=4
2（3）25=52=5 （4）(?3)=32=3 三、巩固练习 教材P7练习2． 四、应用拓展
例2 填空：当a≥0时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若a2=a，则a可以是什么数？ （2）若a2=-a，则a可以是什么数？ （3）a2>a，则a可以是什么数？
分析：∵a2=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）
2
2”中的数是正数，因为，当a≤0时，a2=(?a)，那么-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a2=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为a2=a，所以a≥0； （2）因为a2=-a，所以a≤0；
（3）因为当a≥0时a2=a，要使a2>a，即使a>a所以a不存在；当a<0时，a2=-a，要使a2>a，即使-a>a，a<0综上，a<0
22例3当x>2，化简(x?2)-(1?2x)．
分析：(略) 五、归纳小结
本节课应掌握：a2=a（a≥0）及其运用，同时理解当a<0时，a2＝－a的应用拓展． 六、布置作业
1．教材P5习题16．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计．
16．2 二次根式的乘除
教学内容
a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．
教学目标
理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简
由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；?利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简． 教学重难点关键
重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用． 难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）． 关键：要讲清
ab（a<0,b<0）=a?b，如(?2?)?(=3)?(?2)??(?3)或
(?2)?(?3)=2?3=2×3．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题． 1．填空
（1）4×9=_______，4?9=______； （2）16×25=_______，16?25=________． （3）100×36=________，100?36=_______． 参考上面的结果，用“>、<或＝”填空．
4×9_____4?9，16×25_____16?25，
100×36________100?36 2．利用计算器计算填空
（1）2×3______6，（2）2×5______10， （3）5×6______30，（4）4×5______20， （5）7×10______70．
老师点评（纠正学生练习中的错误） 二、探索新知
（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．
老师点评：（1）被开方数都是正数；
（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，?并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．
一般地，对二次根式的乘法规定为 a·b＝ab．（a≥0，b≥0） 反过来: ab=a·b（a≥0，b≥0） 例1．计算
（1）5×7 （2）13×9 （3）9×27 分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可． 解：（1）5×7=35 （2）13×9=13?9=3 （3）9×27=9?27?92?3=93 （4）12×6=12?6=3 例2 化简
（1）9?16 （2）16?81 （3）81?100 （4）9x2y2 （5）54 分析：利用ab=a·b（a≥0，b≥0）直接化简即可． 解：（1）9?16=9×16=3×4=12 （2）16?81=16×81=4×9=36 （3）81?100=81×100=9×10=90
（4）9x2y2=32×x2y2=32×x2×y2=3xy
（5）54=9?6=32×6=36 三、巩固练习
（1）计算（学生练习，老师点评）
①
16×8 ②36×210 ③5a·15ay 4）12×6
（ (2) 化简:
20; 18; 24; 54; 12a2b2 教材P11练习全部 四、应用拓展
例3．判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正： （1）(?4)?(?9)??4??9 （2）4121212×25=4××25=4×25=412=83 252525 解：（1）不正确．
改正：(?4)?(?9)=4?9＝4×9=2×3=6 （2）不正确．
改正：412112112×25=×25=?25=112=16?7＝47 252525 五、归纳小结
本节课应掌握：（1）a·b＝ab=（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．
六、布置作业
1．课本P11 1，4，5，6．（1）（2）． 2．选用课时作业设计．
16．2 二次根式的乘除(2)
教学内容
aaaa=（a≥0，b>0），反过来=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
bbbb教学目标 理解aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及利用它们进行运算．
bbbb 利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用
它们进行计算和化简． 教学重难点关键 1．重点：理解aaaa=（a≥0，b>0），=（a≥0，b>0）及利用它们进行计算和化简．
bbbb 2．难点关键：发现规律，归纳出二次根式的除法规定．
教学过程 一、复习引入
（学生活动）请同学们完成下列各题： 1．写出二次根式的乘法规定及逆向等式． 2．填空
（1）169916=________，=_________；（2）=________，=________；
36161636 （3）364436=________，=_________； （4）=________，=________．
8116168116949164______；______；_______；
361616163616规律：3636_______．
8181 3．利用计算器计算填空: （1）3227=_________，（2）=_________，（3）=______，（4）=________． 435832273227______；_______；_____；_____。
43584358 规律： 每组推荐一名学生上台阐述运算结果．
（老师点评） 二、探索新知
刚才同学们都练习都很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到： 一般地，对二次根式的除法规定：
aa=（a≥0，b>0）， bb反过来，aa=（a≥0，b>0） bb 下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目． 例1．计算：（1）31111264 （2） （3） （4） ??2841638aa=（a≥0，b>0）便可直接得出答案．
bb 分析：上面4小题利用解：（1）1212==4=2
33 （2）31313?=???8?3?4=3×=23 2828211111????16=4=2 =4164164
（3）
（4）6464==8=22 88 例2．化简：
364b29x5x （1） （2） （3） （4） 222649a64y169y 分析：直接利用aa=（a≥0，b>0）就可以达到化简之目的． bb解：（1）333= ?6486464b264b28b （2）=? 229a3a9a （3）9x3x9x?= 28y64y264y5x5x5x?= 2213y169y169y （4） 三、巩固练习 教材P14 练习1．
四、应用拓展
x2?5x?49?x9?x 例3．已知，且x为偶数，求（1+x）的值． ?2x?1x?6x?6分析：式子aa=，只有a≥0，b>0时才能成立． bb因此得到9-x≥0且x-6>0，即6 ∵x为偶数 ∴x=8 ∴原式=（1+x）?x?9?9?x?0，即? ?x?6?x?6?0(x?4)(x?1) (x?1)(x?1) =（1+x）x?4 x?1 =（1+x）x?4=(1?x)(x?4) (x?1) ∴当x=8时，原式的值=4?9=6． 五、归纳小结 本节课要掌握aaaa=（a≥0，b>0）和=（a≥0，b>0）及其运用． bbbb 六、布置作业 1．习题16．2 2、7、8、9． 16.2 二次根式的乘除(3) 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 1．计算（1）3328，（2），（3） 5272a15326382a=，=，= a552732a 老师点评： 2．现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是h1km，h2km，?那么它们的传播半 径的比是_________． 它们的比是2Rh12Rh2． 二、探索新知 观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点： 1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不是，把它们化成最简二次根式． 学生分组讨论，推荐3～4个人到黑板上板书． 老师点评：不是． 2Rh12Rh2=2Rh1?2Rh2h1?h2h1h2. h2 例1．(1) 35; (2) 12x2y4?x4y2; (3) 8x2y3 例2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． AB 解：因为AB=AC+BC 2 2 2 C 所以AB=2.52?62=()2?36?5216916913??=6.5（cm） 424 因此AB的长为6.5cm． 三、巩固练习 练习2、3 四、应用拓展 例3．观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 11?(2?1)2?1==2-1， ?2?12?1(2?1)(2?1)11?(3?2)3?2==3-2， ?3?23?2(3?2)(3?2) 同理可得：1=4-3，?? 4?3 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （1111+++??）（2002+1）的值． 2?12002?20013?24?3 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目 的． 解：原式=（2-1+3-2+4-3+??+2002-2001）×（2002+1） =（2002-1）（2002+1） =2002-1=2001 五、归纳小结 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、布置作业 1．习题16．2 3、7、10． 16.3 二次根式的加减(1) 教学内容 二次根式的加减 教学目标 理解和掌握二次根式加减的方法． 先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解．再总结经验，用它来指导根式的计算和化简． 重难点关键 1．重点：二次根式化简为最简根式． 2．难点关键：会判定是否是最简二次根式． 教学过程 一、复习引入 学生活动：计算下列各式． （1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并．同类项合并就是字母不变，系数相加减． 二、探索新知 学生活动：计算下列各式． （1）22+32 （2）28-38+58 （3）7+27+39?7 （4）33-23+2 老师点评： （1）如果我们把2当成x，不就转化为上面的问题吗？ 22+32=（2+3）2=52 （2）把8当成y； 28-38+58=（2-3+5）8=48=82 （3）把7当成z； 7+27+97 =27+27+37=（1+2+3）7=67 （4）3看为x，2看为y． 33-23+2 =（3-2）3+2 =3+2 因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如22与8表面上看是不相同的，但它们可以合并吗？可以的． （板书）32+8=32+22=52 33+27=33+33=63 所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，?再将被开方数相同的二次根式进行合并． 例1．计算 （1）8+18 （2）16x+64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并． 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x 例2．计算 （1）348-91+312 3 （2）（48+20）+（12-5） 解：（1）348-91+312=123-33+63=（12-3+6）3=153 3 （2）（48+20）+（12-5）=48+20+12-5 =43+25+23-5=63+5 三、巩固练习 教材P19 练习1、2． 四、应用拓展 例3．已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（ 2x9x+y23y1x2）-（x-5x）的值． xxy31，y=3．其222 分析：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得（2x-1）+（y-3）=0，即x= 次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，?再合并同类二次根式，最后代入求值． 解：∵4x2+y2-4x-6y+10=0 ∵4x2-4x+1+y2-6y+9=0 ∴（2x-1）2+（y-3）2=0 ∴x= 1，y=3 2 左边和右边面积相等，即 4× 122 ab＋c=（a+b） 2化简可证。 六、课堂练习 1．勾股定理的具体内容是： 。 2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示） A⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D为斜边中点，则斜边中线 ； D⑶若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： 。 222 3．△ABC的三边a、b、c，若满足b= a＋c，则 =90°； 若 CB222222 满足b＞c＋a，则∠B是 角； 若满足b＜c＋a，则∠B是 ADa角。 4．根据如图所示，利用面积法证明勾股定理。 bc七、课后练习 E1．已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则 ca⑴c= 。（已知a、b，求c） B⑵a= 。（已知b、c，求a） Cb⑶b= 。（已知a、c，求b） 2．如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c，有a＜b＜c，试根据表中已有数的规律，写出当a=19时，b，c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。 3、4、5 5、12、13 7、24、25 9、40、41 …… 19，b、c 3+4=5 5+12=13 7+24=25 9+40=41 …… 19+b=c 2222222222222223．在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=103cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，问当P点移动多少秒时，PA与腰垂直。 4．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D在CB的延长线上。 22 求证：⑴AD－AB=BD〃CD ⑵若D在CB上，结论如何，试证明你的结论。 八、参考答案 课堂练习 1．略； 2．⑴∠A+∠B=90°；⑵CD=3．∠B，钝角，锐角； 4．提示：因为S梯形ABCD = S△ABE+ S△BCE+ S△EDA，又因为S梯形ACDG=S△BCE= S△EDA=课后练习 A11AB；⑶AC=AB；⑷22DBCAC+BC=AB。 222 12 （a+b）， 211211122 ab，S△ABE=c, （a+b）=2× ab＋c。 222221．⑴c=b2?a2；⑵a=b2?c2；⑶b=c2?a2 ?a2?b2?c2a2?1a2?12．? ；则b=，c=；当a=19时，b=180，c=181。 22?c?b?13．5秒或10秒。 4．提示：过A作AE⊥BC于E。 课后反思： 17．1 勾股定理（二） 一、教学目的 1．会用勾股定理进行简单的计算。 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的简单计算。 2．难点：勾股定理的灵活运用。 三、例题的意图分析 例1（补充）使学生熟悉定理的使用，刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。 例2（补充）让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例3（补充）勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高综合能力。 四、课堂引入 复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。 五、例习题分析 例1（补充）在Rt△ABC，∠C=90° ⑴已知a=b=5,求c。 ⑵已知a=1,c=2, 求b。 ⑶已知c=17,b=8, 求a。 ⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。 ⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。 分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。⑷⑸已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。 例2（补充）已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三 边。 C 分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。 例3（补充）已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。 ⑴求等边△ABC的高。 ⑵求S△ABC。 B A D 分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做 法。欲求高CD，可将其臵身于Rt△ADC或Rt△BDC中， 但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD= 12AB=3cm，则此题可解。 六、课堂练习 1．填空题 ⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。 ⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。 ⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。 ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。 ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为 。 ⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为 ，为 。 A2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=43，AC=4，的高，求BC的长。 3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰积。 CD七、课后练习 B1．填空题 在Rt△ABC，∠C=90°， ⑴如果a=7，c=25，则b= 。 ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= 。 ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= 。 ⑷如果c=10，a-b=2，则b= 。 ⑸如果a、b、c是连续整数，则a+b+c= 。 ⑹如果b=8，a：c=3：5，则c= 。 AD2．已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC， AB⊥AC，∠B=60°，CD=1cm，求BC的长。 八、参考答案 BC课堂练习 1．17； 7； 6，8； 6，8，10； 4或34； 3，3； 2．8； 3．48。 课后练习 1．24； 43； 32； 6； 12； 10； 2．233 课后反思： 面积 AD是BC边上 三角形的面 17．1 勾股定理（三） 一、教学目的 1．会用勾股定理解决简单的实际问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的应用。 2．难点：实际问题向数学问题的转化。 三、例题的意图分析 例1（教材探究1）明确如何将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。 例2（教材探究2）使学生进一步熟练使用勾股定理，探究直角三角形三边的 DC关系：保证一边不变，其它两边的变化。 四、课堂引入 勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你可以吗？试一试。 五、例习题分析 AB例1（教材探究1） 分析：⑴在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，即门框为长方形，四个角都是直角。⑵让学生深入探讨图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，探讨以何种方式通过？⑷转化为勾股定理的计算，采用多种方法。⑸注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。 例2（教材探究2） 分析：⑴在△AOB中，已知AB=3，AO=2.5，利用勾股定理计算OB。 ⑵ 在 A△COD中，已知CD=3，CO=2，利用勾股定理计算OD。 C则BD=OD－OB，通过计算可知BD≠AC。 ⑶进一步让学生探究AC和BD的关系，给AC不同的值，计算BD。 DOB六、课堂练习 1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。 2．如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。 B C A30CBA 2题图 3题图 4题图 3．如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。 4．如图，原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由A地到B地直接修建，已知高速公路一公里造价为300万元，隧道总长为2公里，隧道造价为500万元，AC=80公里，BC=60公里，则改建后可省工A程费用是多少？ BC七、课后练习 1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B、C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC=50米， ∠B=60°，则江面的宽度为 。 2．有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。 3．一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。 4．如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高24米，∠B=∠C=30°，E、F分别为BD、CD中点，试求B、C两点之间的距离，钢索AB和AE的长度。 （精确到1米） R八、参考答案： 课堂练习： 1．2502； 2．6， 23； 3．18米； 4．11600； 课后练习 1．503米； 2． PQA2； 2CF3．20； 4．83米，48米，32米； BED课后反思： 17．1 勾股定理（四） 一、教学目的 1．会用勾股定理解决较综合的问题。 2．树立数形结合的思想。 二、重点、难点 1．重点：勾股定理的综合应用。 2．难点：勾股定理的综合应用。 三、例题的意图分析 例1（补充）“双垂图”是中考重要的考点，熟练掌握“双垂图”的图形结构和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推 2222 导式BC-BD=AC-AD，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊性质等。 例2（补充）让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。 例3（补充）让学生掌握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的过程中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。 例4（教材P76页探究3）让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 四、课堂引入 复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。 五、例习题分析 例1（补充）1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3， 求线段AB的长。 分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3个直角三角形，三个勾股定理及推导式2222 BC-BD=AC-AD，两对相等锐角，四对互余角，及30°或45°特殊角的特殊C性质等。 要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求AB，可由AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD=3和AD=1。或欲求AB，可由AB?AC2?BC2，分别在两个三角形中利用勾 BDA股定理和特 殊角，求出AC=2和BC=6。 例2（补充）已知：如图，△ABC中，AC=4，∠B=45°，∠据题设可知什么？ 分析：由于本题中的△ABC不是直角三角形，所以根据题设只能ACB=75°。在学生充分思考和讨论后，发现添臵AB边上的高这就可以求得AD，CD，BD，AB，BC及S△ABC。让学生充分讨论还可助线吗？为什么？ A小结：可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角题。并指出如何作辅助线？ 解略。 例3（补充）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，ACD=2。求：四边形ABCD的面积。 分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC，AB、DC交于F，或延长AD、BC交于E，根据本题给定的角种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。教学中要 B给学生，让学生深入体会。 解：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4， ∴BE=AE-AB=8-4=48，BE=48=43。 2 2 2 2 2 CA=60°，根直接求得∠条辅助线，以作其它辅 DB三角形的问 AB=4 DEC， 或延长应选后两逐层展示 ∵DE= CE-CD=4-2=12，∴DE=12=23。 2 2 2 2 2 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= 11AB〃BE-CD〃DE=63 22小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四 边形面积转化为三角形面积之差。 例4（教材探究3） 分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。 变式训练：在数轴上画出表示3?1,2?2的点。 六、课堂练习 1．△ABC中，AB=AC=25cm，高AD=20cm,则BC= ，S△ABC= 。 2．△ABC中，若∠A=2∠B=3∠C，AC=23cm，则∠A= 度，∠B= 度,∠C= 度，BC= ，S△ABC= 。 3．△ABC中，∠C=90°，AB=4，BC=23，CD⊥AB于D，则CD= ，BD= ，AD= ,S△ABC= 。 4．已知：如图，△ABC中，AB=26，BC=25，AC=17， 求S△ABC。 七、课后练习 AAC= ， BC1．在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥BC于D，∠A=60°，CD=3，AB= 。 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，S△ABC=30，c=13，且a＜b，则a= ，b= 。 3．已知：如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AC=22， 求（1）AB的长；（2）S△ABC。 4．在数轴上画出表示－5,2?5的点。 17．2 勾股定理的逆定理（一） 一、教学目的 1．体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。 2．探究勾股定理的逆定理的证明方法。 3．理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。 二、重点、难点 1．重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。 2．难点：勾股定理的逆定理的证明。 三、例题的意图分析 例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。 例2通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。 例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先 222222 判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a+b和c的值。③判断a+b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 四、课堂引入 创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？ ⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾股定理的逆命题进行猜想。 五、例习题分析 例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？ ⑴同旁内角互补，两条直线平行。 ⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。 ⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。 ⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。 分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注 ABC意语言的运用。 ⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假。 解略。 222 例2证明：如果三角形的三边长a，b，c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形。 AA1分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。 c⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一bb个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判 aa断一个角是直角。 BCC1B1⑶利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。 ⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1=c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。 ⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。 证明略。 22 例3（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，a=n－1，b=2n，c=n＋1（n＞1） 求证：∠C=90°。 分析：⑴运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。 222222 ②分别用代数方法计算出a+b和c的值。③判断a+b和c是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 222 ⑵要证∠C=90°，只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定理的逆定理只要证明a+b=c即可。 222224222242222 ⑶由于a+b= （n－1）＋（2n）=n＋2n＋1，c=（n＋1）= n＋2n＋1，从而a+b=c，故命题获证。 六、课堂练习 1．判断题。 ⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。 ⑵命题：“在一个三角形中，有一个角是30°，那么它所对的边是另一边的一半。”的逆命题是真命题。 ⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。 ⑷△ABC的三边之比是1：1：2，则△ABC是直角三角形。 2．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ） A．如果∠C－∠B=∠A，则△ABC是直角三角形。 222 B．如果c= b—a，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°。 2 C．如果（c＋a）（c－a）=b，则△ABC是直角三角形。 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形。 3．下列四条线段不能组成直角三角形的是（ ） A．a=8，b=15，c=17 B．a=9，b=12，c=15 C．a=5，b=3，c=2 D．a：b：c=2：3：4 4．已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，分别为下列长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？ ⑴a=3，b=22，c=5； ⑵a=5，b=7，c=9； ⑶a=2，b=3，c=7； ⑷a=5，b=26，c=1。 17．2 勾股定理的逆定理（二） 一、教学目的 1．灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 2．难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。 三、例题的意图分析 例1（见教材例题）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。 四、课堂引入 创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位臵，从而使用一些数学知识和数学方法。 五、例习题分析 N例1（见教材） R分析：⑴了解方位角，及方位名词； S⑵依题意画出图形； Q⑶依题意可得PR=12×1.5=18，PQ=16×1.5=24， QR=30； 222222P⑷因为24+18=30，PQ+PR=QR，根据勾股定理 的逆定理，知∠QPR=90°； ⑸∠PRS=∠QPR-∠QPS=45°。 小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。 例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。 C分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长； ⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长5、12、13； 222 ⑶根据勾股定理的逆定理，由5+12=13，知三角形为直角三角形。 解略。 BAD六、课堂练习 1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是 。 2．如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？ A BDCE 3．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向？ N C E BA 七、课后练习 1．一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。 2．一根12米的电线杆AB，用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？ 3．如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°。 CD B A 17．2 勾股定理的逆定理（三） 一、教学目的 1．应用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形。 2．灵活应用勾股定理及逆定理解综合题。 3．进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。 二、重点、难点 1．重点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 2．难点：利用勾股定理及逆定理解综合题。 三、例题的意图分析 例1（补充）利用因式分解和勾股定理的逆定理判断三角形的形状。 例2（补充）使学生掌握研究四边形的问题，通常添臵辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造3、4、5勾股数，利用勾股定理的逆定理证明DE就是平行线间距离。 例3（补充）勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。 四、课堂引入 勾股定理和它的逆定理是黄金搭档，经常综合应用来解决一些难度较大的题目。 C五、例习题分析 例1（补充）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足222 a+b+c+338=10a+24b+26c。 试判断△ABC的形状。 BAD分析：⑴移项，配成三个完全平方；⑵三个非负数的和为0，则都为0；⑶已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形。 DA例2（补充）已知：如图，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。 BEC 求：四边形ABCD的面积。 分析：⑴作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）； ⑵DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；⑶在△DEC中，3、4、5勾股数，△DEC为直角三角形，DE⊥BC；⑷利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。 2 例3（补充）已知：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD=AD〃BD。 求证：△ABC是直角三角形。 222222 分析：∵AC=AD+CD，BC=CD+BD 22222 ∴AC+BC=AD+2CD+BD 22 =AD+2AD〃BD+BD 22 =（AD+BD）=AB 六、课堂练习 222 1．若△ABC的三边a、b、c，满足（a－b）（a＋b－c）=0，则△ABC是（ ） A．等腰三角形； B．直角三角形； C．等腰三角形或直角三角形； D．等腰直角三角形。 D2．若△ABC的三边a、b、c，满足a：b：c=1：1：2，试判断△ABC的形状。 3．已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC= 313，CD=，AD=3，且AB⊥BC。 44A求：四边形ABCD的面积。 2 4．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD=AD〃BD。 求证：△ABC中是直角三角形。 七、课后练习， 222 1．若△ABC的三边a、b、c满足a+b+c+50=6a+8b+10c，求△ABC的面积。 2．在△ABC中，AB=13cm，AC=24cm，中线BD=5cm。 求证：△ABC是等腰三角形。 222 3．已知：如图，∠1=∠2，AD=AE，D为BC上一点，且BD=DC，AC=AE+CE。 求证：AB=AE+CE。4．已知△ABC的三边为a、b、c，且a+b=4，ab=1，c=14， 2 2 2 BCAEBDC试判定△ABC的形状。 18.1.1 平行四边形及其性质(一) 一、教学目的： 1． 理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质． 2． 会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证． 3． 培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力． 二、重点、难点 1． 重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 2． 难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、例题的意图分析 例1是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证． 四、课堂引入 1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？ 平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？ 你能总结出平行四边形的定义吗？ (1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． (2)表示：平行四边形用符号“边形．平行四边形ABCD记作“ ”来表示． 形ABCD是平行四边形ABCD”． ABCD”，读作“平行四 如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边 ①∵AB//DC ,AD//BC ， ∴四边形ABCD是平行四边形（判定）； ②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC， AD//BC（性质）． 注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚） 2．?探究?平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下． 让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？ （1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角． （相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．） （2）猜想 平行四边形的对边相等、对角相等． 下面证明这个结论的正确性． 已知：如图ABCD， 求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD． 分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论． （作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．） 证明：连接AC， ∵ AB∥CD，AD∥BC， ∴ ∠1＝∠3，∠2＝∠4． 又 AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA （ASA）． ∴ AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D． 又 ∠1＋∠4＝∠2＋∠3， ∴ ∠BAD＝∠BCD． 由此得到： 平行四边形性质1 平行四边形的对边相等． 平行四边形性质2 平行四边形的对角相等． 五、例习题分析 例1（见教材例1） 例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF， 求证：AF=CE． 分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论． 证明略． 六、随堂练习 1．填空： （1）在ABCD中，∠A=50?，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度． （3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm． 2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥为垂足，求证：BE＝DF． 七、课后练习 1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是 （A）对角相等 （B）对角互补 （C）邻角互补 （D）内角和是360? 2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（ ）． （A）4个 （B）5个 （C）8个 （D）9个 3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE． 18.1.1 平行四边形的性质(二) 一、教学目的： AC，E、F （ ）． 1． 理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质． 2． 能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题． 3． 培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力． 二、重点、难点 1． 重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用． 2． 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算． 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的． 例2是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法． 四、课堂引入 1．复习提问： （1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是： （2）平行四边形的性质： ①具有一般四边形的性质（内角和②角：平行四边形的对角相等，邻边：平行四边形的对边相等． 2．?探究?： 请学生在纸上画两个全等的 ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把 这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180?，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？ 结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分． 五、例习题分析 例1（补充） 已知：如图4－21， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F． 求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF． 证明：在 ABCD中，AB∥CD， ∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4． 又 OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴ △AOE≌△COF（ASA）． ∴ OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）． ∵ ABCD，∴ AB=CD（平行四边形对边相等）． ∴ AB—AE=CD—CF． 即 BE=FD． 是360?）． 角互补． ※?引申?若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位臵，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由． 解略 例2已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积． 分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股 定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算 六、随堂练习 1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC，求各边的长 ③ 已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长 2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm． 3． ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成5cm，7cm的两条线段，则 ABCD的周长是__ ___cm． 七、课后练习 1．判断对错 （1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD． （ ） （2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等． （ ） （3）平行四边形的两组对边分别平行且相等． （ ） （4）平行四边形是轴对称图形． （ ） 2．在 ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______． 3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是 ． 4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修 几条笔直的小 ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如 图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ； 2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数． 18.2.2 菱形（一） 一、教学目的： 1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系． 2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积． 3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力． 4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想． 二、重点、难点 1．教学重点：菱形的性质1、2． 2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用． 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，是为了巩固菱形的性质；例2是教材P108中的例2，这是一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识． 四、课堂引入 1．（复习）什么叫做平行四边形？什么叫矩形？平行四边形和矩形之间的关系是什么？ 2．（引入）我们已经学习了一种特殊的平行四边形——矩形，其实还有另外的特殊平行四边形，请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念． 菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． ?强调? 菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等． 让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子． 五、例习题分析 例1 （补充） 已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E． 求证：∠AFD=∠CBE． 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ CB=CD， CA平分∠BCD． ∴ ∠BCE=∠DCE．又 CE=CE， ∴ △BCE≌△COB（SAS）． ∴ ∠CBE=∠CDE． ∵ 在菱形ABCD中，AB∥CD， ∴∠AFD=∠FDC ∴ ∠AFD=∠CBE． 例2 （教材P108例2）略 六、随堂练习 1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为 ． 2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm ，求菱形的周长和面积． 3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积． 4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE． 七、课后练习 1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为 8cm，求菱形的高． 2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积． 18.2.2 菱形（二） 一、教学目的： 1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算； 2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力． 二、重点、难点 1．教学重点：菱形的两个判定方法． 2．教学难点：判定方法的证明方法及运用． 三、例题的意图分析 本节课安排了两个例题，其中例1是教材P109的例3，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3． 四、课堂引入 1．复习 （1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形； （2）菱形的性质1 菱形的四条边都相等； 性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角； （3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件） 2．?问题?要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？ 3．?探究?（教材P109的探究）用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？ 通过演示，容易得到： 菱形判定方法1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直． 通过教材P109下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法： 菱形判定方法2 四边都相等的四边形是菱形． 五、例习题分析 例1 （教材P109的例3）略 例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F． 求证：四边形AFCE是菱形． 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AE∥FC． ∴ ∠1=∠2． 又 ∠AOE=∠COF，AO=CO， ∴ △AOE≌△COF． ∴ EO=FO． ∴ 四边形AFCE是平行四边形． 又 EF⊥AC， ∴ AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)． ※例3（选讲） 已知：如图，△ABC中， ∠ACB=90°，BE平分AB与D，EH⊥AB于H，CD交BE于F． 求证：四边形CEHF为菱形． 略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形． 六、随堂练习 1．填空： （1）对角线互相平分的四边形是 ； （2）对角线互相垂直平分的四边形是________； （3）对角线相等且互相平分的四边形是________； （4）两组对边分别平行，且对角线 的四边形是菱形． 2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm． 3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE于E，求证：四边形OCED是菱形。 七、课后练习 ∠ABC，CD⊥ 在Rt△BDF 中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF． 和CE相交 1．下列条件中，能判定四边形是菱形的是 （ ）． （A）两条对角线相等 （B）两条对角线互相垂直 （C）两条对角线相等且互相垂直 （D）两条对角线互相垂直平分 2．已知：如图，M是等腰三角形ABC底边BC上的中点，DM⊥AB，EF⊥AB，ME⊥AC，DG⊥AC．求证：四边形MEND是菱形． 3．做一做： 设计一个由菱形组成的花边图案．花边的长为15 cm，宽为4 cm，由有一条对角线 在同一条直线上的四个菱形组成，前一个菱形对角线的交点，是后一个菱形的一个顶点．画出花边图形． 18.2.3 正方形 一、教学目的 1．掌握正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算． 2．理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育，提高学生的逻辑思维能力． 二、重点、难点 1．教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系． 2．教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的灵活运用． 三、例题的意图分析 本节课安排了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目．其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应注意引导学生能正确的运用其性质．例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形．随后可以再做一组判断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将判断题改为下列问题让学生思考： ①对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？ ②对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？ ③对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？如果不是，应该加上什么条件？ ④能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？ ⑤说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？ 四、课堂引入 1．做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形． 学生在动手做中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．问题：什么样的四边形是正方形？ 正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． ．．．．．．．．．．．．．．．．．． 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意： （1）有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） （2）有一个角是直角的平行四边形 （矩形） 2．?问题?正方形有什么性质？ 由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形． 所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质． 五、例习题分析 例1（教材P111的例4） 求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形． 已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）． 求证：△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形． 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC=BD， AC⊥BD， AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分）． ∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形， 并且 △ABO ≌△BCO≌△CDO≌△DAO． 例2 （补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F． 求证：OE=OF． 分析：要证明OE=OF，只需证明△AEO≌△DFO，由于正方形的对角线垂直平分且相等，可以得到∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到∠EAO=∠FDO，根据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得． 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠AOE=∠DOF=90°，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）． 又 DG⊥AE， ∴ ∠EAO+∠AEO=∠EDG+∠AEO=90°． ∴ ∠EAO=∠FDO． ∴ △AEO ≌△DFO． ∴ OE=OF． 例3 （补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点． 求证：四边形PQMN是正方形． 分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证△ABM≌△DAN，证出AM=DN，用同样的方法证AN=DP．即可证出MN=NP．从而得出结论． 证明：∵ PN⊥l1，QM⊥l1， ∴ PN∥QM，∠PNM=90°． ∵ PQ∥NM， ∴ 四边形PQMN是矩形． ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴ ∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）． 百度搜索“77cn”或“免费范文网”即可找到本站免费阅读全部范文。收藏本站方便下次阅读，免费范文网，提供经典小说综合文库2014人教版八年级下册数学教案在线全文阅读。
相关推荐：